1、3.1.1椭圆及其标准方程 导学案 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程 难点：运用标准方程解决相关问题 1椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_的点的轨迹叫做椭圆，这_叫做椭圆的焦点，_叫做椭圆的焦距，焦距的_称为半焦距思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？2.椭圆的标准方程
2、焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系b2=a2-c21. a=6,c=1的椭圆的标准方程是()A.x236+y235=1 B.y236+x235=1 C.x236+y21=1D.x236+y235=1或y236+x235=12. 椭圆x225+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为()A.5B.6 C.7D.83. 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是()A.(5,0) B.(0,5) C.56,0D.536,0一、 情境导学 椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类
3、生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。探究 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1,F2 ，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 一般地，如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足，PF1+PF2=2a其中ac0. 以F1F
4、2 所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为F1（-c,0）和F2（ c,0）椭圆的标准方程(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a. 为了化简方程，我们将其左边一个根式移到右边，得得(x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2.对方程两边平方，得(x+c)2+y2=4a2 -4ax-c2+y2+(x-c)2+y2整理，得a2-cx=ax-c2+y2 对方程两边平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2整理得 a2-c2x2+a2y2= a2a2-c2 将方程两边同除以a2a2-c2，得x2a2+y2a2
5、-c2=1 由椭圆的定义可知2a2c0 ，即ac0，所以a2-c20.观察图，你能从中找出表示a，c，a2-c2的线段吗？由图可知，PF1=PF2=a，OF1=OF2=c, PO=a2-c2令b=PO=a2-c2,那么方程就是；x2a2+y2b2=1 (ab0) 称焦点在x轴上的椭圆方程. 设椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足PF1+PF2=2a,其中ac0. 以F1F2 所在直线为y轴，线段的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时：（1）椭圆焦点的坐标分别是什么？（2）能否通过x2a2+y2b2=1 (ab0) 来得到此时椭圆方程的形式？y2a2+x2b
6、2=1 (ab0),称焦点在y轴上的椭圆方程.二、 典例解析例1求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，2)，(0,2)，经过点(4,3)；(3)经过两点(2，)，.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能(2)设方程：根据上述判断设方程1(ab0)或1(ab0)或整式形式mx2ny21(m0，n0，mn)(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组(4)得方程：解方程组，将解
7、代入所设方程，写出标准形式即为所求跟踪训练1求与椭圆1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程例2(1)已知P是椭圆1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为_(2)如图所示，圆C：(x1)2y225及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程典例解析1与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法2对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问
8、题中被广泛使用，是一种重要的解题方法3代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)跟踪训练2已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆y21上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程1椭圆y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A5B6C7D82已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是()A1 B2 C3 D43若方程1表示椭圆，则
9、实数m满足的条件是_4设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标5.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.参考答案：知识梳理1. 常数(大于|F1F2|) ;两个定点 ;两焦点间的距离 ;一半 思考： 提示(1)点的轨迹是线段F1F2. (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在小试牛刀： 解析: (1) 易得为D选项.(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|
10、=2,结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.(3)椭圆的标准方程为x214+y219=1,a2=14,b2=19,c2=a2-b2=14-19=536,且焦点在x轴上,焦点坐标为56,0.(3)椭圆的标准方程为x214+y219=1,a2=14,b2=19,c2=a2-b2=14-19=536,且焦点在x轴上,焦点坐标为56,0.学习过程例1解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c4,2a10，所以a5，b3，所以椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)法一：由椭圆的定义知2a12，解得a6.又c2，所以b4.所以椭圆的标准方程为
11、1.法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以1.又c2a2b24，可解得a236，b232.所以椭圆的标准方程为1.(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得则a2b2，与ab0矛盾，舍去综上可知，所求椭圆的标准方程为1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)分别将两点的坐标(2，)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.跟踪训练1 解法一：因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c225916.设所求椭圆的标准方程为1(ab
12、0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(3，)在所求椭圆上，所以1，即1.由得a236，b220，所以所求椭圆的标准方程为1.法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为1.又椭圆过点(3，)，将x3，y代入方程得1，解得11或21(舍去)故所求椭圆的标准方程为1.例2 思路探究(1)点Q为OP的中点点Q与点P的坐标关系代入法求解(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解(1)x21设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x02x，y02y，又1，所以1，即x21.(2)解由垂直平分线的性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|，|CM|MA|5.点M
13、的轨迹为椭圆，其中2a5，焦点为C(1,0)，A(1,0)，a，c1 ，b2a2c21.所求点M的轨迹方程为1，即1.跟踪训练2 解设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)利用中点坐标公式，得Q(x0，y0)在椭圆y21上，y1.将x02x1，y02y代入上式，得(2y)21.故所求AQ的中点M的轨迹方程是4y21.达标检测1D根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a22528.2B椭圆方程可化为x21，由题意知解得k2.3由方程1表示椭圆，得解得m且m1. 4 解椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，2a4，a24，点是椭圆上的一点，1，b23，c21，椭圆C的方程为1.焦点坐标分别为(1,0)，(1,0)5.解:如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又点M在AQ的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5|AC|=2.又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,故a=52,b2=a2-c2=254-1=214.故点M的轨迹方程为x2254+y2214=1.
