2019年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数与对数函数学案(文科)北师大版.doc

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资源描述

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第六节 对数与对数函数 考纲传真 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用 .2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点,会画底数为 2,10, 12的对数函数的图像 .3.体会对数函数是一类重要的函数模型 .4.了解指数函数 y ax(a0,且 a1) 与对数函数 y logax(a0,且 a1) 互为反函数 (对应学生用书第 18 页 ) 基础知识填充 1对数的概念 如果 a(a 0, a1) 的 b 次幂等于 N,即 ab N,那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数

2、,记作logaN b,其中 a 叫作对数的底数, N 叫作真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a 0 且 a1 , M 0, N 0,那么 loga(MN) logaM logaN; logaMN logaM logaN; logaMn nlogaM(n R); logmaMn nmlogaM(m, n R 且 m0) (2)对数的性质 alogaN N; logaaN N(a 0,且 a1) (3)对数的重要公式 换底公式: logbN logaNlogab(a, b 0, a, b1 , N 0); logab 1logba,推广 logablog bclog cd

3、logaD 3对数函数的图像与性质 a 1 0 a 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 图像 性质 (1)定义域: (0, ) (2)值域: R (3)过点 (1,0),即 x 1 时, y 0 (4)当 x 1 时, y 0, 0 x 1 时, y 0 (5)当 x 1 时, y 0, 0 x 1 时, y 0 (6)是 (0, ) 上的 增函数 (7)是 (0, ) 上的 减函数 4. 反函数 指数函数 y ax(a 0 且 a1) 与对数函数 y logax(a 0 且 a1) 互为反函数,它们的图像关于直线 y x 对称 知识拓展 1换底公式的两个重要结论 (1)logab 1log

4、ba; (2)logambn nmlogaB 其中 a 0 且 a1 , b 0 且 b1 , m, n R. 2对数函数的图像与底数大小的比较 如图 261,作直线 y 1,则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数故 0 c d 1 a B 由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大 图 261 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ,错误的打 “”) (1)log2x2 2log2x.( ) (2)当 x 1 时, logax 0.( ) (3)函数 y lg(x 3) lg(x 3)与 y lg(x 3)(x 3)的定义域相同 ( )

5、(4)对数函数 y logax(a 0 且 a1) 的图像过定点 (1,0),且过点 (a,1), ? ?1a, 1 ,函=【 ;精品教育资源文库 】 = 数图像不在第二、三象限 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2已知 a 2 , b log213, c ,则 ( ) A a b c B a c b C c b a D c a b D 0 a 2 20 1, b log213 log21 0, c 1, c aB 3已知函数 y loga(x c)(a, c 为常数,其中 a 0, a1) 的图像如图 262,则下列结论成立的是 ( ) 图 262 A a 1, c 1 B a

6、1,0 c 1 C 0 a 1, c 1 D 0 a 1,0 c 1 D 由图像可知 y loga(x c)的图像是由 y logax 的图像向左平移 c 个单位得到的,其中 0 c 1.再根据单调性可知 0 a 1. 4 (教材改编 )若 loga34 1(a 0,且 a1) ,则实数 a 的取值范围是 ( ) A ? ?0, 34 B (1, ) C ? ?0, 34 (1 , ) D ? ?34, 1 C 当 0 a 1 时, loga34 logaa 1, 0 a 34; 当 a 1 时, loga34 logaa 1, a 1. 即实数 a 的取值范围是 ? ?0, 34 (1, )

7、 5 (2018 南昌模拟 )计算: 2log510 log514 _, 2log43 _. 【导学号: 00090033】 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 3 2log510 log514 log5? ?102 14 2,因为 log43 12log23 log2 3,所以 2log432log2 3 3. (对应学生用书第 19 页 ) 对数的运算 (1)设 2a 5b m,且 1a 1b 2,则 m 等于 ( ) A 10 B 10 C 20 D 100 (2)(2018 太原模拟 )已知 log7log3(log2x) 0,那么 x 12等于 ( ) A 13 B 36 C 33

8、 D 24 (1)A (2)D (1) 2a 5b m, a log2m, b log5m, 1a 1b 1log2m 1log5m logm2 logm5 logm10 2, m 10. (2)由 log7log3(log2x) 0 得 log3(log2x) 1, 即 log2x 3,所以 x 8, 所以 x 12 24 . 规律方法 1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并 2先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算 3 ab N?b logaN

9、(a 0,且 a1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化 变式训练 1 (1)(2017 东城区综合练习 (二 )已知函数 f(x)? 2x, x4 ,f x , x 4,则 f(2 log23)的值为 ( ) A 24 B 16 C 12 D 8 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)(2015 浙江高考 )计算: log2 22 _, 2log23 log43 _. (1)A (2) 12 3 3 (1) 3 2 log23 4, f(2 log23) f(3 log23) 23 log23 83 24,故选 A (2)log2 22 log2 2 log22 12

10、1 12; 2log23 log43 2log232 log43 32 log43 32 log2 33 3. 对数函数的图像及应用 (1)(2017 河南南阳一模 )若函数 y a|x|(a 0,且 a1) 的值域为 y|y1 ,则函数 y loga|x|的图像大致是 ( ) A B C D (2)(2017 衡水调研 )已知函数 f(x)? log2x, x 0,3x, x0 , 且关于 x的方程 f(x) x a 0有且只有一个实根,则实数 a 的取值范围是 _ (1)B (2)(1, ) (1)若函数 y a|x|(a 0,且 a1) 的值域为 y|y1 ,则 a 1,故函数 y lo

11、ga|x|的大致图像如图所示故选 B (2)如图,在同一坐标系中分别作出 y f(x)与 y x a 的图像,其中 a 表示直线在 y轴上截距,由图可知,当 a 1 时,直线 y x a 与 y log2x 只有一个交点 规律方法 1.在识别函数图像时,要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点 (与坐标轴的交点、最高点、最低点等 )排除不符合要求的选项 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解 变式训练 2 (1)(2018 邵阳模拟 )若函数 f(x) ax k a x(a 0且 a1) 在 ( , )上既是奇函数又是增

12、函数,则函数 g(x) loga(x k)的大致图像是 ( ) (2)(2018 合肥模拟 )当 0 x 12时, 4x logax,则 a 的取值范围是 ( ) 【导学号: 00090034】 A ? ?0, 22 B ? ?22 , 1 C (1, 2) D ( 2, 2) (1)B (2)B (1)由题意函数 f(x) ax k a x(a 0 且 a1) 在 ( , ) 上既是奇函数又是增函数, 有 f(0) 0,即 0 1 k, k 1,根据增增增, y ax是增函数, a 1. 那么函数 g(x) loga(x 1)(a 1)的图像单调递增,恒过 (0,0),故选 B (2)构造函

13、数 f(x) 4x和 g(x) logax,当 a 1 时不满足条件,当 0 a 1 时,画出两个函数在 ? ?0, 12 上的图像,可知 f? ?12 g? ?12 ,即 2 loga12,则 a 22 ,所以 a 的取值范围为?22 , 1 . 对数函数的性质及应用 角度 1 比较对数值的大小 (1)(2016 全国卷 )若 a b 0,0 c 1,则 ( ) A logac logbc B logca logcb C ac bc D ca cb (2)(2018 榆林模拟 )设 a 60.4, b log0.40.5, c log80.4,则 a、 b、 c 的大小关系是 ( ) A a

14、 b c B c b a C c a b D b c a =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)B (2)B (1) 0 c 1, 当 a b 1 时, logac logbc, A 项错误; 0 c 1, y logcx 在 (0, ) 上是减少的,又 a b 0, logca logcb, B 项正确; 0 c 1, 函数 y xc在 (0, ) 上是增加的, 又 a b 0, ac bc, C 项错误; 0 c 1, y cx在 (0, ) 上是减少的, 又 a b 0, ca cb, D 项错误 (2)因为 a 60.4 1, b log0.40.5 (0,1), c log80.4

15、 0,所以 a b C 角度 2 解简单的对数不等式 (1)(2018 哈尔滨模拟 )已知函数 f(x)? 3 log2x, x 0x2 x 1, x0 ,则不等式 f(x)5的解集为 ( ) A 1,1 B ( , 2 (0,4) C 2,4 D ( , 2 0,4 (2)(2016 浙江高考 )已知 a, b0 且 a1 , b1 ,若 logab1,则 ( ) A (a 1)(b 1)0 C (b 1)(b a)0 (1)C (2)D (1)由于 f(x)? 3 log2x, x 0x2 x 1, x0 , 当 x 0 时, 3 log2x5 ,即 log2x2 log24,解得 0 x4 ,当 x0 时, x2 x 15 ,即 (x 3)(x 2)0 ,解得 2 x0 , 不等式 f(x)5 的解集为 2,4,故选 C (2)法一: logab 1 logaa, 当 a 1 时, b a 1; 当 0 a 1 时, 0 b a 1.只有 D 正确 法二:取 a 2, b 3,排除 A,

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