1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第六节 对数与对数函数 考纲传真 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用 .2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为 2,10， 12的对数函数的图像 .3.体会对数函数是一类重要的函数模型 .4.了解指数函数 y ax(a0，且 a1) 与对数函数 y logax(a0，且 a1) 互为反函数 (对应学生用书第 18 页 ) 基础知识填充 1对数的概念 如果 a(a 0， a1) 的 b 次幂等于 N，即 ab N，那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数
2、，记作logaN b，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a 0 且 a1 ， M 0， N 0，那么 loga(MN) logaM logaN； logaMN logaM logaN； logaMn nlogaM(n R)； logmaMn nmlogaM(m， n R 且 m0) (2)对数的性质 alogaN N； logaaN N(a 0，且 a1) (3)对数的重要公式 换底公式： logbN logaNlogab(a， b 0， a， b1 ， N 0)； logab 1logba，推广 logablog bclog cd
3、logaD 3对数函数的图像与性质 a 1 0 a 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 图像 性质 (1)定义域： (0， ) (2)值域： R (3)过点 (1,0)，即 x 1 时， y 0 (4)当 x 1 时， y 0， 0 x 1 时， y 0 (5)当 x 1 时， y 0， 0 x 1 时， y 0 (6)是 (0， ) 上的 增函数 (7)是 (0， ) 上的 减函数 4. 反函数 指数函数 y ax(a 0 且 a1) 与对数函数 y logax(a 0 且 a1) 互为反函数，它们的图像关于直线 y x 对称 知识拓展 1换底公式的两个重要结论 (1)logab 1log
4、ba； (2)logambn nmlogaB 其中 a 0 且 a1 ， b 0 且 b1 ， m， n R. 2对数函数的图像与底数大小的比较 如图 261，作直线 y 1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数故 0 c d 1 a B 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大 图 261 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)log2x2 2log2x.( ) (2)当 x 1 时， logax 0.( ) (3)函数 y lg(x 3) lg(x 3)与 y lg(x 3)(x 3)的定义域相同 ( )
5、(4)对数函数 y logax(a 0 且 a1) 的图像过定点 (1,0)，且过点 (a,1)， ? ?1a， 1 ，函=【 ;精品教育资源文库 】 = 数图像不在第二、三象限 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2已知 a 2 ， b log213， c ，则 ( ) A a b c B a c b C c b a D c a b D 0 a 2 20 1， b log213 log21 0， c 1， c aB 3已知函数 y loga(x c)(a， c 为常数，其中 a 0， a1) 的图像如图 262，则下列结论成立的是 ( ) 图 262 A a 1， c 1 B a
6、1,0 c 1 C 0 a 1， c 1 D 0 a 1,0 c 1 D 由图像可知 y loga(x c)的图像是由 y logax 的图像向左平移 c 个单位得到的，其中 0 c 1.再根据单调性可知 0 a 1. 4 (教材改编 )若 loga34 1(a 0，且 a1) ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ? ?0， 34 B (1， ) C ? ?0， 34 (1 ， ) D ? ?34， 1 C 当 0 a 1 时， loga34 logaa 1， 0 a 34； 当 a 1 时， loga34 logaa 1， a 1. 即实数 a 的取值范围是 ? ?0， 34 (1， )
7、 5 (2018 南昌模拟 )计算： 2log510 log514 _， 2log43 _. 【导学号： 00090033】 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 3 2log510 log514 log5? ?102 14 2，因为 log43 12log23 log2 3，所以 2log432log2 3 3. (对应学生用书第 19 页 ) 对数的运算 (1)设 2a 5b m，且 1a 1b 2，则 m 等于 ( ) A 10 B 10 C 20 D 100 (2)(2018 太原模拟 )已知 log7log3(log2x) 0，那么 x 12等于 ( ) A 13 B 36 C 33
8、 D 24 (1)A (2)D (1) 2a 5b m， a log2m， b log5m， 1a 1b 1log2m 1log5m logm2 logm5 logm10 2， m 10. (2)由 log7log3(log2x) 0 得 log3(log2x) 1， 即 log2x 3，所以 x 8， 所以 x 12 24 . 规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并 2先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算 3 ab N?b logaN
9、(a 0，且 a1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化 变式训练 1 (1)(2017 东城区综合练习 (二 )已知函数 f(x)? 2x， x4 ，f x ， x 4，则 f(2 log23)的值为 ( ) A 24 B 16 C 12 D 8 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)(2015 浙江高考 )计算： log2 22 _， 2log23 log43 _. (1)A (2) 12 3 3 (1) 3 2 log23 4， f(2 log23) f(3 log23) 23 log23 83 24，故选 A (2)log2 22 log2 2 log22 12
10、1 12； 2log23 log43 2log232 log43 32 log43 32 log2 33 3. 对数函数的图像及应用 (1)(2017 河南南阳一模 )若函数 y a|x|(a 0，且 a1) 的值域为 y|y1 ，则函数 y loga|x|的图像大致是 ( ) A B C D (2)(2017 衡水调研 )已知函数 f(x)? log2x， x 0，3x， x0 ， 且关于 x的方程 f(x) x a 0有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是 _ (1)B (2)(1， ) (1)若函数 y a|x|(a 0，且 a1) 的值域为 y|y1 ，则 a 1，故函数 y lo
11、ga|x|的大致图像如图所示故选 B (2)如图，在同一坐标系中分别作出 y f(x)与 y x a 的图像，其中 a 表示直线在 y轴上截距，由图可知，当 a 1 时，直线 y x a 与 y log2x 只有一个交点 规律方法 1.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点 (与坐标轴的交点、最高点、最低点等 )排除不符合要求的选项 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解 变式训练 2 (1)(2018 邵阳模拟 )若函数 f(x) ax k a x(a 0且 a1) 在 ( ， )上既是奇函数又是增
12、函数，则函数 g(x) loga(x k)的大致图像是 ( ) (2)(2018 合肥模拟 )当 0 x 12时， 4x logax，则 a 的取值范围是 ( ) 【导学号： 00090034】 A ? ?0， 22 B ? ?22 ， 1 C (1， 2) D ( 2， 2) (1)B (2)B (1)由题意函数 f(x) ax k a x(a 0 且 a1) 在 ( ， ) 上既是奇函数又是增函数， 有 f(0) 0，即 0 1 k， k 1，根据增增增， y ax是增函数， a 1. 那么函数 g(x) loga(x 1)(a 1)的图像单调递增，恒过 (0,0)，故选 B (2)构造函
13、数 f(x) 4x和 g(x) logax，当 a 1 时不满足条件，当 0 a 1 时，画出两个函数在 ? ?0， 12 上的图像，可知 f? ?12 g? ?12 ，即 2 loga12，则 a 22 ，所以 a 的取值范围为?22 ， 1 . 对数函数的性质及应用 角度 1 比较对数值的大小 (1)(2016 全国卷 )若 a b 0,0 c 1，则 ( ) A logac logbc B logca logcb C ac bc D ca cb (2)(2018 榆林模拟 )设 a 60.4， b log0.40.5， c log80.4，则 a、 b、 c 的大小关系是 ( ) A a
14、 b c B c b a C c a b D b c a =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)B (2)B (1) 0 c 1， 当 a b 1 时， logac logbc， A 项错误； 0 c 1， y logcx 在 (0， ) 上是减少的，又 a b 0， logca logcb， B 项正确； 0 c 1， 函数 y xc在 (0， ) 上是增加的， 又 a b 0， ac bc， C 项错误； 0 c 1， y cx在 (0， ) 上是减少的， 又 a b 0， ca cb， D 项错误 (2)因为 a 60.4 1， b log0.40.5 (0,1)， c log80.4
15、 0，所以 a b C 角度 2 解简单的对数不等式 (1)(2018 哈尔滨模拟 )已知函数 f(x)? 3 log2x， x 0x2 x 1， x0 ，则不等式 f(x)5的解集为 ( ) A 1,1 B ( ， 2 (0,4) C 2,4 D ( ， 2 0,4 (2)(2016 浙江高考 )已知 a， b0 且 a1 ， b1 ，若 logab1，则 ( ) A (a 1)(b 1)0 C (b 1)(b a)0 (1)C (2)D (1)由于 f(x)? 3 log2x， x 0x2 x 1， x0 ， 当 x 0 时， 3 log2x5 ，即 log2x2 log24，解得 0 x4 ，当 x0 时， x2 x 15 ，即 (x 3)(x 2)0 ，解得 2 x0 ， 不等式 f(x)5 的解集为 2,4，故选 C (2)法一： logab 1 logaa， 当 a 1 时， b a 1； 当 0 a 1 时， 0 b a 1.只有 D 正确 法二：取 a 2， b 3，排除 A，
