1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第六节 几何概型 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率 .2.了解几何概型的意义 (对应学生用书第 181 页 ) 基础知识填充 1几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 (面积或体积 )成比例，与区域的形状，位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 2几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有 无限多个 (2)等可能性：每个试验结果的发生具有 等可能性 3几何概型的概率公式 P(A) 构成事件 A的区域长度 (面积或体积 )试验的全部结果所构成的区域长度 (
2、面积或体积 ). 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 ( ) (2)从区间 1,10内任取一个数，取到 1 的概率是 110.( ) (3)概率为 0 的事件一定是不可能事件 ( ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )有四 个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 ( ) A P(A) 38， P(B) 28， P(C) 26，
3、P(D) 13， 所以 P(A)P(C) P(D)P(B) 3已知函数 f(x) x2 2x 3， x 1,4，则 f(x)为增函数的概率为 ( ) A 15 B 25 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 35 D 45 C f(x) x2 2x 3 (x 1)2 4， x 1,4， f(x)在 1,4上是增函数 f(x)为增函数的概率为 P 4 14 ( 1) 35. 4 (2017 全国卷 ) 如图 1061，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ( ) 图 1061 A
4、 14 B 8 C 12 D 4 B 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S 正方形 4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S 黑 S 白 12S 圆 2 ，所以由几何概型知所求概率 P S黑S正方形24 8. 故选 B 5如图 1062 所示，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴 影部分，据此估计阴影部分的面积为 _ 图 1062 0.18 由题意知， =【 ;精品教育资源文库 】 = S阴S正 1801 000 0.18. S 正 1， S 阴 0.18. (对应学生用书第 181 页 ) 与
5、长度 (角度 )有关的几何概型 (1)(2016 全国卷 ) 某公司的班车在 7： 30,8： 00,8： 30 发车，小明在 7： 50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10分钟的概率是 ( ) A 13 B 12 C 23 D 34 (2)如图 1063 所示，四边形 ABCD 为矩形， AB 3， BC 1，在 DAB 内作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 _ 图 1063 (1)B (2)13 (1)如图， 7： 50 至 8： 30 之间的时间长度为 40 分钟，而小明等车时间不超过 10 分钟是指小明在
6、7： 50 至 8： 00 之间或 8： 20 至 8： 30 之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为 20 分 钟，由几何概型概率公式知所求概率为 P 2040 12.故选B (2)以 A 为圆心，以 AD 1 为半径作圆弧 交 AC， AP， AB 分别为 C ， P ， B. 依题意，点 P 在 上任何位置是等可能的，若射线 AP 与线段 BC 有公共点，则事件“ 点 P 在 上发生 ” =【 ;精品教育资源文库 】 = 又在 Rt ABC 中，易求 BAC B AC 6 . 故所求事件的概率 规律方法 1.与长度有关的几何概型 ,如果试验结果构成的区域可用长度度量，则其概率的计算
7、公式为 P A 构成事件 A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度 . 2.与角度有关的几何概型 ,当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段 . 跟踪训练 (1)(2018 广州综合测试 (二 )在区间 1,5上随机地取一个实数 a，则方程x2 2ax 4a 3 0 有两个正根的概率为 ( ) A 23 B 12 C 38 D 13 (2)(2017 江 苏高考 )记函数 f(x) 6 x x2的定义域为 D 在区间 4,5上随机取一个数 x，则 x D 的概率是 _ (1)C (2) 59 (1) 因 为
8、 方 程 x2 2ax 4a 3 0 有 两 个 正 根 ， 所 以? 2a0，4a 30，4a2 4(4a 3)0 ，解得 340， b1a.所有试验结果为 (a， b)|1 ae,0 b2 ，面积为 2(e 1)，使函数 f(x)有两个相异零点的事件为 1?(a， b)? b1a， 1 ae ， 0 b2 ，面积为 ?1e1ada lna|e1 1 0 1，则所求概率为 P(A)12(e 1)，故选 A 规律方法 1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路 利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率 . 2
9、.与线性规划交汇问题的解题思路 先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率 . 3.与定积分交汇问题的解题思路 先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率 . 跟踪训练 (1)(2018 云南二检 )RAND(0,1)表示生成一个在 (0,1)内的 随机数 (实数 )，若x RAND(0,1)， y RAND(0,1)，则 x2 y21 的概率为 ( ) A 4 B 1 4 C 8 D 1 8 (2)如图 1064，点 A 的坐标为 (1,0)，点 C 的坐标为 (2,4)，函数 f(x) x2.若在矩形 ABCD
10、 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 1064 (1)A (2)512 (1)由几何概型的概率计算公式知，所求概率 P141211 4 ，故选 A (2)由题意知，阴影部分的面积 S ?12(4 x2)dx ?4x 13x3?21 53， 所以所求概率 P SS矩形 ABCD5314 512. 与体积有关的几何概型 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 _ 1 12 如图，与点 O距离不大于 1的点的
11、轨迹是一个半球，其体积 V1 12 431 3 23 .事件 “ 点 P 与点 O 距离大于 1 的概率 ” 对应的区域体积为 23 23 ，根据几何概型概 率公式得，点 P 与点 O 距离大于 1 的概率 P23 2323 112. 规律方法 与体积有关的几何概型问题求法的关键点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积 总空间 以及事件的体积 事件空间 ，对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件去求 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 跟踪训练 一个多面体的直观图和三视图如图 1065 所示，点 M 是 AB 的中点，一只蝴蝶在几何体 ADFBCE 内自由飞翔，则它飞入几何体 FAMCD 内的概率为 ( ) 【导学号： 79140363】 图 1065 A 34 B 23 C 13 D 12 D 由题图可知 VFAMCD 13 SAMCD DF 14a3， VADFBCE 12a3，所以它飞入几何体 FAMCD 内的概率为14a312a3 12.
