1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (三十二 ) 等比数列及其前 n 项和 A 组 基础达标 一、选择题 1对任意等比数列 an，下列说法一定正确的是 ( ) A a1， a3， a9成等比数列 B a2， a3， a6成等比数列 C a2， a4， a8成等比数列 D a3， a6， a9成等比数列 D 由等比数列的性质得， a3 a9 a260 ，因此 a3， a6， a9一定成等比数列，选 D. 2 (2018 武汉调研 )等比数列 an的各项均为正数，且 a5a6 a4a7 18，则 log3a1 log3a2 ? log3a10 ( ) A 12 B 10 C 8 D 2
2、 log35 B 由等比数列的性质知 a5a6 a4a7 9，所以 log3a1 log3a2 log3a3 ? log3a10log3(a1a2a3? a10) log3(a5a6)5 log395 10，故选 B. 3 (2017 广东深圳一模 )已知等比数列 an的前 n 项和 Sn a3 n 1 b，则 ab ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 A 等比数列 an的前 n 项和 Sn a3 n 1 b， a1 S1 a b， a2 S2 S1 3a b a b 2a， a3 S3 S2 9a b 3a b 6a， 等比数列 an中， a22 a1a3， (2 a)2 (a b)6
3、a，解得 ab 3.故选 A. 4设等比数列 an中，前 n 项和为 Sn，已知 S3 8， S6 7，则 a7 a8 a9等于 ( ) A.18 B 18 C.578 D 558 A 因为 a7 a8 a9 S9 S6，且 S3， S6 S3， S9 S6 也成等比数列，即 8， 1， S9 S6成等比数列，所以 8(S9 S6) 1，即 S9 S6 18.所以 a7 a8 a9 18. 5已知 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若存在 m N ，满足 S2mSm 9， a2mam 5m 1m 1 ，则数列 an=【 ;精品教育资源文库 】 = 的公比为 ( ) A 2 B 2 C 3 D
4、 3 B 设公比为 q，若 q 1，则 S2mSm 2，与题中条件矛盾，故 q1. S2mSma1(1 q2m)1 qa1(1 qm)1 q qm 1 9， qm 8. a2mam a1q2m 1a1qm 1 qm 8 5m 1m 1 ， m 3， q3 8， q 2. 二、填空题 6在等比数列 an中，若 a1 a5 16， a4 8，则 a6 _. 32 由题意得， a2 a4 a1 a5 16， a2 2， q2 a4a2 4， a6 a4q2 32. 7 (2017 江苏高考 )等比数列 an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S3 74， S6 634 ，则 a8 _. 【
5、导学号： 79140178】 32 设 an的首项为 a1，公比为 q，则? a1(1 q3)1 q 74，a1(1 q6)1 q 634 ，解得? a114，q 2，所以 a8 142 7 25 32. 8 (2017 深圳二次调研 )九章算术中的 “ 两鼠穿墙题 ” 是我国数学的古典名题： “ 今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？ ” 题意是 “ 有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ” 如果墙足够厚， Sn 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则 Sn _尺 2n 12
6、n 1 1 依题意大老鼠每天打洞的距离构成以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，所=【 ;精品教育资源文库 】 = 以前 n 天大老鼠打洞的距离共为 1 (1 2n)1 2 2n 1.同理可得前 n 天小老鼠打洞的距离共为1 ? ?1 ? ?12n1 12 2 12n 1，所以 Sn 2n 1 2 12n 1 2n 12n 1 1. 三、解答题 9在公差不为零的等差数列 an中， a1 1， a2， a4， a8成等比数列 (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 2an， Tn b1 b2 ? bn，求 Tn. 【导学号： 79140179】 解 (1)设等差数列 an的公差为 d，
7、 则依题意有? a1 1，(a1 3d)2 (a1 d)(a1 7d)， 解得 d 1 或 d 0(舍去 )， an 1 (n 1) n. (2)由 (1)得 an n， bn 2n， bn 1bn 2， bn是首项为 2，公比为 2 的等比数列， Tn 2(1 2n)1 2 2n 1 2. 10设等比数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 a2 a3 26， S6 728. (1)求数列 an的通项公式； (2)求证： S2n 1 SnSn 2 43 n. 解 (1)设等比数列 an的公比为 q，由 728226 得， S62 S3， q1. 由已知得? S3 a1(1 q3)1 q 26
8、，S6 a1(1 q6)1 q 728，解得? a1 2，q 3. an 23 n 1. (2)证明：由 (1)可得 Sn 2 (1 3n)1 3 3n 1. Sn 1 3n 1 1， Sn 2 3n 2 1. S2n 1 SnSn 2 (3n 1 1)2 (3n 1)(3 n 2 1) 43 n. =【 ;精品教育资源文库 】 = B 组 能力提 升 11数列 an满足： an 1 a n 1(n N ， R 且 0) ，若数列 an 1是等比数列，则 的值等于 ( ) A 1 B 1 C.12 D 2 D 由 an 1 a n 1，得 an 1 1 a n 2 ? ?an2 .由于数列 a
9、n 1是等比数列，所以 2 1，得 2. 12 (2018 江西九校联考 )已知正项数列 an满足 a2n 1 2a2n anan 1，若 a1 1，则数列 an的前 n 项和 Sn _. 【导学号： 79140180】 2n 1 由 a2n 1 2a2n anan 1，得 (an 1 2an)(an 1 an) 0，所以 an 1 2an或 an 1 an(舍去 )，所以 an 1an 2，所以数列 an是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 Sn 1 2n1 2 2n 1. 13已知数列 an满 足 a1 5， a2 5， an 1 an 6an 1(n2) (1)求证： an 1 2
10、an是等比数列； (2)求数列 an的通项公式 解 (1)证明： an 1 an 6an 1(n2) ， an 1 2an 3an 6an 1 3(an 2an 1)(n2) a1 5， a2 5， a2 2a1 15， an 2an 10( n2) ， an 1 2anan 2an 1 3(n2) ， 数列 an 1 2an是以 15 为首项， 3 为公比的等比数列 (2)由 (1)得 an 1 2an 153 n 1 53 n， 则 an 1 2an 53 n， an 1 3n 1 2(an 3n) 又 a1 3 2， an 3n0 ， an 3n是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 an 3n 2( 2)n 1， 即 an 2( 2)n 1 3n.
