1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 重点强化训练 (二 ) 平面向量 A 组 基础达标 (建议用时： 30 分钟 ) 一、选择题 1 (2017 石家庄模拟 )已知 a， b 是两个非零向量，且 |a b| |a| |b|，则下列说法正确的是 ( ) A a b 0 B a b C a 与 b 共线反向 D存在正实数 ，使 a b D 因为 a， b 是两个非零向量，且 |a b| |a| |b|.则 a 与 b 共线同向，故 D 正确 2若 a， b， c 均为单位向量，且 ab 0， (a c)( b c)0 ，则 |a b c|的最大值为 ( ) 【导学号： 00090149】 A 2 1
2、 B 1 C 2 D 2 B 因为 |a| |b| |c| 1， ab 0，所以 |a b|2 a2 b2 2ab 2，故 |a b| 2. 展开 (a c)( b c)0 ，得 ab (a b) c c20 ， 即 0 (a b) c 10 ，整理，得 (a b) c1. 而 |a b c|2 (a b)2 2(a b) c c2 3 2(a b) c， 所以 3 2(a b) c3 21 1. 所以 |a b c|21 ，即 |a b c|1. 3 (2016 北京高考 )设 a， b 是向量，则 “| a| |b|” 是 “| a b| |a b|” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必
3、要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 D 若 |a| |b|成立，则以 a， b 为邻边的平行四边形为菱形 a b， a b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以 |a b| |a b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若 |a b| |a b|成立，则以 a， b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定 相等，所以 |a| |b|不一定成立，从而不是必要条件故“| a| |b|” 是 “| a b| |a b|” 的既不充分也不必要条件 4在平面直角坐标系中，已知 O 是坐标原点， A(3,0)， B(0,3)， C(cos ， sin
4、 )，若 |OA OC | 13， (0， ) ，则 OB 与 OC 的夹角为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 6 B 3 C 23 D 56 A 由题意，得 OA OC (3 cos ， sin )， 所以 |OA OC | cos 2 sin2 10 6cos 13， 即 cos 12， 因为 (0， ) ，所以 3 ， C? ?12， 32 . 设 OB 与 OC 的夹角为 ， 则 cos OB OC|OB | OC |32 331 32 . 因为 0， ，所以 6. 5已知直线 ax by c 0 与圆 O： x2 y2 1 相交于 A， B 两点，且 AB 3，则 OA
5、 OB 的值是 ( ) A 12 B 12 C 34 D 0 A 取 AB 的中点 C，连接 OC， AB 3， 则 AC 32 ，又因为 OA 1， 所以 sin? ?12 AOB sin AOC ACOA 32 ， 所以 AOB 120 ， 则 OA OB 11cos 120 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 二、填空题 6设 O 是坐标原点，已知 OA (k,12)， OB (10， k)， OC (4,5)，若 A， B， C 三点共线，则实数 k 的值为 _ 11 或 2 由题意得 CA OA OC (k 4,7)， CB OB OC (6， k 5)， 所以 (k 4)(k
6、 5) 67 ， k 4 7 或 k 4 6，即 k 11 或 k 2. 7 (2018 黄冈模拟 )已知两个平面向量 a， b 满足 |a| 1， |a 2b| 21，且 a 与 b 的夹角为 120 ，则 |b| _. 【导学号： 00090150】 2 由 |a 2b| 21得 a2 4ab 4b2 21. 即 1 2|b| 4|b|2 21，解得 |b| 2 或 |b| 52(舍 ) 8已知点 A， B， C 满足 |AB | 3， |BC | 4， |CA | 5，则 AB BC BC CA CA AB _. 25 由 |AB |2 |BC |2 |CA |2得 B 90 ， cos
7、 C 45， cos A 35， AB BC 0， BC CA 45 ? ? 45 16， CA AB 53 ? ? 35 9，所以 AB BC BC CA CA AB 25. 三、解答题 9在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)， B(2,3)， C(3,2)，点 P(x， y)在 ABC 三边围成的区域 (含边界 )上，且 OP mAB nAC (m， n R) (1)若 m n 23，求 |OP |； (2)用 x， y 表示 m n，并求 m n 的最大值 解 (1) m n 23， AB (1,2)， AC (2,1)， OP 23(1,2) 23(2,1) (2,2)， 3
8、 分 |OP | 22 22 2 2. 5 分 (2) OP m(1,2) n(2,1) (m 2n,2m n)， ? x m 2n，y 2m n， 8 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 两式相减，得 m n y x. 令 y x t，由图知，当直线 y x t 过点 B(2,3)时， t 取得最大值 1，故 m n 的最大值为 1. 12 分 10设向量 a ( 3sin x， sin x)， b (cos x， sin x)， x ? ?0， 2 . (1)若 |a| |b|，求 x 的值； (2)设函数 f(x) a b，求 f(x)的最大值 【导学号： 00090151】 解 (1
9、)由 |a|2 ( 3sin x)2 (sin x)2 4sin2x， |b|2 (cos x)2 (sin x)2 1， 及 |a| |b|，得 4sin2x 1. 3 分 又 x ? ?0， 2 ，从而 sin x 12，所以 x 6. 5 分 (2)f(x) a b 3sin xcos x sin2x 32 sin 2x 12cos 2x 12 sin? ?2x 6 12， 8 分 当 x 3 ? ?0， 2 时， sin? ?2x 6 取最大值 1. 所以 f(x)的最大值为 32. 12 分 B 组 能力提升 (建议用时： 15 分钟 ) 1 (2018 兰州模拟 )已知向量 a，
10、b 的夹角为 60 ，且 |a| 2， |b| 3，设 OA a， OB b，OC ma 2b，若 ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，则 m ( ) 【导学号： 00090152】 A 4 B 3 C 11 D 10 C a b 23cos 60 3， AB OB OA b a， AC OC OA (m 1)a 2B =【 ;精品教育资源文库 】 = AB AC， AB AC 0， 即 (b a)( m 1)a 2b 0， (1 m)a2 2b2 (m 1)a b 2a b 0， 即 4(1 m) 18 3(m 1) 6 0， 解得 m 11.故选 C 2如图 2，菱形 ABCD 的边长
11、为 2， BAD 60 ， M 为 DC 的中点，若 N 为菱形内任意一点 (含边界 )，则 AM AN 的最大值为 _ 图 2 9 由平面向量的数量积的几何意义知， AM AN 等于 AM 与 AN 在 AM 方向上的投影 之积，所以 (AM AN )max AM AC ? ?12AB AD ( AB AD ) 12AB 2 AD 2 32AB AD 9. 3已知函数 f(x) a b，其中 a (2cos x， 3sin 2x)， b (cos x,1)， x R. (1)求函数 y f(x)的单调 递减区间； (2)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， f
12、(A) 1， a 7，且向量 m(3， sin B)与 n (2， sin C)共线，求边长 b 和 c 的值 解 (1)f(x) a b 2cos2x 3sin 2x 1 cos 2x 3sin 2x 1 2cos? ?2x 3 ，2 分 令 2k2 x 3 2 k ( k Z)， 解得 k 6 x k 3(k Z)， f(x)的单调递减区间为 ? ?k 6 ， k 3 (k Z). 5 分 (2) f(A) 1 2cos? ?2A 3 1， cos? ?2A 3 1. 7 分 又 32A 373 ， 2A 3 ， 即 A 3. 9 分 a 7， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A (b c)2 3bc 7. 向量 m (3， sin B)与 n (2， sin C)共线 ， 2sin B 3sin C 由正弦定理得 2b 3c， 由 可得 b 3， c 2. 12 分
