1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 三 数列中的高考热点问题 (对应学生用书第 90 页 ) 命题解读 数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等 等差、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差 (比 )数列共涉及五个量 a1， an， Sn， d(q)， n， “ 知三求二 ” 已知等差数列 an，公差 d 2， S1， S2， S4成等比数列
2、 (1)求 an； (2)令 bn ( 1)n 4nan an 1，求 bn的前 n 项和 Tn. 解 (1) S1， S2， S4成等比数列 S22 S1S4， (2 a1 2)2 a1? ?4a1432 2 解得 a1 1， an 1 2(n 1) 2n 1. (2)bn ( 1)n 4nan an 1 ( 1)n 4n(2n 1) (2n 1) ( 1)n? ?12n 1 12n 1 . 当 n 为偶数时， bn的前 n 项和 Tn ? ?1 13 ? ?13 15 ? ? ?12n 1 12n 1 1 12n 1 2n2n 1， 当 n 为奇数时， bn的前 n 项和 Tn ? ?1
3、13 ? ?13 15 ? ? ?12n 1 12n 1 1 12n 1 2n 22n 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 Tn? 2n2n 1， n为偶数， 2n 22n 1 ， n为奇数 .规律方法 1.若 an是等差数列，则 ban b0，且 b 是等比数列；若 an是正项等比数列，则 logban b0，且 b 是等差数列 . 2.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化 . 跟踪训练 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，常数 0，且 a 1an S1 Sn对一切正整数 n都成立 (1)求数列 an的通项公式； (
4、2)设 a10， 100.当 n 为何值时，数列 ? ?lg1an的前 n 项和最大？ 解 (1)取 n 1，得 a 21 2S1 2a1， a1(a 1 2) 0. 若 a1 0，则 Sn 0. 当 n2 时， an Sn Sn 1 0 0 0， 所以 an 0(n1) 若 a10 ，则 a1 2 . 当 n2 时， 2an 2 Sn,2an 1 2 Sn 1， 两式相减得 2an 2an 1 an， 所以 an 2an 1(n2) ，从而数列 an是等比数列， 所以 an a12 n 1 2 2 n 1 2n . 综上，当 a1 0 时， an 0；当 a10 时， an 2n . (2)当 a10，且 100 时，令 bn lg1an， 由 (1)知， bn lg1002n 2 nlg 2. 所以数列 bn是单调递减的等差数列 ，公差为 lg 2. b1b2? b6 lg10026 lg10064lg 1 0， 当 n7 时， bn b7 lg10027 lg100128(2n 1)2 1(2n)2 2n 22n n 1n ， 所以 Tn? ?122 12 23? n 1n 14n. 综上可得，对任意的 nN ，均有 Tn 14n.
