1、6.4.1平面几何的向量方法平面几何的向量方法本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸讲课人：邢启强21.两个向量两个向量的数量积：的数量积：.cos|baba 2.平面两向量数量积的坐标表示平面两向量数量积的坐标表示:.2121yyxxba 3.向量平行与垂直的判定向量平行与垂直的判定:.02121 yyxxba.0/1221 yxyxba1122(,),(,)ax ybxyrr复习引入复习引入讲课人：邢启强3221221)()(|yyxxAB a
2、aa 22yxa 221221)()(yyxxa 222221212121yxyxyyxx 4.平面内两点间的距离公式：求模：5.夹角公式cos=|babarr复习引入复习引入讲课人：邢启强4平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为以后，向量的运算就可以完全转化为“代代数数”的计算，这就为我们解决物理问题和的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具由于向量的
3、线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。一些问题。学习新知学习新知问题：问题：平行四边形是表示向量加法与减法的平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图几何模型。如图，你能发现平行四边形对角你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,ACABAD rrr,DB
4、ABAD rrrABCD猜想：猜想：2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？学习新知学习新知讲课人：邢启强6例例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB,解：解：设 ，则 baDBbaACaDAbBC;,分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。bADaAB,)(2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDAC
5、DBCAB典型例题典型例题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到
6、向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形方法总结方法总结讲课人：邢启强8例例2 如图，如图，ABCD中，点中，点E、F分别分别是是AD、DC边的中点，边的中点，BE、BF分别分别与与AC交于交于R、T两点，你能发现两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC典型例题典型例题讲课人：邢启强9解：设解：设 则则由于由于 与与 共线，故设共线，故设rARACr(),rn ab nRrrr又因为又因为 共线，共线，所以设所以设E RE Brr与与12()ERmEBm ab rrrr因为因为 所以所以A RA EE R rrr1122
7、()rbm ab rrrr1122()()n abbm ab rrrrr因因此此ABCDEFRT,rrrrrrABa ADb ARr rrrACab讲课人：邢启强10102()()mnm anb rrr即即,a brr由由于于向向量量不不共共0102nmmn 线线，1 1解解 得得：n n=m m=3 3111333,ARACTCACRTAC rr rrrr所所以以同同理理于于是是故故AT=RT=TCABCDEFRT讲课人：邢启强11练习、证明直径所对的圆周角是直角练习、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知 O，AB为直径，C为 O上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证ACB=
8、90，只须证向量 ，即 。CBAC 0CBAC解：解：设 则 ，由此可得：bOCaAO,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即 ，ACB=900CBAC思考：能否用向量思考：能否用向量坐标形式证明？坐标形式证明？arbr巩固练习巩固练习讲课人：邢启强12练习练习1：1.求证：梯形的中位线长等于两底和的一半。求证：梯形的中位线长等于两底和的一半。ABCDEF2.设设O为为ABCABC内部的任意一点，内部的任意一点，D D、E E、F F分别为分别为ABAB、BCBC、CACA边边的中点，试证：的中点，试证：。OAOBOCODOEOF r rrr r r巩固练习巩固练习讲课
9、人：邢启强13练习练习2：用向量方法证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.222222222,|2|2|ABAOOB BCBOOCABAOOBAOAO OBOBAOOBBCBOOCBABCDACOBOOBDOOC rr r rrr rr rrr r rr r rrrrr r证明：如图平行四边形，对角线、交于点，222|,|.CBOOCABBCABCDrrr r r，四边形是菱形巩固练习巩固练习讲课人：邢启强14如图，如图，AD，BE，CF是是ABC的三条高的三条高.求证：求证：AD，BE，CF相交于一点相交于一点.BDACFEH巩固练习巩固练习讲课人：邢启强15如图，如图，AD，BE，CF是
10、是ABC的三条高的三条高.求证：求证：AD，BE，CF相交于一点相交于一点.,00ABACAHBHCHBCBHBHECFAC CHABAHBC rr rrrrrr rrrrrrrrr r rrrrrrr r rr rr证明：设 是高线、的交点，则有化简得，所以，三角形三条高线交于一点.且设abhhahbbaha bhb ah ba巩固练习巩固练习讲课人：邢启强16讲课人：邢启强17（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。小结：小结：用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：
