1、5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数学习目标1.能根据定义求函数yc，yx，yx2，y，y的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数导语同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟一、基本初等函数的求导公式问题1回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？提示幂函数，指数函数，对数函数，三角函数问题2如何求f(x)kxb的导数？提示因为k，所以 k.故f(x)k
2、.由导数几何意义，对于ykxb，可看成是某质点做匀速直线运动的模型，其在任意一点的瞬时速度不变，故在每一点的导数均为该直线的斜率知识梳理1求函数导数的流程图2常见函数的导数：(1)(kxb)k(k，b为常数)；(2)C0(C为常数)；(3)(x)1；(4)(x2)2x；(5)(x3)3x2；(6)；(7)().3基本初等函数的导数：(1)(x)x1(为常数)；(2)(ax)axln a(a0，且a1)；(3)(ex)ex；(4)(loga x)loga e(a0，且a1)；(5)(ln x)；(6)(sin x)cos x；(7)(cos x)sin x.注意点：对于根式f(x)，要先转化为f
3、(x)，所以f(x).例1求下列函数的导数：(1)yx0(x0)；(2)yx；(3)ylg x；(4)y；(5)y2cos21.解(1)y0.(2)yxlnxln 3.(3)y.(4)y，y.(5)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.反思感悟(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导(3)要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y2 021；(2)y；(3)y4x；(4)ylog3x.解(1)因为y
4、2 021，所以y(2 021)0.(2)因为y，所以y.(3)因为y4x，所以y4xln 4.(4)因为ylog3x，所以y.二、利用导数公式求函数的导数问题3对于函数f(x)来说，f(1)，f(2)与f(x)有什么区别与联系？提示f(x)是函数f(x)的导函数，f(1)，f(2)是导函数f(x)在x1，x2处的导数值例2求函数f(x)在x1处的导数解f(x)，f(x)，f(1).反思感悟求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解跟踪训练2(1)已知f(x)ln x，则f(e)的值为 答案解析f(x)，f(e).(2)已知函数f(x)在xa处的导数
5、为2，则实数a的值是 答案解析f(x)，当xa时，f(a)2，即a.三、导数公式的应用例3已知曲线yln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程解y，k，切线方程为y1(xe)，即xey0.延伸探究1已知ykx1是曲线yf(x)ln x的一条切线，则k .答案解析设切点坐标为(x0，y0)，由题意得f(x0)k，又y0kx01，y0ln x0，解得y02，x0e2，所以k.2求曲线yln x过点O(0,0)的切线方程解设切点为Q(x0，y0)，则切线的斜率k.又切线的斜率k，即x0e，Q(e,1)，k，切线方程为y1(xe)，即xey0.反思感悟(1)利用导数的几何意义解决切
6、线问题的两种情况若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪训练3(1)函数yx3在点(2,8)处的切线方程为()Ay12x16 By12x16Cy12x16 Dy12x16答案A解析因为y3x2，当x2时，y12，故切线的斜率为12，切线方程为y12x16.(2)已知曲线yln x的一条切线方程为xyc0，则c的值为 答案1解析设切点为(x0，ln x0)，由yln x得y.因为曲线yln x在xx0处的切线方程为xyc0，其斜率为1.所以1，即x01，所以切点为(1,
7、0)所以10c0，所以c1.1知识清单：(1)常用函数的导数(2)基本初等函数的导数公式及应用(3)利用导数研究曲线的切线方程2方法归纳：方程思想、待定系数法3常见误区：不化简成基本初等函数1(多选)下列选项正确的是()Ayln 2，则yBf(x)，则f(3)Cy2x，则y2xln 2Dylog2x，则y答案BCD解析对于A，y0，故A错；对于B，f(x)，f(3)，故B正确；显然C，D正确2f(x)a3(a0，a1)，则f(2)等于()A8 B12 C8ln 3 D0答案D解析f(x)a3(a0，a1)是常数函数，所以f(x)0.所以f(2)0.3已知f(x)，则f(8)等于()A0 B2
8、C. D1答案C解析f(x)，得f(x)，f(8).4曲线y在点M(3,3)处的切线方程是 答案xy60解析y，k1，在点(3,3)处斜率为1的切线方程为y3(x3)，即xy60.课时对点练1下列求导运算正确的是()A(cos x)sin x B(x3)x3ln xC(ex)xex1 D(ln x)答案A2函数y3x在x2处的导数为()A9 B6 C9ln 3 D6ln 3答案C解析y(3x)3xln 3，故所求导数为9ln 3.3已知函数f(x)x(Q，且0)，若f(1)4，则的值等于()A4 B4 C5 D5答案A解析f(x)x1，f(1)(1)14，4.4若函数f(x)cos x，则ff
9、的值为()A0 B1 C1 D2答案A解析f(x)sin x，所以ffsin cos 0.5(多选)下列各式中正确的是()A(x7)7x6 B(x1)x2C() D(cos 2)sin 2答案AC解析B项，(x1)x2；D项，(cos 2)0.BD错误6(多选)已知曲线yx3在点P处的切线斜率为k，则当k3时的P点坐标为()A(1,1) B(1，1)C(1,1) D(1，1)答案BC解析y3x2，因为k3，所以3x23，所以x1，则P点坐标为(1，1)或(1,1)7若曲线y在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 答案4解析因为y，所以切线方程为y(xa)，令x0
10、，得y，令y0，得xa，由题意知a2，所以a4.8设函数yf(x)是一次函数，若f(1)1，且f(2)4，则f(x) .答案4x3解析yf(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，则f(1)ab1，又f(2)a4.a4，b3，f(x)4x3.9点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离解如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近则曲线yex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，其导数y(ex)ex，所以1，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为.10已知抛物线yx2，求过点且与抛物线相切的直线
11、方程解设切线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y2k，因为y2x，所以k2x0，又点(x0，y0)在切线上，所以x22x0，解得x01或x02，则k2或k4，所以直线方程为y22或y24，即2xy10或4xy40.11已知函数yf(x)在x1处的切线与直线xy30垂直，则f(1)等于()A2 B0 C1 D1答案C解析由题可知，函数yf(x)在x1处的切线的斜率为f，直线xy30的斜率为1，故f1得f1，故选C.12如图，函数yf(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)f(2)等于()A4 B3 C2 D1答案D解析由图象可得函数yf(x)的图象在
12、点P处的切线是l，与x轴交于点，与y轴交于点，则l：xy4，f2，f(2)1，f(2)f(2)1.13下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()Af(x)ex Bf(x)x3Cf(x)ln x Df(x)sin x答案D解析若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为1.因为A项中，(ex)ex0，B项中，(x3)3x20，C项中，x0，即(ln x)0，所以不会使切线斜率之积为1，故选D.14设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 021(x) .答案cos x解析由已知得，f1(x)cos x，f2(x)sin x，
13、f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 021(x)f1(x)cos x.15函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*，若a116，则a1a3a5的值是 答案21解析y2x，yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为ya2ak(xak)又该切线与x轴的交点坐标为(ak1,0)，ak1ak，即数列ak是首项为a116，公比为q的等比数列，a34，a51，a1a3a521.16设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlg xn，求a1a2a99的值解导函数y(n1)xn，切线斜率kn1，所以切线方程为y(n1)xn，可求得切线与x轴的交点为，则anlglg nlg(n1)，所以a1a2a99(lg 1lg 2)(lg 2lg 3)(lg 99lg 100)lg 1lg 1002.
