1、5.3 平面向量的数量积 第五章 平面向量 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 OA a ， OB b ， 1.向量的夹角 已知两个非零向量 a和 b， 作 则 就是 向量 a与 b的夹角 ， 向量夹角的范围 是 . 知识梳理 AOB 0， 定义 设两个非零向量 a， b的夹角为 ， 则 叫作 a与 b的数量积，记作 ab 射影 叫作 向量 a在 b方向上的射影 ， 叫作 向量 b在a方向上的射影 几何意义 ab的数量积等于 a的长度 |a|与 b在 a的方向上的 射影 的乘积 2.平面向量的数量积 |a|b|cos |a|cos |b|cos |b
2、|cos 3.平面向量数量积的性质 设 a， b都是非零向量 ， e是单位向量 ， 为 a与 b(或 e)的夹角 .则 (1)ea ae |a|cos . (2)a b? . (3)当 a与 b同向时 ， ab |a|b|； 当 a与 b反向时 ， ab |a|b|. 特别地 ， aa 或 |a| . (4)cos . (5)|ab| . ab 0 aa ab|a|b| |a|b| |a|2 4.平面向量数量积满足的运算律 (1)ab ； (2)(a)b (为实数 )； (3)(a b)c . ba (ab) a( b) ac bc 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a (x1，
3、y1)， b (x2， y2)， 则 ab ， 由此得到 (1)若 a (x， y)， 则 |a|2 或 |a| . (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 A， B两点间的距离 |AB| . (3)设两个非零向量 a， b， a (x1， y1)， b (x2， y2)， 则 a b? . (4)若 a， b都是非零向量 ， 是 a与 b的夹角 ， 则 cos . x1x2 y1y2 x2 y2 x 2 y 2 |AB | ? x 2 x 1 ? 2 ? y 2 y 1 ? 2 x1x2 y1y2 0 ab|a|b| x 1 x 2 y 1 y 2x 21 y 21 x 22 y 221.两个向量 a， b的夹角为锐角 ?ab0且 a， b不共线； 两个向量 a， b的夹角为钝角 ?ab0， 则 a和 b的夹角为锐角；若 ab0， 则 a和 b的夹角为钝角 .( ) 基础自测 1 2 3 4 5 6 ?0， 2
