1、第八节直线与圆锥曲线,总纲目录,教材研读,1.直线与圆锥曲线位置关系的判断,考点突破,2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题,3.弦AB的中点与直线AB斜率的关系,考点二弦长问题,考点一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用,考点三中点弦问题,1.直线与圆锥曲线位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆锥曲线r的方程F(x,y)=0联立,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即联立?消去y(或x)后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)当a0时,若0,则直线l与曲线r相交;若=0,则直线l与曲线r
2、相切;若b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是?+?=1.(2)过椭圆?+?=1(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所在直线方程是?+?=1.(3)椭圆?+?=1(ab0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=C2.,圆锥曲线的切线方程,2.双曲线的切线方程(1)双曲线?-?=1(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是?-?=1.(2)过双曲线?-?=1(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所在直线方程是?-?=1.(3)双曲线?-?=1(a0,b0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2-B2b2=C2.,3.抛物线的切
3、线方程(1)抛物线y2=2px(p0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0).(2)抛物线y2=2px(p0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所在直线方程是y0y=p(x+x0).(3)抛物线y2=2px(p0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC.,直线l过抛物线的焦点,抛物线方程以y2=2px(p0)为例,那么|AB|=x1+x2+p.,3.弦AB的中点与直线AB斜率的关系(1)已知AB是椭圆?+?=1(ab0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运用点差法求直线AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),A,B都在椭圆上
4、,?两式相减得?+?=0,?+?=0,?=-?=-?,故kAB=-?.(2)已知AB是双曲线?-?=1(a0,b0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x,2,弦中点M(x0,y0),则与(1)同理可知kAB=?.(3)已知AB是抛物线y2=2px(p0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中点M(x0,y0).则?两式相减得?-?=2p(x1-x2),(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),?=?=?,即kAB=?.,1.直线y=kx-k+1与椭圆?+?=1的位置关系为?()A.相交B.相切C.相离D.不确定,答案A由于直线y=kx-k+1=
5、k(x-1)+1过定点(1,1),又(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.,A,2.直线y=?x+3与双曲线?-?=1的交点个数是?()A.1B.2C.1或2D.0,答案A因为直线y=?x+3与双曲线的渐近线y=?x平行,所以它与双曲线只有1个交点.,A,3.双曲线C:?-?=1(a0,b0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左,右两支都相交的充要条件是?()A.k-?B.k?或k-?D.-?k,答案D由双曲线的渐近线的几何意义知-?k0)的焦点,直线l与抛物线C交于A,B两点,若|AB|=6,则p的值为?()A.?B.?C.1D.2,答案B由?得x2-(2m+2
6、p)x+m2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m+2p,又直线l:x-y-m=0经过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点?,?-0-m=0,解得m=?,又|AB|=x1+?+x2+?=x1+x2+p=2m+3p=4p=6,p=?,故选B.,B,5.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有条.,答案3,3,典例1在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:?+?=1(ab0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.,考点一直线与圆锥
7、曲线位置关系的判定及应用,考点突破,方法技巧(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.,1-1若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,那么k的取值范围是?()A.?B.?C.?D.,D,答案D由?消去y,得(1-k2)x2-4kx-10=0,直线与双曲线右支交于不
8、同的两点,?解得-?k0,解得-2mb0)的离心率为?,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时,AB=4.(1)求椭圆的方程;(2)若|AB|+|CD|=?,求直线AB的方程.,解析(1)由题意知e=?=?,2a=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=?,c=1,所以椭圆方程为?+?=1.(2)当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的斜率不存在,由题意知|AB|+|CD|=7,不满足条件.当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线CD的方程为y=-?(x-1).,将直线A
9、B的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=?,x1x2=?,所以|AB|=?|x1-x2|=?=?.同理,|CD|=?=?,所以|AB|+|CD|=?+?=?=?,解得k=1,所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.,典例3抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为?()A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=-2x,考点三 中点弦问题,B,方法技巧处理中点弦问题的常用方法(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,?三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程,转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.,3-1已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线l:y=-kx+?对称,求k的取值范围.,解析由题意知k0,设M(x1,?),N(x2,?),因为MNl,所以?=?,即x1+x2=?.又MN的中点在l上,所以?=-k?+?=-k?+?=4,因为MN的中点必在抛物线内,所以?,即4?,所以k2?,即k?或k-?,故k的取值范围是?.,
