1、,函数、导数及其应用,第 二 章,第14讲导数与函数的单调性,栏目导航,函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，且导函数f(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0.(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内_.(2)若f(x)0.( )(2)如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则函数f(x)在此区间内没有单调性()解析(1)错误可导函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)0，故f(x)0是f(x)在区间(a，b)上单调递增的充分不必要条件(2)正确如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数函数如f(x)3，则f(x)0，函数f(x)不存在单调性,B,3已知函
2、数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(),B,解析从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率先增大后减小，在x0时变化率最大A项，在x0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误B项正确,4已知函数f(x)mx33(m1)x2m21(m0)的单调递减区间是(0,4)，则m_.,利用导数求函数的单调区间的两种方法的步骤方法一：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数yf(x)；(3)令f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)令f(x
3、)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围,【例3】 已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在(1，)上为增函数，求a的取值范围；(3)若f(x)在(1,1)上为减函数，求a的取值范围；(4)若f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的值；(5)若f(x)在(1,1)上不单调，求a的取值范围,解析(1)f(x)在R上为增函数，f(x)3x2a0在R上恒成立a3x2对x
4、R恒成立3x20，只需a0.又a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上为增函数，a的取值范围是(，0(2)f(x)3x2a，且f(x)在(1，)上为增函数，f(x)0在(1，)上恒成立，3x2a0在(1，)上恒成立，a3x2在(1，)上恒成立，a3，即a的取值范围是(，3,(3)f(x)3x2a，且f(x)在(1,1)上为减函数，f(x)0?3x2a0在(1,1)上恒成立，a3x2在(1,1)上恒成立x(1,1)，3x22，f(x)20，即g(x)0，g(x)f(x)2x4在R上单调递增又f(1)2，g(1)f(1)20，g(x)0?g(x)g(1)?x1，f(x)2x4的解集是(1，)
5、故选B,1函数f(x)的定义域为R，f(0)2，对任意的xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集是()Ax|x0Bx|x1Dx|x1或0x1，g(x)exf(x)f(x)10，g(x)在R上是增函数又g(0)e0f(0)e010，exf(x)ex1?exf(x)ex10?g(x)0?g(x)g(0)?x0.故选A,2求下列函数的单调区间(1)f(x)3x22ln x；(2)f(x)x2ex.,3设函数f(x)x3ax29x1(a0，故f(x)在(，1)上为增函数；当x(1,3)时，f(x)0，故f(x)在(3，)上为增函数综上，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(3，)，单调递减区间为(1,3),错因分析：不清楚可导函数f(x)在某区间上f(x)0(f(x)0)只是f(x)在该区间上是单调递增(减)函数的充分不必要条件，从而造成漏解或错解,易错点导数与单调性的关系不明确,解析 yx22bxb20恒成立(显然y不恒为零)，4b24(b2)0，整理得(b2)(b1)0，1b2.答案1,2,C,
