1、第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例,总纲目录,教材研读,1.平面向量的数量积,考点突破,2.向量的数量积的性质,3.向量的数量积的运算律,考点二平面向量数量积的应用,考点一平面向量数量积的运算,4.平面向量的数量积的坐标表示,考点三平面向量与三角函数的综合问题,1.平面向量的数量积(1)向量a与b的夹角:已知两个非零向量a,b,过O点作?=a,?=b,则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.当=90时,a与b垂直,记作ab;当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反向.(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则把数量|a|b|cos 叫做a和b,教材研读,的数量积
2、(或内积),记作ab=|a|b|cos .(3)规定0a=0.(4)一个向量在另一个向量方向上的投影设是a与b的夹角,则|a|cos 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量.(5)ab的几何意义ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.,2.向量的数量积的性质设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1)ea=ae=|a|cos .(2)ab?ab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|.当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2.(4)cos =?.(
3、5)|ab|a|b|.,3.向量的数量积的运算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.,4.平面向量的数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=?.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|?|=?,这就是平面内两点间的距离公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量,则ab?x1x2+y1y2=0.,1.(2016北京海淀二模)已知向量a=(1,2),b=(2,t),且ab=0,则|b|=?
4、()A.?B.2?C.2?D.5,答案Aa=(1,2),b=(2,t)且ab=0,2+2t=0,t=-1.b=(2,-1).故|b|=?=?.,A,2.(2017北京西城二模)设向量a=(2,1),b=(0,-2),则与a+2b垂直的向量可以是?()A.(3,2)B.(3,-2)C.(4,6)D.(4,-6),答案A由题意,可知a+2b=(2,-3).利用两非零向量数量积为0可推出两向量垂直,检验四个选项,只有A符合题意.,A,3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为?()A.30B.60C.120D.150,答案C设a与b的夹角为,(2a+b)b=0,2a
5、b+b2=0,2|a|b|cos +b2=0,又|a|=|b|,2|a|2cos +|a|2=0,cos =-?,又0180,=120.故选C.,C,4.(2018北京西城高三期末)向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,如果小正方形网格的边长为1,那么ab=.,4.(2018北京西城高三期末)向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,如果小正方形网格的边长为1,那么ab=.,答案4,4,解析以a的起点为坐标原点,a的方向为x轴的正方向,建平面直角坐标系,则a=(2,0),b=(2,-1),ab=4.,5.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,?),b=(?,1),则a与b夹角的大小为.,
6、答案?解析cos=?=?=?,a与b夹角的大小为?.,考点一平面向量数量积的运算,考点突破,典例1(1)(2017北京朝阳期中)已知三角形ABC外接圆的半径为1(O为圆心),且?+?=0,|?|=2|?|,则?等于?()A.-?B.-?C.?D.?(2)(2017北京丰台一模)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=CD=1,P是AB的中点,则?=.,答案(1)A(2)-1,解析(1)三角形ABC外接圆的半径为1(O为圆心),且?+?=0,O为BC的中点,BC为圆O的直径,故ABC是直角三角形,BAC为直角,OA=OC=1.又|?|=2|?|,|?|=?,|?|=2
7、,|?|=?,cos C=?=?=?.?=-?=-|?|?|cos C=-?2?=-?.故选A.(2)如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴建立平面直角,方法技巧(1)求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算,但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.另外,解决此类问题时,可建立坐标系,利用向量的坐标表示求解.,1-1(2016北京朝阳期中)在ABC中,已知?=4,|?|=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则?的值是?()A.
8、5B.?C.6D.8,C,答案C如图,设BC的中点为O,连接AO.?由?=4,|?|=3,可得(?+?)(?+?)=(?+?)(?-?)=?-?=?-?=4,?=?.?=(?+?)(?+?)=(?+?)(?-?)=?-?=?-?=6.,故选C.,1-2(2016北京石景山一模)如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,点E从D点出发,按字母顺序DABC沿线段DA,AB,BC运动到C点,在此过程中,?的最大值是?()?A.0B.?C.1D.-1,A,答案A建系如图.?则B(0,0),C(1,0),D(1,1),A(0,1).设E(x,y)(0x1,0y1).?=(x-1,y-1),?=(0,1),
9、?=y-1(0y1).当y=1时,?有最大值,为0.,典例2(1)已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为?,那么|4a-b|=?()A.2B.6C.2?D.12(2)(2015北京西城一模)已知平面向量a,b满足a=(1,-1),(a+b)(a-b),那么|b|=.,考点二平面向量数量积的应用命题角度一模的问题,答案(1)C(2),解析(1)|4a-b|2=16a2+b2-8ab=161+4-812cos?=12,|4a-b|=2?.(2)(a+b)(a-b),(a+b)(a-b)=0,即a2-b2=0,所以|b|=|a|=?.,命题角度二垂直问题典例3(2016北京朝阳二模)已知向量a=
10、(1,2),向量b=(2,m),若a+b与a垂直,则实数m的值为.,答案-,-,解析a=(1,2),b=(2,m),a+b=(3,2+m).a+b与a垂直,(a+b)a=0.3+2(2+m)=0.m=-?.,答案(1)A(2)B(3),解析(1)cosABC=?=?,所以ABC=30,故选A.(2)a=(1,?),b=(3,m),|a|=2,|b|=?,ab=3+?m,又a,b的夹角为?,?=cos?,即?=?,?+m=?,解得m=?.(3)(a+b)(2a-b)=2|a|2+ab-|b|2=-4,则ab=-4-2|a|2+|b|2=4.设a与b的夹角为,0,cos =?=?.=?.,方法技巧
11、平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角:cos =?,要注意0,.(2)两向量垂直的应用:ab?ab=0?|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有a2=aa=|a|2或|a|=?.|ab|=?=?.若a=(x,y),则|a|=?.,2-1(2015北京西城期末)在平面直角坐标系xOy中,点A(1,3),B(-2,k),若向量?,则实数k=?()A.4B.3C.2D.1,2-1(2015北京西城期末)在平面直角坐标系xOy中,点A(1,3),B(-2,k),若向量?,则实数k=?()A.4B.3C.2D.1,解析A易知?=(1,3),?=(-3,k-
12、3),?,?=0,即1(-3)+3(k-3)=0,解得k=4.故选A.,A,2-2(2015北京朝阳一模)已知?和?是平面内的两个单位向量,它们的夹角为60,则2?-?与?的夹角是?()A.30B.60C.90D.120,答案C设2?-?与?的夹角为,则cos =?,因为?与?是平面内的两个单位向量,所以|?|=1,|?|=1,则(2?-?)?=-(2?-?)?=-2?+?=-2|?|?|cos 60+|?|2=0,所以cos =0,又0180,所以=90,故选C.,C,2-3(2015北京海淀一模)已知单位向量a与向量b=(1,-1)的夹角为?,则|a-b|=.,答案1,解析b=(1,-1),|b|=?.又|a|=1,a与b的夹角为?,|a-b|=?=?=?=1.,1,解析(1)因为b=(sin x,-cos x),c=(-cos x,-sin x),所以b-c=(sin x+cos x,sin x-cos x),又a=(sin x,cos x),所
