1、2.7 函数与方程,高考数学,考点函数的零点与方程的根1.函数零点的定义(1)对于函数y=f(x)(xD),我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点.(2)方程f(x)=0有实根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.2.函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系,判断函数零点个数的解题策略1.令f(x)=0,直接求出零点.若能求出解,则有几个不同的解就有几个零点.2.利用零点存在性定理并结合函数图象与性质(如单调性、奇偶性等)确定函数有多少个零点.3.构造两个函数,把
2、函数零点问题转化为两函数图象的交点问题,画出两函数的图象,看其交点的个数,有几个交点就有几个零点.例1(2017浙江台州质量评估,9)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=?则方程|f(x)-g(x)|=2的实根个数为?()A.1B.2C.3D.4,方法技巧,D,解题导引 转化为求函数y=f(x)和函数y=g(x)+2的图象公共点个数与函数y=f(x)和函数y=g(x)-2的图象公共点个数之和作出函数y=f(x)、y=g(x)+2和y=g(x)-2的图象由图象公共点个数得方程实根个数,解析|f(x)-g(x)|=2等价于f(x)=g(x)2.由函数与方程的关系知,方程|f(x)-g(x)|
3、=2的实根个数等价于函数y=f(x)和y=g(x)+2的图象的公共点个数与函数y=f(x)与函数y=g(x)-2的图象的公共点个数之和.在同一坐标系中作出函数y=f(x),y=g(x)+2和y=g(x)-2的图象(如图所示),由图象可知,共有4个公共点,所以方程|f(x)-g(x)|=2有4个实根,故选D.,利用函数零点的个数研究参变量的取值范围的解题策略1.直接法:直接根据题意构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数范围.2.分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的最值问题.3.数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合法构建关于参数的不等式(组)求解.
4、例2(2017浙江名校协作体期初,7)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当0x2时, f(x)=min-x2+2x,2-x,若方程f(x)-mx=0恰有两个实根,则m的取值范围是?()A.?B.?,C.? D.?,C,解题导引根据已知条件得到f(x)在0x2上的解析式结合f(x)的奇偶性与周期性作出函数f(x)和y=mx在0,+)上的图象由两函数图象恰有两个交点得m的范围再由函数的奇偶性得结论,解析当0x1时,-x2+2x2-x,当1x2时,-x2+2x2-x,所以f(x)=?又因为f(x)是偶函数,且是以4为周期的周期函数,作出函数f(x)的图象(图略),直线y=mx与y=-x2+2x的图象相切时,m=2,直线y=mx经过点P(3,1)时,与函数f(x)的图象有三个交点,此时m=?,故x0时,要使方程f(x)-mx=0恰有两个实根,则?m2,由对称性知x0时,要使方程f(x)-mx=0恰有两个实根,则-2m-?,故选C.,
