1、第一节平面向量的概念及其线性运算,总纲目录,教材研读,1.向量的有关概念,考点突破,2.向量的线性运算,3.共线向量定理,考点二向量的线性运算,考点一向量的有关概念,考点三共线向量定理的应用,1.向量的有关概念,教材研读,2.向量的线性运算,向量运算的常用结论(1)在ABC中,D是BC的中点,则?=?(?+?);(2)O为ABC的重心的充要条件是?+?+?=0;(3)四边形ABCD中,E为AD的中点,F为BC的中点,则?+?=2?.,3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得?b=a.,1.下列说法正确的是?()A.?就是?所在的直线平行于?所在的直线B.长度相等
2、的向量叫相等向量C.零向量长度等于0D.共线向量是在同一条直线上的向量,答案C?包含?所在的直线与?所在的直线平行和重合两种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;零向量长度为0,故C正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故D错.,C,2.(2016北京西城期末)设M是ABC所在平面内一点,且?=?,则?=?()A.?-?B.?+?C.?(?-?)D.?(?+?),答案DM是ABC所在平面内一点,且?=?,M为BC的中点,?=?(?+?).故选D.,D,3.(2017北京海淀二模)已知向量a=(x,1),b=(3,-2),若ab,则x
3、=?()A.-3B.-?C.?D.,答案Ba=(x,1),b=(3,-2),且ab,-2x-3=0,x=-?.,B,4.(2017北京海淀期中)在正方形ABCD中,E是线段CD的中点,若?=?+?,则-=.,答案,解析在正方形ABCD中,E是线段CD的中点,因为?=?+?=?+?=?-?+?=?+?+?=?+?=?+?,所以=?,=1,所以-=?,故答案为?.,考点一向量的有关概念,考点突破,典例1给出下列命题:(1)若|a|=|b|,则a=b;(2)若A、B、C、D是不共线的四点,则?=?是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;(3)若a=b,b=c,则a=c;(4)两向量a、b相等的充要条
4、件是|a|=|b|且ab;(5)如果ab,bc,那么ac.其中假命题的个数为?()A.2B.3C.4D.5,B,答案B,解析(1)不正确.两个向量的模相等,但它们的方向不一定相同,因此由|a|=|b|推不出a=b.(2)正确.若?=?,则|?|=|?|且?.又A、B、C、D是不共线的四点,四边形ABCD是平行四边形.反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB?DC且?与?方向相同,因此?=?.(3)正确.a=b,a、b的长度相等且方向相同.b=c,b、c的长度相等且方向相同.a、c的长度相等且方向相同,a=c.(4)不正确.当ab,但方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故,不是a
5、=b的充要条件.(5)不正确.若b=0,则a与c不一定共线.,易错警示(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a与?的关系:?是a方向上的单位向量.,1-1设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使?=?成立的充分条件是?()A.a=-bB.abC.a=2bD.ab且|a|=|b|,答案C因为向量?的方向与向量a相同,向量?的方向与向量b相同,且?=?,所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D.当a=2b时,?=?=?,
6、故a=2b是?=?成立的充分条件.,C,1-2给出下列命题:两个具有公共终点的向量一定是共线向量.两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.若a=0(为实数),则必为零.若a=b(,为实数),则a与b共线.其中错误命题的个数为?()A.1B.2C.3D.4,答案C错误,两向量是否共线要看其方向,而不是起点或终点.正确,因为向量既有大小,又有方向,故两个向量不能比较大小,但两个向量的模均为实数,故可以比较大小.错误,当a=0时,无论为何值,均有a=0.错误,当=0时,a=b=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C.,C,1-3如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则图中与?相等的向量有.,答
7、案?,?,?,A.?B.-?C.1D.-1,答案(1)C(2)A,解析(1)点D满足?=3?,?=?+?=?+?=?+?(?-?)=?+?.故选C.(2)因为E为DC的中点,所以?=?+?=?+?+?=?+(?+?)=?+?,故?=-?+?,所以=-?,=1,所以+的值为?.,2-1在ABC中,?=c,?=b.若点D满足?=2?,则?=?()A.?b+?cB.?c-?bC.?b-?cD.?b+?c,答案D由题意可知?=?-?=b-c,?=2?,?=?=?(b-c),则?=?+?=?+?=c+?(b-c)=?b+?c.故选D.,D,2-2(2017北京海淀一模)在ABC中,点D满足?=2?-?,
8、则( )A.点D不在直线BC上B.点D在BC的延长线上C.点D在线段BC上D.点D在CB的延长线上,答案D?=2?-?=?+?-?=?+?.如图,以B为始点,作?=?,连接AD,则?+?=?+?=?=?.D和D重合,点D在CB的延长线上,故选D.,D,变式3-1若将本例(1)中“?=2a+8b”改为“?=a+mb”,则m为何值时,A、B、D三点共线?,解析?+?=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,即?=4a+(m-3)b.若A、B、D三点共线,则存在实数,使?=?,即4a+(m-3)b=(a+b),?解得m=7.故当m=7时,A、B、D三点共线.,变式3-2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?,解析因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数,使ka+b=(a+kb)(0),所以?所以k=1.又0,k=,所以k=-1.故当k=-1时,两向量反向共线.,3-3设两个非零向量a与b不共线,若a与b的起点相同,且a,tb,?(a+b)的终点在同一条直线上,求实数t的值.,解析a,tb,?(a+b)三个向量的终点在同一条直线上,且a与b的起点相同,a-tb与a-?(a+b)共线,即a-tb与?a-?b共线,存在实数,使a-tb=?,?解得=?,t=?.,
