1、用函数模型解决实际问题【教学目标】1通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养。2通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养。【教学重难点】1会利用已知函数模型解决实际问题。(重点)2能建立函数模型解决实际问题。(重、难点)【教学过程】一、基础铺垫常用的函数模型：二、新知探究1表格信息类建模问题【例1】 某国2015年至2018年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份2015201620172018x(年)0123生产总值(万亿元)8.206 78.944 29.593 310.239 8(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利
2、用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值。解 (1)根据表中数据画出函数图形，如图所示。从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为ykxB把直线通过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解方程组，可得k0.677 7，b8.206 7所以它的一个函数关系式为y0.677 7x8.206 7(2)由(1)中得到的关系式为f(x)0.677 7x8.206 7，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为f(1)0.677 718.206 78.884 4，f(2)0.677 728.2
3、06 79.562 1与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元。(3)2019年，即x4，由上述关系式，得yf(4)0.677 748.206 710.917 5，即预测2019年该国的国内生产总值约为10.917 5万亿元。【教师小结】(1)根据表格信息，画出图像；(2)根据图像特征，选定函数模型；(3)用待定系数法求出函数解析式；(4)检验模型。2图像信息解读问题【例2】 如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图像。图1 图2 图3 (1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示。你能根
4、据图像，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解 (1)点A表示无人乘车时收支差额为20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利。(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价。(3)斜率表示票价。(4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元。【教师小结】（1）这类问题应结合图像的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决。（2）挖掘图像中的信息是关键。三、课堂总结1函数模型的应用实例主要包括2个方
5、面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；2在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求。3在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化。四、课堂检测1思考辨析(1)在建立实际问题的函数模型时，除了要考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义。( )(2)由函数模型得到的解就是实际问题的解。( )答案 (1) (2)2某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有
6、点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(ba)，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为( )A B C DC 由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升。由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段。然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升。故选C3国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x(km)0x500500x1 0001 000x1 500邮资y(元)5.006.007.00如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是( )A5.00元 B6.00元C7.00元 D8.00元C 由题意可知，当x1200时，y7.00元，故选C4要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图所示，窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积S最大，窗户应具有怎样的尺寸？解 由题意得窗框总长lxx2y，y，Sx2xyx2x2。由得x，当x时，Smax，此时y，所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大。
