1、第四节 数列求和与数列的综合问题 本节主要包括 3 个知识点： 1. 数列求和； 2. 等差、等比数列的综合应用； 3. 数列与其他知识的交汇问题 . 突破点 (一 ) 数列求和 02 突破点 (二 ) 等差、等比数列的综合应用 03 突破点 (三 ) 数列与其他知识的交汇问题 课时达标检测 04 01 01 突破点（一） 数列求和 基础 联通 抓主干知识的 “ 源 ” 与 “ 流 ” 1 公式法与分组转化法 (1) 公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 (2) 分组转化法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减
2、2 倒序相加法与并项求和法 ( 1) 倒序相加法 如果一个数列 an 的前 n 项中首末两端等 “ 距离 ” 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式就是用此法推导的 ( 2) 并项求和法 在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an ( 1)nf ( n ) 类型，可采用两项合并求解 3 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和 4 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用错位相减法来求，
3、如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的 . 考点 贯通 抓 高考命题的 “ 形 ” 与 “ 神 ” 分组转化法求和 例 1 已知数列 a n ， b n 满足 a 1 5 ， a n 2 a n 1 3n 1( n 2 ，n N*) ， b n a n 3n( n N*) ( 1) 求数列 b n 的通项公式； ( 2) 求数列 a n 的前 n 项和 S n . 解 (1) an 2 an 1 3n 1( n N*， n 2) ， an 3n 2( an 1 3n 1) ， bn 2 bn 1( n N*， n 2) b1 a1 3 2 0 ， bn 0( n 2) ， bnbn 1
4、2 ， bn 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 bn 2 2n 1 2n. (2) 由 (1) 知 an bn 3n 2n 3n， Sn (2 22 ? 2n) (3 32 ? 3n) 2 ? 1 2n?1 23 ? 1 3n?1 3 2n 13n 1272. 方法技巧 分组转化法求和的常见类型 (1) 若 an bn cn，且 bn ， cn 为等差或等比数列，可采用分组转化法求 an 的前 n 项和 (2) 通项公式为 an?bn， n 为奇数，cn， n 为偶数的数列，其中数列 bn ， cn 是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和 错位相减法求和 例 2 ( 2017 天津高考 ) 已知 an 为等差数列，前 n 项和为 Sn( n N*) ， bn 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0 ， b2 b3 12 ， b3 a4 2 a1， S11 11 b4. ( 1) 求 an 和 bn 的通项公式； ( 2) 求数列 a2 nb2 n 1 的前 n 项和 ( n N*)
