1、第24讲与圆有关的位置关系命题点近8年的命题形式考查方向点与圆的位置关系2017(T23(3)解)作为圆的核心知识点的补充，在中考范围内仅出现一次(2017年)，并巧妙结合外心与扇形相关内容进行考查，估计这种形式将偶尔出现.切线的性质与判定2018(T25解)，2017(T23解)，2016(T25解)，2015(T26解)，2014(T25解)，2013(T24解)，2012(T25解)，2011(T25解)切线的性质与判定是河北省中考必考考点，呈现方式稳定，多以部分圆为背景(半圆或扇形，弓形等)，以旋转或折叠等方式，在变化过程中，对某一位置或某一时刻形成相切时，对对应的某一量进行求解，体现
2、了从一般到特殊，再到一般的研究问题的思维过程.三角形的内心与外心2018(T15选，T23(3)解)，2017(T23(3)解)，2016(T9选)，2015(T6选)作为圆的核心知识点的补充，近四年出现在中考试题中，既体现考查知识的连续性，又体现考查知识的全面性，估计这种全局设计方式在一定时期内将一直存在.命题点1三角形的内心与外心1(2015河北T63分)如图，AC，BE是O的直径，弦AD与BE相交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(B)AABE BACF CABD DADE2(2016河北T93分)如图为44的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)AACD的外心 BABC
3、的外心 CACD的内心 DABC的内心3(2018河北T152分)如图，点I为ABC的内心，AB4，AC3，BC2，将ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为(B)A4.5 B4 C3 D2命题点2切线的性质与判定4(2013河北T2411分)如图，在OAB中，OAOB10，AOB80，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N.(1)点P在右半弧上(BOP是锐角)，将OP绕点O逆时针旋转80得OP.求证：APBP；(2)点T在左半弧上，若AT与相切，求点T到OA的距离；(3)设点Q在优弧上，当AOQ的面积最大时，直接写出BOQ的度数解：(1)证明：AOPAOBBOP80
4、BOP，BOPPOPBOP80BOP，AOPBOP.又OAOB，OPOP，AOPBOP(SAS)APBP.(2)连接OT，过点T作THOA于点H.AT与相切，ATO90.AT8.OATHATOT，TH.点T到OA的距离为.(3)10或170.(注：当OQOA时，AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点)重难点1切线的性质如图，AB是O的直径，且长为10，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，延长CO交O于点D，连接AD，过点D作O的切线交PB的延长线于点E，连CE.(1)若ADC30，求的长；(2)求证：DACECP；(3)在点P运动过程中，若tanDCE，求A
5、D的长【思路点拨】(1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系，可求得DOB60，利用弧长公式求的长；(2)先证得四边形DCPE是矩形，从而证明DACECP；(3)可以利用tanDCE在RtDAC中获得三边的数量关系，在RtAOC中建立方程求解【自主解答】解：(1)ADC30，OAOD，OAD30.DOB60.l.(2)证明：连接OP.AOOP，点C是AP的中点，DCP90.DE是O的切线，CDE90.AB是O的直径，APB90.四边形DCPE是矩形DCEP.又ACCP，ACDCPE90，DACECP(SAS)(3)由(2)知，四边形DCPE是矩形，DACECP，ADCCEPDCE.tanDCE
6、，tanADC.设ACx，则DC2x，ADx.在RtAOC中，OC2x5，AO2AC2OC2，52x2(2x5)2，解得x10(舍去)，x24.AD4.【变式训练1】如图，AB是O的直径，BAC60，P是OB上一点，过点P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.(1)求证：CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求BPPO的值解：(1)证明：AB是O的直径，ACB90.PQAB，APQ90.又BAC60，OAOC，OAC是等边三角形，ABCQ30.ACO60.DCQ180906030.DCQQ.CDQ是等腰三角形(2)设O的半径为x，则AB2x，ACx，
7、BCx.CDQCOB，CQBCx.AQACCQ(1)x.APAQx.BPABAPx，POAPAOx.BPPO.1遇切线，通常的方法是连接过切点的半径，利用切线垂直于过切点的半径，构建直角三角形，进而利用直角三角形进行求解或证明2在圆中还可以获得直角的方法有：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，直径所对的圆周角是直角3以圆为背景的求解题，往往转化成解双直角三角形或者相似三角形重难点2切线的判定(2018聊城)如图，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于点E，作EDEB交AB于点D，O是BED的外接圆(1)求证：AC是O的切线；(2)已知O的半径为2.5，BE4，求BC，AD的长【思路点拨】
8、(1)证AC是O的切线，可转化为证OEAC；(2)求BC，AD的长可通过证明BDEBEC和AOEABC.【自主解答】解：(1)证明：连接OE.OBOE，OBEOEB.BE平分ABC，OBECBE.OEBCBE.OEBC.又C90，AEO90，即OEAC.又OE是O的半径，AC为O的切线(2)EDBE，BEDC90.又DBEEBC，BDEBEC.，即.BC.AEOC90，AA，AOEABC.，即.AD.【变式训练2】(2018安顺)如图，在ABC中，ABAC，点O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.(1)求证：AB是半圆O所在圆的切线；(2)若cosABC，AB12，求半圆O所在圆的半径解：(
9、1)证明：作OEAB于点E，连接OD，OA.ABAC，点O是BC的中点，CAOBAO.AC与半圆O相切于点D，ODAC.又OEAB，ODOE，即OE是半圆O所在圆的半径AB是半圆O所在圆的切线(2)ABAC，点O是BC的中点，AOBC.在RtAOB中，OBABcosABC128.根据勾股定理，得OA4.SAOBABOEOBOA，OE，即半圆O所在圆的半径为.1证明某条直线是圆的切线的方法：(1)若这条直线经过圆上一点，需证明这条直线和经过这一点的半径垂直；(2)若没有明确直线经过圆上一点，需证明圆心到这条直线的距离等于圆的半径2不能或不易直接求解的边长可转化成易求两条边长的差或和重难点3三角形
10、的内心与外心如图，点O为锐角ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在ABC的外部，判断下列说法正确的是(B)A点O是AEB的外心，点O是AED的外心B点O是AEB的外心，点O不是AED的外心C点O不是AEB的外心，点O是AED的外心D点O不是AEB的外心，点O不是AED的外心【变式训练3】如图，若点O是AB的中点，且点O不是一个三角形的外心，则这个三角形可以是(B)AABC BABE CABF DABD【变式训练4】如图，O截ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是(A)A点O是ABC的内心 B点O是ABC的外心CABC是正三角形 DABC是等腰三角形【变式训练5】如图，ABC
11、的外心坐标是(B)A(1，2) B(2，1) C(2，2) D(1，1)1判断点是某个三角形的外心，只需说明点到此三角形的三个顶点的距离相等即可；判断点是某个三角形的内心，只需说明点到此三角形三边的距离相等即可2三角形的内心是三角形角平分线的交点，又是三角形内切圆的圆心；三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点，又是三角形外接圆的圆心它是串联圆与三角形之间的关键点，可以利用它从一个图形过渡到另一个图形重难点4切线长定理如图，ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片，BC5 cm，O是它的内切圆，小明准备用剪刀在O的右侧沿着与O相切的任意一条直线MN剪下AMN，则剪下的三角形的周长为(B)A12
12、 cm B7 cm C6 cm D随直线MN的变化而变化【思路点拨】由切线长定理，可将AMN的周长转化成求ADAE的和，而BDCE的和等于BC.【变式训练6】如图，EB，EC是O的两条切线，B，C是切点，A，D是O上两点若E46，DCF32，则A的度数是991由切线长定理及三角形周长可得：ADCABCBC；BDCABCAC；CECABCAB.2若已知三角形的内切圆及切点，求线段的长或周长时，往往用到切线长定理1已知O的半径为6，圆心O到直线l的距离为10，则反映直线l与O的位置关系的图形是(D)2已知O的半径是3，点P在圆内，则线段OP的长可能是(A)A2 B3 C4 D53(2018宜昌)如
13、图，直线AB是O的切线，C为切点，ODAB交O于点D，点E在O上，连接OC，EC，ED，则CED的度数为(D)A30 B35 C40 D454(2018河北模拟)九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是(C)AABC BABE CABD DACE5(2018保定模拟)如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，点D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是(B)A相切 B相交 C相离 D无法确定6(2018烟台)如图，四边形ABCD内接于O，点I是ABC的内心，AIC124，点E在AD的延长线上，则CDE的度数为(C)A56 B62 C68
14、D787(2018石家庄长安区模拟)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点M，N，O均为格点，点N在O上若过点M作O的一条切线MK，切点为K，则MK(B)A3 B2 C5 D.8(2018烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(1，2)9(2018安徽)如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则DOE6010(2018邵阳)如图所示，AB是O的直径，点C为O上一点，过点B作BDCD，垂足为D，连接BC，BC平分ABD.求
15、证：CD为O的切线证明：BC平分ABD，OBCDBC.OBOC，OBCOCB.OCBDBC.OCBD.BDCD，OCCD.又OC为O的半径，CD为O的切线11(2018黄冈)如图，AD是O的直径，AB为O的弦，OPAD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.(1)求证：CBPD；(2)若OA2，AB1，求线段BP的长解：(1)证明：连接OB.AD是O的直径，ABD90.AD90.BC为切线，OBBC，即OBC90.OBACBP90.OAOB，AOBA.CBPD.(2)OPAD，POA90.PA90.PD.又AA，AOPABD.，即.BP7.12(2018荆门)如图，在平面直角坐
16、标系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是ABC的内心，将ABC绕原点O逆时针旋转90后，I的对应点I的坐标为(A)A(2，3) B(3，2) C(3，2) D(2，3)提示：I(3，2)13(2018台州)如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E.将BDE沿直线DE折叠，得到BDE，若BD，BE分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是(D)AADFCGEBBFG的周长是一个定值C四边形FOEC的面积是一个定值D四边形OGBF的面积是一个定值提示：连接OA，OC，易证DOFGOFGOE，OADOCG，OA
17、FOCE，ADFCGE，故选项A正确；DOFGOFGOE，DFGFGE.ADFBGFCGE.BFAF，BGCG.CBFGFGBFBGFGAFCGAC(定值)，故选项B正确；S四边形FOECSOCFSOCESOCFSOAFSAOCSABC(定值)，故选项C正确；S四边形OGBFSOFGSBGFSOFDSADFS四边形OFADSOADSOAFSOCGSOAFSOACSOFG，过点O作OHAC于点H，SOFGFGOH，由于OH是定值，FG变化，故OFG的面积变化，从而四边形OGBF的面积也变化，故选项D错误14(2018南京)如图，在矩形ABCD中，AB5，BC4，以CD为直径作O.将矩形ABCD绕
18、点C旋转，使所得矩形ABCD的边AB与O相切，切点为E，边CD与O相交于点F，则CF的长为4提示：连接OE，延长EO交CD于点G，则OEOC2.5.OGEGOE1.5.CG2.CF2CG4.15【分类讨论思想】(2018宁波)如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作P.当P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4 提示：分两种情况讨论：当P与直线CD相切时，BP3；当P与直线AD相切时，PB4.16(2018扬州)如图，在ABC中，ABAC，AOBC于点O，OEAB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F.(1)
19、求证：AC是O的切线；(2)若点F是OA的中点，OE3，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PEPF取最小值时，直接写出BP的长解：(1)证明：作OHAC于点H.ABAC，AOBC，AO平分BAC.又OEAB，OHAC，OHOE，即OH为O的半径AC是O的切线(2)点F是OA的中点，OA2OF2OE6.又OE3，OAE30，AOE60.AE3.S阴影SAOES扇形EOF33.(3)作F点关于BC的对称点F，连接EF交BC于点P，此时PEPF最小OFOFOE，FOEF.AOEFOEF60，F30.FEAF.EFEA3，即PEPF最小值为3.在RtOPF中，OPtan30OF，在RtABO中，OBtan30OA2，BP2.
