1、公众号码：王校长资源站3.2导数的应用最新考纲考情考向分析1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.1函数的单调性在某个区间
2、(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；考察f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f
3、(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值概念方法微思考1“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零2对于可导函数f(x)，“
4、f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(2)函数的极大值一定大于其极小值()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()题组二教材改编2如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下列判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D当x2时，f(x)取到极小值答案C解析在(4
5、,5)上f(x)0恒成立，f(x)是增函数3函数f(x)exx的单调递增区间是_答案(0，)解析由f(x)ex10，解得x0，故其单调递增区间是(0，)4当x0时，ln x，x，ex的大小关系是_答案ln xxex解析构造函数f(x)ln xx，则f(x)1，可得x1为函数f(x)在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)f(1)10，所以ln xx.同理可得xex，故ln xxex.5现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是_答案a3解析容积V(a2x)2x,0x，则V2(a2x)(2x)(a2x)2(a2x)
6、(a6x)，由V0得x或x(舍去)，则x为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmaxa3.题组三易错自纠6函数f(x)x3ax2ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是_答案3,0解析f(x)3x22axa0在R上恒成立，即4a212a0，解得3a0，即实数a的取值范围是3,07(2018铁岭质检)若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单调递减，则实数a的值为_答案4解析f(x)x23xa，且f(x)恰在1,4上单调递减，f(x)x23xa0的解集为1,4，1,4是方程f(x)0的两根，则a(1)44.8若函数f(x)x34xm在0,3上的最大值为4，m_.答案4解析f(x)x24
7、，x0,3，当x0,2)时，f(x)0，所以f(x)在0,2)上是减函数，在(2,3上是增函数又f(0)m，f(3)3m.所以在0,3上，f(x)maxf(0)4，所以m4.9已知函数f(x)x3x22ax1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为_答案解析f(x)x22x2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x1，则f(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此解得a0，即8x0，解得x，函数y4x2的单调增区间为.故选B.2函数f(x)xexex1的递增区间是()A(，e) B(1，e)C(e，) D(e1，)答案D解析由f(x)xexex1，得f(x)(x1e)ex，令f
8、(x)0，解得xe1，所以函数f(x)的递增区间是(e1，)3已知函数f(x)xln x，则f(x)的单调递减区间是_答案解析因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得0x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调递增区间为和.思维升华 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间(4)解不等式f(x)0，所以令g(x)ax22x0，解得x0或x.当a0时，函数g(x)ax22x在(，0)和上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减；函数g
9、(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增当a0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减综上所述，当a0时，函数yf(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)；当a0时，函数yf(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为；当a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln.当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增综上所述，当a0时，f(x)在(，)
10、上单调递增；当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例2 (1)设函数f(x)exx2，g(x)ln xx23，若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0答案A解析因为函数f(x)exx2在R上单调递增，且f(0)120，所以f(a)0时，a(0,1)又g(x)ln xx23在(0，)上单调递增，且g(1)20，所以g(a)0，g(b)0得b(1,2)，又f(1)e10，所以f(b)
11、0.综上可知，g(a)0f(b)(2)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，xf(x)f(x)0.若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Abac BacbCabc Dcab答案D解析设g(x)，则g(x)，又当x0时，xf(x)f(x)0，所以g(x)0，即函数g(x)在区间(，0)内单调递减因为f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为(，0)(0，)上的奇函数，所以函数g(x)在区间(0，)内单调递减由0ln 2e3，可得g(3)g(e)g(ln 2)，即cab，故选D.(3)已知定义在(0，)上的函数f(x)满足xf(x)f(x)(m2 019)f(2)，则实数m的
12、取值范围为()A(0,2 019) B(2 019，)C(2 021，) D(2 019,2 021)答案D解析令h(x)，x(0，)，则h(x).xf(x)f(x)0，h(x)(m2 019)f(2)，m2 0190，即h(m2 019)h(2)m2 0190，解得2 019m0时，有0的解集是_答案(，2)(0,2)解析当x0时，0，(x)在(0，)上为减函数，又(2)0，在(0，)上，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)命题点2根据函数单调性求参数例3 (2018辽阳质检)已知函数f(x)ln x
13、，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1.又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，)(2)因为h(x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立由(1)知G(x)，所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1
14、,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，又因为a0，所以a的取值范围是(0，)引申探究1本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围解因为h(x)在1,4上单调递增，所以当x1,4时，h(x)0恒成立，所以当x1,4时，a恒成立，又当x1,4时，min1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，12本例(2)中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)有解，又当x1,4时，min1(此时x1)，所以a1，又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，)思维升华 根据函数单调性求参数的一般
15、思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题跟踪训练2 (1)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f(x)，且对于任意的x，都有f(x)sin xf Bff(1)C.ff D.ff答案A解析令g(x)，则g(x)，由已知g(x)g，即，ff.(2)设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是
16、()A(1,2 B4，) C(，2 D(0,3答案A解析f(x)的定义域是(0，)，f(x)x，由f(x)0，解得0x3，由题意知解得10，得0x1，由g(x)1.当a0时，令g(x)0，得x1或x，若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增1函数f(x)x22ln x的单调递减区间是()A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)答案A解析f(x
17、)2x(x0)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数2(2018锦州调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)答案C解析由题意得，当x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上是增函数，因为abf(b)f(a)，故选C.3函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析利用导数与函数的单调性进行验证f(x)0的解集对应yf(x)的增区间，f(x)f(1)fBf(1)ffCff(1
18、)fDfff(1)答案A解析因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x0，所以函数f(x)在上是增函数，所以ff(1)f(1)f，故选A.5已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件6(2018呼和浩特质检)若函数f(x)x3ax2x6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是(
19、)Aa1 Ba1Ca1 D0a1答案A解析f(x)3x22ax1，由已知得3x22ax10在(0,1)内恒成立，即ax在(0,1)内恒成立，令g(x)x，又当x(0,1)时，g(x)x的值域为(，1)，a1.7(2018满洲里质检)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则()Aabc BcbaCcab Dbca答案C解析由题意得，当x0，f(x)在(，1)上为增函数又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f，即有f(3)f(0)f，即cab.8(2018营口调研)已知函数f(x)(xR)满足f(1)
20、1，f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_答案x|x1解析设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)1，即不等式的解集为x|x19已知函数f(x)xln xax2在(0，)上单调递减，则实数a的取值范围是_答案解析f(x)ln x2ax1，若f(x)在(0，)上单调递减，则ln x2ax10在(0，)上恒成立，即a在(0，)上恒成立令g(x)，x(0，)，则g(x)，令g(x)0，解得0x1，令g(x)1，故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，故g(x)maxg(1
21、)，故a.10设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_答案(，1)(0,1)解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当0xg(1)0，得0，所以f(x)0；在(，0)上，当x1时，由g(x)g(1)0，得0.综上知，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)11已知函数f(x)(k为常数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线
22、与x轴平行(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)f(x)(x0)又由题意知f(1)0，所以k1.(2)f(x)(x0)设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，所以h(x)在(0，)上单调递减由h(1)0知，当0x0，所以f(x)0；当x1时，h(x)0，所以f(x)0.综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)12已知函数f(x)1(bR，e为自然对数的底数)在点(0，f(0)处的切线经过点(2，2)讨论函数F(x)f(x)ax(aR)的单调性解因为f(0)b1，所以过点(0，b1)，(2，2)的直线的斜率为k，而f(x)，由导数的几何意义可知，f
23、(0)b，所以b1，所以f(x)1.则F(x)ax1，F(x)a，当a0时，F(x)0时，由F(x)0，得x0，得xln a.故当a0时，函数F(x)在R上单调递减；当a0时，函数F(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增13定义在区间(0，)上的函数yf(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立，其中yf(x)为yf(x)的导函数，则()A816 B48C34 D20，x0，0，令g(x)，g(x)在(0，)上单调递增，又由2f(x)0，即4.xf(x)3f(x)0，0，令h(x)，h(x)在(0，)上单调递减，即8.综上，40在上有解，当x时，f(x)的最大值为
24、f2a.令2a0，解得a，所以a的取值范围是.15对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数g(x)2x36x24，则ggg_.答案0解析g(x)6x212x，g(x)12x12，由g(x)0，得x1，又g(1)0，函数g(x)的对称中心为(1,0)，故g(x)g(2x)0，gggg(1)0.16已知函数f(x)ax2(a1)xln x(a0)，讨论函数f(x)的单调性解f(x)ax(a1)(x0)，当0a1，由f(x)0，解得x或0x1，由f(x)0，解得1x1时，00，解得x1或0x，由f(x)0，解得x1.综上，当0a1时，f(x)在(1，)和上单调递增，在上单调递减公众号码：王校长资源站
