1、数量关系数量关系 第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何第一部分第一部分 向量代数向量代数在三维空间中在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程（组）方程（组）空间解析几何空间解析几何 向量代数向量代数 第1页，共36页。四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算向量及其线性运算第2页，共36页。.a或或表示法表示法:向量的模向量
2、的模:向量的大小向量的大小,21MM记作一、向量的概念一、向量的概念向量向量:(又称又称矢量矢量).1M2M既有既有大小大小,又有又有方向方向的量称为向量的量称为向量向径向径(矢径矢径):自由向量自由向量:与起点无关的向量与起点无关的向量.起点为原点的向量起点为原点的向量.单位向量单位向量:模为模为 1 的向量的向量,.a 记作或记作或a零向量零向量:模为模为 0 的向量的向量,.00或，记作有向线段有向线段 M1 M2,或或 a,a或.a或或第3页，共36页。规定规定:零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行;若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等,方向相同方向相同,则称则称 a 与与
3、b 相等相等,记作记作 ab;若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行,ab;与与 a 的模相同的模相同,但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的的负向量负向量,记作记作因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量两向量共线共线.若若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上,则称此则称此 k 个向量个向量共面共面.记作记作a;第4页，共36页。二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算
4、规律运算规律:交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcba cb)(cba()abcaababa第5页，共36页。s3a4a5a2a1a54321aaaaas第6页，共36页。2.向量的减法向量的减法三角不等式三角不等式ab)(ab,ba 特别当时 有特别当时 有aa)(aababaababab a0babaabababab定理定理1推论推论1推论推论2第7页，共36页。aa 3.向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数是一个数,.a规定规定:时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见可见;1a
5、a;aa 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量,记作记作，反向与aa总之总之:运算律运算律:结合律结合律)(a)(aa 分配律分配律a)(aa)(baba,0a若a则有单位向量1.aa 因此因此aaa 第8页，共36页。定理定理1.设设 a 为非零向量为非零向量,则则(为唯一实数为唯一实数)证证:“”.,取取 且且abab设设 abba取正号取正号,反向时取负号反向时取负号,a,b 同向时同向时则则 b 与与 a 同向同向,aa baab.ba 故故“”则,0 时当,0 时当,0 时当已知 b a,b0a,b 同向a,b 反向ab 第9页，共36页。例例1.设设 M 为为MBACD解
6、解:ABCD 对角线的交点对角线的交点,ba,aAB,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD再证数再证数 的唯一性的唯一性.则则0,故故.即即设又有设又有 b a,()0a0,a 而而第10页，共36页。xyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(立轴立轴)过空间一定点过空间一定点 o,o 坐标面坐标面 卦限卦限
7、(八八个个)面xoy面yozzox面面1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念第11页，共36页。xyzo向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下 11坐标轴上的点坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标:有序数组有序数组 11)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR),0(zyB),(zoxC(称为点称为点 M 的的坐标坐标)原点原点 O(0,0,0);rrM(,)x y z(,0)A x yO(0,0,0)第12页，共36页。坐标轴坐标轴:x轴轴00yz 00zx y轴轴z轴轴00 xy 坐标面坐标面:xoy 面面0zyo
8、z 面面0 x面xoz0yxyzo在各卦限中点的坐标的符号在各卦限中点的坐标的符号?第13页，共36页。2.向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,设点设点 M(,),M xyz则则沿三个坐标轴方向的沿三个坐标轴方向的分向量分向量.rxiyjzk(,)xyz xoyzMNBCijkA,ijkxyz以分别表示轴上的单位向量以分别表示轴上的单位向量的坐标为的坐标为此式称为向量此式称为向量 r 的的坐标分解式坐标分解式 或或坐标表达式坐标表达式,xiyjzkr 称为向量称为向量r任意向量任意向量 r 可用向径可用向径 OM 表示表示.NMONOMOCOBOA,ixOA,jy
9、OBkzOC第14页，共36页。四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设(,),xyzbbbb 则则ab (,)xxyyzzababab a (,)xyzaaa b a 0,a 当时当时ba xxba yyba zzba xxba yyba zzab平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:为实数，为实数，(,),xyzaaaa 第15页，共36页。例例2.求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解 2 3,得bax32)10,1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(第16页，共36页。
10、例例3.已知两点已知两点在在AB直线上求一点直线上求一点 M,使使解解:设设 M 的坐标为的坐标为,),(zyx如图所示如图所示ABMo11MAB111(,),A xyz222(,)B xyz及实数及实数,1得得(,)xyz 11 121212(,)xxyyzz 即即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOBAOOM)(OMOBOMOBOA(第17页，共36页。说明说明:由得得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公
11、式中点公式:第18页，共36页。五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222xyz),(zyxr 设则有则有MrO 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得由勾股定理得),(111zyxA因因AB得两点间的距离公式得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx222212121()()()xxyyzz 对两点对两点与与,),(222zyxB,rOM作OMr OROQOPBABAABOBOA第19页，共36页。例例4.求证以求证以)3,2,5(,)2,1,7(,)1,3,4(321MMM证证:1M2M3M21MM
12、 2)47(2)31(2)12(1432MM 2)75(2)12(2)23(631MM 2)45(2)32(2)13(63132MMMM即即123M M M 为等腰三角形为等腰三角形.的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形.为顶点为顶点第20页，共36页。例例5.在在 z 轴上求与两点轴上求与两点)7,1,4(A等距等距解解:设该点为设该点为,),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得解得,914z故所求点为故所求点为及)2,5,3(B.),0,0(914M思考思考:(1)如何求在如何求在 xoy 面上与面上与A,B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方
13、程?(2)如何求在空间与如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程?离的点离的点.第21页，共36页。提示提示:(1)设动点为设动点为(,0),M x y利用利用,MAMB 得得148280,xy(2)设动点为设动点为(,),M x y z利用利用,MAMB 得得749140 xyz且且0z 例例6 已知两点已知两点(4,0,5)A和和(7,1,3),B解解求求114(3,1,2)312,141414 .AB AB ABAB第22页，共36页。oyzx2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量,ba任取空间一点任取空间一点 O,aOA作,bOBOAB称
14、称 =AOB(0 )为向量为向量 ba,的夹角的夹角.),(ab或类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角轴与轴的夹角.(,)0,rx y z 给给定定与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 ,rr 称称为其为其方向角方向角.cos xr 222xxyz 方向角的余弦称为其方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.记作记作),(ba第23页，共36页。oyzxrcos xr 222xxyz cos yr 222yxyz coszr 222zxyz 222coscoscos1方向余弦的性质方向余弦的性质:r 向量的单位向量向量的单位向量rrr (cos,cos,cos)第24页，共36页。例例7.
15、已知两点已知两点1(2,2,2)M和和2(1,3,0),M的模的模、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角.解解:12,2302)计算向量计算向量(1,1,2)222(1)1(2)2 1cos,2 1cos,2 2cos2 2,3 ,3 34 21MM12(M M 12M M 第25页，共36页。例例8.设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解:已知已知角依次为角依次为,43求点求点 A 的坐标的坐标.,43则则222coscos1cos41因点因点 A 在第一卦限在第一卦限,故故,cos21于是于是(6,21,22)21)3,23,3(故点故点 A 的坐标为的坐标为.)3,23,3(向径向径
16、 OA 与与 x 轴轴 y 轴的夹轴的夹,6AO且OAOAAO第26页，共36页。3.向量的投影向量和投影向量的投影向量和投影空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB BA ,已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在轴在轴u上的投影分别为上的投影分别为A BABu 称称为为向向量量在在轴轴 上上的的投投影影向向量量0u 0A Bu 0000()uuuABuABprj ABAB 称为在轴上的投影称为在轴上的投影记作记作00cos,uprj ABABAB u 12,A Buu u又又设设在在轴轴上上的的坐坐标标依依次次为为则则21.A Buu u B 第27页，共36页。向量
17、投影的性质向量投影的性质性质性质1 性质性质2 .PrPr)(Prbjajbajuuu 性质性质3 .Pr)(Prajajuu .,cosPr轴的夹角轴的夹角与与为向量为向量其中其中uaaaju 第28页，共36页。解解:因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji15713例例9.设设,853kjim,742kjin求向量求向量pnma34在在 x 轴上的投影及在轴上的投影及在 y轴上的分向量轴上的分向量.13xa在在 y 轴上的分向量为轴上的分向量为jjay7故在故在 x 轴上的投影为轴上的投影为jip5,4k第29页，共36页。1 1、向量的概念、向量的概念定义
18、定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、自由向量、相等向量、相等向量、负向量、负向量、向径向径.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、平行向量、平行向量、小小 结结第30页，共36页。(1)加法：加法：cba 2 2、向量的线性运算、向量的线性运算dba ab(2)减法：减法：cba dba (3)向量与数的乘法：向量与数的乘法：设设 是一个数，向量是一个数，向量a与与 的乘积的乘积a 规定为规定为,0)1(a 与与a同向，同向，|aa ,0)2(0 a,0)3(a 与与a反向，反向，|aa 第31页，共36页。向量的分解式
19、：向量的分解式：,zyxaaaa .,轴上的投影轴上的投影分别为向量在分别为向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向量的表示法第32页，共36页。向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()(kbajbaibazzyyxx
20、)()()(kajaiazyx)()()(第33页，共36页。222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos(222 第34页，共36页。1.设求以向量求以向量行四边形的对角线的长度行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为该平行四边形的对角线的长度各为11,3 对角线的长为对角线的长为解：解：为边的平为边的平mnnm,|,|nm|nm)1,1,1(nm)1,3,1(nm3|nm11|nm,2kjn,mij 备用题备用题第35页，共36页。2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形形必是平行四边形.证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMab第36页，共36页。
