1、第一章三 角 函 数1周 期 变 化必备知识必备知识自主学习自主学习1.1.周期现象周期现象(1)(1)以相同以相同_重复出现的变化叫作周期现象重复出现的变化叫作周期现象.(2)(2)要判断一种现象是否为周期现象要判断一种现象是否为周期现象,关键是看每隔相同间隔关键是看每隔相同间隔,这种变化是否会这种变化是否会_,_,若重复出现若重复出现,则为周期现象则为周期现象;否则不是周期现象否则不是周期现象.导导思思1.1.所有的函数都是周期函数吗所有的函数都是周期函数吗?2.2.周期函数都有最小正周期吗周期函数都有最小正周期吗?间隔间隔重复出现重复出现【思考思考】20202020年年7 7月月6 6日
2、再过日再过200200天是星期几天是星期几?提示提示:20202020年年7 7月月6 6日是星期一日是星期一,由由200=28200=287+47+4知自知自20202020年年7 7月月6 6日再过日再过200200天是星天是星期五期五.2.2.周期函数周期函数(1)(1)一般地一般地,对于函数对于函数y=f(x),xD,y=f(x),xD,如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数T,T,使得对于任意的使得对于任意的xD,xD,都有都有_且满足且满足f(x+T)=_,f(x+T)=_,那么函数那么函数y=f(x),xDy=f(x),xD称作周期函数称作周期函数,非零常数非零常数T T称作这
3、个函数的周期称作这个函数的周期.(2)(2)如果在周期函数如果在周期函数y=f(x),xDy=f(x),xD的所有周期中存在一个最小的正数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个那么这个最小正数就称作函数最小正数就称作函数y=f(x),xDy=f(x),xD的最小正周期的最小正周期.如果不加特别说明如果不加特别说明,本书所指本书所指周期均为函数的最小正周期周期均为函数的最小正周期.x+TDx+TDf(x)f(x)【思考思考】周期函数的周期是否只有一个周期函数的周期是否只有一个?提示提示:不是不是,例如函数例如函数f(x)=x-xf(x)=x-x的周期就不止一个的周期就不止一个.【基础小测基础小
4、测】1.1.辨析记忆辨析记忆(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)钟表的秒针的运动是周期现象钟表的秒针的运动是周期现象.()(2)(2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象.()(3)(3)函数函数f(x)=x,xNf(x)=x,xN是周期函数是周期函数.()提示提示:(1).(1).秒针每分钟转一圈秒针每分钟转一圈,它的运动是周期现象它的运动是周期现象.(2)(2).虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化,但每次绿灯经过的车辆数但每次绿灯经过的车辆数不一定相同不一定相同,故不是周期现象故不是
5、周期现象.(3)(3).因为因为f(x+T)f(x),f(x+T)f(x),所以不是周期函数所以不是周期函数.2.2.观察观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7,”2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7,”寻找规律寻找规律,则第则第2525个数字是个数字是_._.【解析解析】观察可知观察可知2,0,1,72,0,1,7每隔四个数字重复出现一次每隔四个数字重复出现一次,具有周期性具有周期性,故第故第2525个个数字为数字为2.2.答案答案:2 23.(3.(教材二次开发教材二次开发:例题改编例题改编)讨论函数讨论函数f(x)=8(-1)f(x)=8(-1)n+1n+1,nN
6、,nN*是否为周期函数是否为周期函数,如果是如果是,请指出它的周期请指出它的周期.【解析解析】当当nNnN*时时,该函数的取值为该函数的取值为8,-8,8,-8,8,-8,8,-8,可见它是周期函数可见它是周期函数,且周期且周期T=2.T=2.关键能力关键能力合作学习合作学习类型一生活中的周期现象类型一生活中的周期现象(直观想象直观想象)【题组训练题组训练】1.1.我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这1212种动物按顺序轮流代表各年的年种动物按顺序轮流代表各年的年号号,2016,2016年是猴年年是猴年,那么那么19491949年是年是()A.A.牛年牛年B
7、.B.虎年虎年C.C.兔年兔年D.D.龙年龙年【解析解析】选选A.2016-1949=67,67A.2016-1949=67,6712=57,12=57,从猴年往前数第从猴年往前数第7 7个即可个即可,也就是也就是牛年牛年.2.2.如果今天是星期五如果今天是星期五,则则5858天后的那一天是星期天后的那一天是星期()A.A.五五 B.B.六六C.C.日日D.D.一一【解析解析】选选C.C.因为每星期含有因为每星期含有7 7天天,而而58=758=78+2,8+2,即即5858天后是过去天后是过去8 8个星期后第个星期后第2 2天天,即星期日即星期日.3.3.受日月的引力受日月的引力,海水会发生
8、涨落海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐这种现象叫做潮汐.已知某海滨浴场的海浪已知某海滨浴场的海浪高度高度y(y(米米)是时间是时间t(0t24,t(0t24,单位单位:时时)的函数的函数,记作记作y=f(t),y=f(t),下表是某日各时的下表是某日各时的浪高数据浪高数据:t(t(时时)0 03 36 69 912121515181821212424y(y(米米)1.51.51.01.00.50.51.01.01.51.51.01.00.50.51.01.01.51.5根据规定根据规定,当海浪高度不低于当海浪高度不低于1 1米时才对冲浪爱好者开放米时才对冲浪爱好者开放,判断一天内对冲浪爱判断一天
9、内对冲浪爱好者能开放几次好者能开放几次?时间最长的一次是什么时候时间最长的一次是什么时候?有多长时间有多长时间?【解析解析】由题中表可知由题中表可知,潮汐呈周期性变化潮汐呈周期性变化,所以一天内能开放三次所以一天内能开放三次,时间最长时间最长的一次是上午的一次是上午9 9时至下午时至下午3 3时时,共共6 6个小时个小时.【解题策略解题策略】判断生活问题的周期现象的依据是周期变化的特征判断生活问题的周期现象的依据是周期变化的特征,即每次都以相同的间隔即每次都以相同的间隔(比比如时间间隔或长度间隔如时间间隔或长度间隔)出现出现,且现象是无差别的重复出现且现象是无差别的重复出现.类型二周期函数类型
10、二周期函数(数学抽象数学抽象)角度角度1 1 利用函数图象判断利用函数图象判断【典例典例】下列是定义在下列是定义在R R上的四个函数图象的一部分上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是其中不是周期函数的是 ()【思路导引思路导引】观察对任意一个实数观察对任意一个实数x,x,每变化多少每变化多少,函数值保持不变函数值保持不变,观察这种变观察这种变化是否是重复进行的化是否是重复进行的.【解析解析】选选D.D.结合周期函数的定义可知结合周期函数的定义可知,A,B,C,A,B,C均为周期函数均为周期函数,D,D不是周期函数不是周期函数.【变式探究变式探究】在如图所示的在如图所示的y=f(x)y=
11、f(x)的图象中的图象中,若若f(0.005)=3,f(0.005)=3,则则f(0.025)=_.f(0.025)=_.【解析解析】由图象知周期为由图象知周期为0.02,0.02,所以所以f(0.025)=f(0.005+0.02)=f(0.005)=3.f(0.025)=f(0.005+0.02)=f(0.005)=3.答案答案:3 3角度角度2 2利用周期定义判断利用周期定义判断【典例典例】已知定义在已知定义在N N上的函数上的函数f(n)f(n)满足满足:f(n+2)=f(n+1)-f(n).:f(n+2)=f(n+1)-f(n).(1)(1)求证求证:f(n):f(n)是周期函数是周
12、期函数,并求出其周期并求出其周期;(2)(2)若若f(1)=1,f(2)=3,f(1)=1,f(2)=3,求求f(2 012)f(2 012)的值的值.【思路导引思路导引】(1)(1)利用周期函数的定义和已知条件证明周期即可利用周期函数的定义和已知条件证明周期即可;(2);(2)根据周期根据周期函数的定义得函数的定义得f(2012)=f(2),f(2012)=f(2),即可得出答案即可得出答案.【解析】【解析】(1)(1)因为因为f(n+2)=f(n+1)-f(n),f(n+2)=f(n+1)-f(n),所以所以f(n+3)=f(n+2)-f(n+1)f(n+3)=f(n+2)-f(n+1)=
13、-f(n+1)=-f(n),=-f(n+1)=-f(n),所以所以f(n+6)=-f(n+3)=-=f(n).f(n+6)=-f(n+3)=-=f(n).所以所以f(n)f(n)是周期函数是周期函数,周期为周期为6.6.(2)(2)因为因为f(n)f(n)是周期为是周期为6 6的函数的函数,且且f(1)=1,f(2)=3,f(1)=1,f(2)=3,所以所以f(2 012)=f(335f(2 012)=f(3356+2)=f(2)=3.6+2)=f(2)=3.f n1f n f n【解题策略解题策略】1.1.观察函数图象判断周期性观察函数图象判断周期性,关键是观察图象是否是周而复始重复出现关键
14、是观察图象是否是周而复始重复出现.2.2.用定义法判断周期性用定义法判断周期性,关键是证明对于任意的关键是证明对于任意的xD,xD,都有都有x+TDx+TD且满足且满足f(x+T)=f(x).f(x+T)=f(x).【题组训练题组训练】1.1.如图是一向右传播的光波在某一时刻各点的位置图如图是一向右传播的光波在某一时刻各点的位置图,经过经过 周期后周期后,甲点和乙甲点和乙点的位置将分别移到点的位置将分别移到_点和点和_点点.答案答案:丁戊丁戊342.2.如图是一个单摆振动的函数图象如图是一个单摆振动的函数图象,根据图象根据图象,回答下面问题回答下面问题:(1)(1)单摆的振动函数图象是周期变化
15、吗单摆的振动函数图象是周期变化吗?(2)(2)若是周期变化若是周期变化,其振动的周期是多少其振动的周期是多少?(3)(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少单摆离开平衡位置的最大距离是多少?【解析解析】(1)(1)观察图象可知观察图象可知,图象从图象从t=0.8 st=0.8 s开始重复开始重复,所以单摆的振动是周期变所以单摆的振动是周期变化化;(2)(2)振动的周期为振动的周期为0.8 s;0.8 s;(3)(3)由图象知最高点和最低点偏离由图象知最高点和最低点偏离t t轴的距离相等且等于轴的距离相等且等于0.5 cm,0.5 cm,所以单摆离开所以单摆离开平衡位置的最大距离是平衡位置的最大距
16、离是0.5 cm.0.5 cm.3.3.根据周期性的定义根据周期性的定义,请回答以下问题请回答以下问题:(1)(1)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2满足满足f(-3+6)=f(-3),f(-3+6)=f(-3),这个函数是不是以这个函数是不是以6 6为周期的周期函数为周期的周期函数?(2)(2)函数函数f(x)=f(x)=是周期函数是周期函数,且且f =f(0),f =f(0),为什么为什么 不是它的周期不是它的周期?x11(0)212【解析解析】(1)(1)不是不是.因为因为f(x+6)=(x+6)f(x+6)=(x+6)2 2=f(x)=f(x)不恒成立不恒成立,所以所以f(x)f(
17、x)不是以不是以6 6为周期为周期的周期函数的周期函数;(2)(2)因为当因为当x=x=时时,f =(-1),f =(-1)0 0=1,f =f(1)=(-1)=1,f =f(1)=(-1)1 1=-1,=-1,所以所以 所以所以 不是它的周期不是它的周期.121()211()22111f()f(),22212类型三周期函数的应用类型三周期函数的应用(数学抽象、逻辑推理数学抽象、逻辑推理)【典例典例】已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的周期为上的周期为2 2的函数的函数,当当x0,1x0,1时时,f(x)=4,f(x)=4x x-1,-1,则则f(4.5)f(4.5)的值为的值为
18、()A.2A.2B.-1B.-1C.-C.-D.1D.112【思路导引思路导引】先利用函数的周期转化先利用函数的周期转化,f(4.5)=f(0.5),f(4.5)=f(0.5),代入即可代入即可.【解析解析】选选D.D.因为因为f(x)f(x)的周期为的周期为2,2,所以所以f(4.5)=f(4.5)=f(0.5);f(0.5);又因为当又因为当xx0,10,1时时,f(x)=4,f(x)=4x x-1,-1,所以所以f(4.5)=f(0.5)=4f(4.5)=f(0.5)=40.50.5-1=1.-1=1.【解题策略解题策略】确定好周期函数中重复出现的确定好周期函数中重复出现的“最小正周期最
19、小正周期”,就可以把问题转化到一个周期就可以把问题转化到一个周期内来解决内来解决.【跟踪训练跟踪训练】已知函数已知函数f(x)f(x)对任意实数对任意实数x x都满足都满足f(x+1)=-f(x),f(x+1)=-f(x),若若f(1)=1,f(1)=1,则则f(10)=f(10)=()A.-1A.-1B.0B.0C.1C.1D.2D.2【解析解析】选选A.A.由由f(x+1)=-f(x)f(x+1)=-f(x)可得可得f(x+2)=-f(x+1),f(x+2)=-f(x+1),据此可得据此可得f(x)=f(x+2),f(x)=f(x+2),即即函数函数f(x)f(x)是周期为是周期为2 2的
20、函数的函数,且且f(2)=-f(1)=-1,f(2)=-f(1)=-1,据此可知据此可知f(10)=f(10-2f(10)=f(10-24)4)=f(2)=-1.=f(2)=-1.【拓展延伸拓展延伸】具有周期性的抽象函数具有周期性的抽象函数:函数函数y=f(x),y=f(x),定义域内任一实数定义域内任一实数x(x(其中其中a a为常数为常数),),f(x)=f(x+a),f(x)=f(x+a),则则y=f(x)y=f(x)是以是以T=aT=a为周期的周期函数为周期的周期函数;f(x+a)=-f(x),f(x+a)=-f(x),则则y=f(x)y=f(x)是以是以T=2aT=2a为周期的周期函
21、数为周期的周期函数;f(x+a)=f(x+a)=,则则y=f(x)y=f(x)是以是以T=2aT=2a为周期的周期函数为周期的周期函数;f(x+a)=f(x-a),f(x+a)=f(x-a),则则y=f(x)y=f(x)是以是以T=2aT=2a为周期的周期函数为周期的周期函数.1f x【拓展训练拓展训练】已知已知f(x)f(x)是定义域为是定义域为(-,+)(-,+)的奇函数的奇函数,满足满足f(2+x)=f(-x),f(2+x)=f(-x),若若f(1)=4,f(1)=4,则则f(1)+f(2)+f(3)+f(8)=f(1)+f(2)+f(3)+f(8)=_._.【解题指南解题指南】由题意首
22、先确定函数的周期由题意首先确定函数的周期,然后结合函数的关系式求解函数值然后结合函数的关系式求解函数值即可即可.【解析解析】因为因为f(x)f(x)是奇函数且是奇函数且f(2+x)=f(-x),f(2+x)=f(-x),所以所以f(4+x)=-f(x+2)=f(x),f(4+x)=-f(x+2)=f(x),即函数即函数f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数,因为因为f(1)=4f(1)=4所以所以f(2)=f(0)=0,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-4,f(3)=f(-1)=-f(1)=-4,f(4)=f(0)=0,f(4)=f(0)=0,所以
23、所以f(1)+f(2)+f(3)+f(1)+f(2)+f(3)+f(8)+f(8)=4+0-4+0+4+0-4+0=0.=4+0-4+0+4+0-4+0=0.答案答案:0 01.1.下列是周期现象的为下列是周期现象的为()某交通路口的红绿灯每某交通路口的红绿灯每3030秒转换一次秒转换一次;某超市每天的营业额某超市每天的营业额;某地每年某地每年6 6月份的平均降雨量月份的平均降雨量.A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选C.C.是周期现象是周期现象;中每天的营业额是随机的中每天的营业额是随机的,不是周期现象不是周期现象;中中每年每年6 6月份的降雨量也是随机的月份的降雨量也是随机的,
24、不是周期现象不是周期现象.课堂检测课堂检测素养达标素养达标2.2.把把 化成小数化成小数,小数点后第小数点后第2020位是位是()A.1A.1B.2B.2C.4C.4D.8D.8【解析解析】选选C.=0.42 85 ,C.=0.42 85 ,小数点后小数点后“142857142857”呈周期性变化且周期为呈周期性变化且周期为6.6.因为因为20=320=36+2,6+2,所以第所以第2020位为位为4.4.1717173.3.把一批小球按把一批小球按2 2个红色个红色,5,5个白色的顺序排列个白色的顺序排列,第第3030个小球是个小球是_色色.【解析解析】周期为周期为7,30=47,30=47
25、+2,7+2,所以第所以第3030个小球与第个小球与第2 2个小球颜色相同个小球颜色相同,为红色为红色.答案答案:红红4.4.设函数设函数f(x)f(x)是以是以2 2为最小正周期的周期函数为最小正周期的周期函数,且且x0,2x0,2时时,f(x)=(x-1),f(x)=(x-1)2 2,则则f =_.f =_.7()2【解题指南解题指南】根据根据f(x)f(x)是以是以2 2为最小正周期的周期函数为最小正周期的周期函数,将将f f 整理成整理成 又因为又因为 0,2,0,2,则根据则根据f(x)=(x-1)f(x)=(x-1)2 2求解即可求解即可.【解析解析】因为因为f(x)f(x)是以是
26、以2 2为最小正周期的周期函数为最小正周期的周期函数,所以所以又因为又因为x0,2x0,2时时,f(x)=(x-1),f(x)=(x-1)2 2,所以所以答案答案:7()233f(2)f(),2232733f()f(2)f(),22227331f()f()(1).2224145.(5.(教材二次开发教材二次开发:练习改编练习改编)已知周期函数已知周期函数y=f(x)y=f(x)的图象如图所示的图象如图所示,(1)(1)求函数的周期求函数的周期;(2)(2)画出函数画出函数y=f(x+1)y=f(x+1)的图象的图象.【解题指南解题指南】(1)(1)根据周期定义结合图象求得结果根据周期定义结合图
27、象求得结果;(2)(2)把把y=f(x)y=f(x)向左平移一个单位长度得向左平移一个单位长度得y=f(x+1)y=f(x+1)的图象的图象.【解析解析】(1)T=2.(1)T=2.(2)(2)把把y=f(x)y=f(x)向左平移一个单位长度得向左平移一个单位长度得y=f(x+1)y=f(x+1)的图象的图象,即如图所示即如图所示.一周一周 期期 变变 化化【基础通关基础通关-水平一水平一】(15(15分钟分钟3030分分)1.1.下列现象是周期现象的是下列现象是周期现象的是()日出日落日出日落;潮汐潮汐;海啸海啸;地震地震.A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选A.A.日出日落是周
28、期现象日出日落是周期现象;潮汐是周期现象潮汐是周期现象;海啸、地震不是周期现象海啸、地震不是周期现象.课时素养评价课时素养评价2.2.如图所示的是一个单摆如图所示的是一个单摆,让摆球从让摆球从A A点开始摆点开始摆,最后又回到最后又回到A A点点,单摆所经历的单摆所经历的时间是一个周期时间是一个周期T,T,则摆球在则摆球在O BOAOO BOAO的运动过程中的运动过程中,经历的时间是经历的时间是 ()A.2TA.2TB.TB.TC.C.D.D.3T4T2【解析解析】选选B.B.整个运动恰好是一个周期整个运动恰好是一个周期,所以运动的时间是所以运动的时间是T.T.3.20193.2019年年,小
29、明小明1717岁了岁了,与小明属相相同的老师的年龄可能是与小明属相相同的老师的年龄可能是()A.26A.26B.32B.32C.36C.36D.41D.41【解析解析】选选D.D.由十二生肖知由十二生肖知,属相是属相是1212年循环一次年循环一次.4.4.定义域为定义域为R R的偶函数的偶函数f(x)f(x)为周期函数为周期函数,其周期为其周期为8,8,当当x-4,0 x-4,0时时f(x)=x+1,f(x)=x+1,则则f(25)=f(25)=_.【解题指南解题指南】利用函数利用函数y=f(x)y=f(x)的周期和奇偶性可得出的周期和奇偶性可得出f(25)=f(1)=f(-1),f(25)=
30、f(1)=f(-1),进而进而得解得解.【解析解析】由于函数由于函数f(x)f(x)是是R R上周期为上周期为8 8的偶函数的偶函数,且当且当x-4,0 x-4,0时时,f(x)=x+1,f(x)=x+1,因此因此,f(25)=f(1)=f(-1)=-1+1=0.,f(25)=f(1)=f(-1)=-1+1=0.答案答案:0 05.5.水车上装有水车上装有1616个盛水槽个盛水槽,每个盛水槽最多盛水每个盛水槽最多盛水1010升升,假设水车假设水车5 5分钟转一圈分钟转一圈,计算计算1 1小时内最多盛水多少升小时内最多盛水多少升?【解析解析】因为因为1 1小时小时=60=60分钟分钟=12=12
31、5 5分钟分钟,且水车且水车5 5分钟转一圈分钟转一圈,所以所以1 1小时内水小时内水车转车转1212圈圈.又因为水车上装有又因为水车上装有1616个盛水槽个盛水槽,每个盛水槽最多盛水每个盛水槽最多盛水1010升升,所以每转所以每转一圈一圈,最多盛水最多盛水161610=160(10=160(升升),),所以水车所以水车1 1小时内最多盛水小时内最多盛水16016012=12=1 920(1 920(升升).).【能力进阶能力进阶-水平二水平二】(20(20分钟分钟4040分分)一、单选题一、单选题(每小题每小题5 5分分,共共1515分分)1.1.钟表分针的运动是一个周期现象钟表分针的运动是
32、一个周期现象,其周期为其周期为6060分钟分钟,现在分针恰好指在现在分针恰好指在2 2点处点处,则则100100分钟后分针指在分钟后分针指在()A.8A.8点处点处B.10B.10点处点处C.11C.11点处点处D.12D.12点处点处【解析解析】选选B.B.由于由于100=1100=160+40,60+40,所以所以100100分钟后分针所指位置与分钟后分针所指位置与4040分钟后分分钟后分针所指位置相同针所指位置相同,现在分针恰好指在现在分针恰好指在2 2点处点处,经过经过4040分钟后分针应指在分钟后分针应指在1010点处点处.2.2.探索图所呈现的规律探索图所呈现的规律,判断判断2 0
33、182 018至至2 0202 020箭头的方向是箭头的方向是()【解析解析】选选C.C.观察图可知每增加观察图可知每增加4 4个数字就重复相同的位置个数字就重复相同的位置,则则2 0182 018至至2 0202 020箭头的方向与箭头的方向与2 2至至4 4箭头的方向是相同的箭头的方向是相同的.3.3.对任意实数对任意实数x,xx,x表示不超过表示不超过x x的最大整数的最大整数,如如3.6=3,-3.4=-4,3.6=3,-3.4=-4,关于函数关于函数f(x)=,f(x)=,有下列命题有下列命题:f(x)f(x)是周期函数是周期函数;f(x)f(x)是偶函数是偶函数;函数函数f(x)f
34、(x)的值域为的值域为0,1,0,1,其中正确的命题为其中正确的命题为()A.A.B.B.C.C.D.D.x1x 33【解析解析】选选A.A.因为因为f(x+3)=f(x),f(x+3)=f(x),所以所以f(x)f(x)是是周期函数周期函数,3,3是它的一个周期是它的一个周期,故正确故正确.f(x)=f(x)=结合函数的周期性可得函数的值域为结合函数的周期性可得函数的值域为0,1,0,1,则函数不是偶函数则函数不是偶函数,故错误故错误.x4x+3x1x1 13333 0,x0,2)x1x 331,x2,3),二、多选题二、多选题(共共5 5分分,全部选对得全部选对得5 5分分,选对但不全的得
35、选对但不全的得3 3分分,有选错的得有选错的得0 0分分)4.4.已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)满足条件满足条件f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x),且函数且函数y=f(x-1)y=f(x-1)为奇为奇函数函数,则下列结论正确的是则下列结论正确的是()A.A.函数函数y=f(x)y=f(x)是周期函数是周期函数B.B.函数函数y=f(x)y=f(x)的图象关于点的图象关于点(-1,0)(-1,0)对称对称C.C.函数函数y=f(x)y=f(x)为为R R上的偶函数上的偶函数D.D.函数函数y=f(x)y=f(x)为为R R上的单调函数上的单调函
36、数【解题指南解题指南】利用利用f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)可以判断函数可以判断函数y=f(x)y=f(x)的周期性的周期性,利用利用y=f(x-1)y=f(x-1)为奇函数可以判断函数为奇函数可以判断函数y=f(x)y=f(x)的对称性和奇偶性的对称性和奇偶性,最后选出正确答案最后选出正确答案.【解析解析】选选ABC.ABC.因为因为f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x),所以所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即即T=4,T=4,故故A A正正确确;因为函数因为函数y=f(x-1)y=f(x-1)为奇函数为奇函数
37、,所以函数所以函数y=f(x-1)y=f(x-1)图象关于原点对称图象关于原点对称,所以所以B B正确正确;又函数又函数y=f(x-1)y=f(x-1)为奇函数为奇函数,所以所以f(-x-1)=-f(x-1),f(-x-1)=-f(x-1),根据根据f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x),有有f(x+1)=-f(x-1),f(x+1)=-f(x-1),所以所以f(x+1)=f(-x-1),f(x+1)=f(-x-1),有有f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),即函数即函数f(x)f(x)为为R R上的偶上的偶函数函数,C,C正确正确;因为函数因为函数y=f(x-1)y=f(x
38、-1)为奇函数为奇函数,所以所以f(-1)=0,f(-1)=0,又函数又函数f(x)f(x)为为R R上的偶函数上的偶函数,f(1)=0,f(1)=0,所以函数不单调所以函数不单调,D,D不正确不正确.三、填空题三、填空题(每小题每小题5 5分分,共共1010分分)5.5.已知函数已知函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R,R,且对任意且对任意x x1 1,x,x2 2RR都有都有f(xf(x1 1+x+x2 2)=100f(x)=100f(x1 1)f(x)f(x2 2),),则下列结论一定正确的是则下列结论一定正确的是_.(1)f(x)(1)f(x)是偶函数是偶函数;(2)f(x);(
39、2)f(x)是周期函数是周期函数;(3)(3)存在常数存在常数k,k,对任意对任意xR,xR,都有都有f(x+1)=kf(x);f(x+1)=kf(x);(4)(4)对任意对任意mR,mR,存在存在x x0 0R,R,使得使得f(xf(x0 0)=m.)=m.【解题指南解题指南】取取f(x)=10f(x)=10 x-2x-2,说明说明(1),(2),(4)(1),(2),(4)不正确不正确;在在f(xf(x1 1+x+x2 2)=100f(x)=100f(x1 1)f(x)f(x2 2)中中,令令x x1 1=x,x=x,x2 2=1,=1,分析可得存在常数分析可得存在常数k=100f(1)k
40、=100f(1)满足题意满足题意,所以所以(3)(3)正确正确.【解析解析】取取f(x)=10f(x)=10 x-2x-2,则对任意则对任意x x1 1,x,x2 2RR有有f(xf(x1 1+x+x2 2)=,)=,100f(x100f(x1 1)f(x)f(x2 2)=)=所以所以f(xf(x1 1+x+x2 2)=100f(x)=100f(x1 1)f(x)f(x2 2),),所以所以f(x)=10f(x)=10 x-2x-2满足题意满足题意.对于对于(1),(1),由于由于f(x)=10f(x)=10 x-2x-2不是偶函数不是偶函数,所以所以(1)(1)不正确不正确.对于对于(2),
41、(2),由于由于f(x)=10f(x)=10 x-2x-2不是周期函数不是周期函数,所以所以(2)(2)不正确不正确.12xx210121212x2x2xx4xx2100 1010100 1010，对于对于(4),(4),由于由于f(x)=10f(x)=10 x-2x-20,0,所以当所以当m0m0时时,不存在不存在x x0 0R,R,使得使得f(xf(x0 0)=m)=m成立成立,所所以以(4)(4)不正确不正确.对于对于(3),(3),在在f(xf(x1 1+x+x2 2)=100f(x)=100f(x1 1)f(x)f(x2 2)中中,令令x x1 1=x,x=x,x2 2=1,=1,得
42、得f(x+1)=100f(1)f(x),f(x+1)=100f(1)f(x),令令k=100f(1),k=100f(1),则则f(x+1)=kf(x),f(x+1)=kf(x),所以存在常数所以存在常数k=100f(1),k=100f(1),对任意对任意xR,xR,都有都有f(x+1)=kf(x),f(x+1)=kf(x),所所以以(3)(3)正确正确.答案答案:(3)(3)6.6.如图所示的弹簧振子在如图所示的弹簧振子在A,BA,B之间做简谐运动之间做简谐运动,振子向右运动时振子向右运动时,先后以相同的先后以相同的速度通过速度通过M,NM,N两点两点,经历的时间为经历的时间为t t1 1=1
43、 s,=1 s,过过N N点后点后,再经过再经过t t2 2=1 s=1 s第一次反向通第一次反向通过过N N点点,振子在这振子在这2 s2 s内共通过了内共通过了8 cm8 cm的路程的路程,则振子的振动周期则振子的振动周期T=T=_s.s.【解析解析】设振子的振动周期为设振子的振动周期为T,T,则振子由平衡位置则振子由平衡位置O O运动到运动到B B的时间为的时间为 ,而而振子以相同的速度通过振子以相同的速度通过M,NM,N的时间为的时间为t t1 1=1 s,=1 s,则则O O到到N N的时间为的时间为 ,又向右经又向右经N NB BN N的时间为的时间为t t2 2=1,=1,则则N
44、 N到到B B的时间为的时间为 ,所以所以 所以所以T=4.T=4.答案答案:4 4【误区警示误区警示】本题容易把本题容易把N NB B的时间当作半个周期的时间当作半个周期.T41t22t212ttT11142222 ，四、解答题四、解答题7.(107.(10分分)游乐场中的摩天轮匀速旋转游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要每转一圈需要1212分钟分钟,其中心其中心O O距离地面距离地面40.540.5米米,半径半径4040米米.如果你从最低处登上摩天轮如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间那么你与地面的距离将随时间的变化而变化的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时以你登上
45、摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题请解答下列问题:(1)(1)你与地面的距离随时间的变化而变化你与地面的距离随时间的变化而变化,这个现象是周期现象吗这个现象是周期现象吗?(2)(2)转四圈需要多少时间转四圈需要多少时间?(3)(3)你第四次距地面最高需要多少时间你第四次距地面最高需要多少时间?(4)(4)转转6060分钟时分钟时,你距离地面是多少你距离地面是多少?【解析解析】(1)(1)是周期现象是周期现象.(2)(2)转四圈需要时间为转四圈需要时间为4 412=48(12=48(分钟分钟).).(3)(3)第第1 1次距离地面最高需次距离地面最高需 =6(=6(分钟分钟),),而周期是而周
46、期是1212分钟分钟,所以第四次距地面所以第四次距地面最高需最高需12123+6=42(3+6=42(分钟分钟).).(4)(4)因为因为606012=5,12=5,所以转所以转6060分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同,即即40.5-40=0.5(40.5-40=0.5(米米).).122【补偿训练补偿训练】1.1.设设f(x)f(x)是定义域为是定义域为R R的函数的函数,对任意对任意xR,xR,都满足都满足f(x+1)=f(x-1),f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x),f(1-x)=f(1+x),且当且当x0,1x0,1时时,
47、f(x)=x,f(x)=x2 2-2x.-2x.(1)(1)请指出请指出f(x)f(x)在区间在区间-1,1-1,1上的奇偶性、单调区间、零点上的奇偶性、单调区间、零点;(2)(2)试证明试证明f(x)f(x)是周期函数是周期函数,并求其在区间并求其在区间2k-1,2k(kZ)2k-1,2k(kZ)上的解析式上的解析式.【解题指南解题指南】根据根据f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x)f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x)可推出函数为偶函数可推出函数为偶函数,由由f(x+1)=f(x-1)f(x+1)=f(x-1)可推出周期为可推出周期为2,2,根据周期及奇偶性
48、可求出函数在根据周期及奇偶性可求出函数在2k-1,2k2k-1,2k上上的解析式的解析式.【解析解析】(1)(1)因为因为f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x),f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x),所以所以f(x-1)=f(1-x),f(x-1)=f(1-x),所以所以f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),所以函数所以函数f(x)f(x)为定义域为定义域R R上的偶函数上的偶函数,故故f(x)f(x)在区间在区间-1,1-1,1上是偶函数上是偶函数,0,1,0,1是递减区间是递减区间,-1,0,-1,0是递增区间是递增区间,零点零点是是0.0.(2)(
49、2)因为因为f(x+1)=f(x-1),f(x+1)=f(x-1),所以所以f(x)=f(x-2),f(x)=f(x-2),故函数是周期为故函数是周期为2 2的周期函数的周期函数.设设x2k-1,2k,x2k-1,2k,则则x-2k-1,0,-(x-2k)0,1,x-2k-1,0,-(x-2k)0,1,所以所以f-(x-2k)=f-(x-2k)=(x-2k)(x-2k)2 2+2(x-2k),+2(x-2k),又函数是偶函数又函数是偶函数,且周期为且周期为2,2,所以所以f-(x-2k)=f(x-2k)=f(x),f-(x-2k)=f(x-2k)=f(x),故故f(x)=(x-2k)f(x)=
50、(x-2k)2 2+2(x-2k),x2k-1,2k,kZ.+2(x-2k),x2k-1,2k,kZ.2.2.已知函数已知函数f(x)(xD),f(x)(xD),若存在常数若存在常数T(T0),T(T0),对任意对任意xDxD都有都有f(x+T)=Tf(x+T)=Tf(x),f(x),则称函数则称函数f(x)f(x)为为T T倍周期函数倍周期函数.(1)(1)判断判断h(x)=xh(x)=x是否是是否是T T倍周期函数倍周期函数,并说明理由并说明理由;(2)(2)证明证明g(x)=g(x)=是是T T倍周期函数倍周期函数,且且T T的值是唯一的的值是唯一的.x1()4【解析解析】(1)(1)设
