1、第三节三角函数的图象与性质,总纲目录,教材研读,1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,考点突破,2.三角函数的图象与性质,考点二三角函数的单调性,考点一三角函数的定义域和值域,考点三函数的奇偶性、周期性、对称性,1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y=sin x,x0,2的图象中,五个关键点:(0,0),?,(,0),? ,(2,0).(2)余弦函数y=cos x,x0,2的图象中,五个关键点:(0,1),?,(,-1),?,(2,1).,教材研读,2.三角函数的图象与性质,1.(2017课标全国,3,5分)函数f(x)=sin?的最小正周期为?()A.4B.2C.D.,答案
2、C由题意得=2,所以函数f(x)=sin?的最小正周期T=?=.故选C.,C,2.函数y=tan 3x的定义域为?()A.?B.?C.?D.,D,答案D由3x?+k(kZ),得x?+?,kZ.故选D.,3.函数y=2-cos?(xR)的最大值和最小正周期分别是?()A.ymax=2,T=3B.ymax=1,T=6C.ymax=3,T=6D.ymax=3,T=3,C,答案C最大值ymax=2-(-1)=3,T=?=6.,4.函数f(x)=sin?在区间?上的最小值为?()A.-1B.-?C.?D.0,答案B0x?,-?2x-?.由正弦函数y=sin x的图象可知:当2x-?=-?时, f(x)取
3、得最小值为sin=-?.故选B.,B,5.函数y=sin?的图象的对称轴为,对称中心为.,答案x=?+k,kZ;?,kZ,解析由x-?=?+k,kZ,得x=?+k,kZ,由x-?=k,kZ,得x=?+k,kZ,故函数y=sin?的图象对称轴为x=?+k,kZ,对称中心为?,kZ.,6.函数y=tan?的单调增区间是 .,答案?(kZ),解析由-?+k?x-?+k,kZ,得-?+k?x?+k,kZ,即-?+2kx0,函数f(x)=sin?在?上单调递减,则的取值范围是.,考点二三角函数的单调性,答案(1)?,kZ(2)?,kZ;?,kZ(3),解析(1)y=sin?-sin?的减区间是y=sin
4、?的增区间.由2k-?2x-?2k+?,kZ,得k-?xk+?,kZ.故所给函数的减区间为?,kZ.,观察图象可知,函数y=|tan x|的单调递增区间为?,kZ;单调递减区间为?,kZ.(3)由?x得?+?x+?0)的单调区间时,要视“x+”为一个整体,通过解不等式求解.但如果0,那么一定先借助诱导公式将化为正数,防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.,2-1函数f(x)=tan?的单调递增区间是 .,答案?,kZ,解析由k-?2x-?k+?(kZ),得?-?x0)在区间?上单调递增,在区间?上单调递减,则=.,答案,解析f(x
5、)=sin x(0)过原点,当0x?,即0x?时,y=sin x是增函数;当?x?,即?x?时,y=sin x是减函数.由f(x)=sin x(0)在?上单调递增,在?上单调递减,知?=?,=?.,2-3已知函数f(x)=sin?,x-,0,则f(x)的单调递增区间为.,答案,解析由-?+2k2x-?+2k(kZ),得-?+kx?+k(kZ),x-,0,-?x0,函数f(x)的单调递增区间为?.,考点三函数的奇偶性、周期性、对称性,典例3(1)函数y=1-2sin2?是?()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为?的奇函数D.最小正周期为?的偶函数(2)若函数f(x)
6、=sin?(0,2)是偶函数,则=.(3)若函数f(x)=2tan?(kN*)的最小正周期T满足1T2,则k的值为.,命题方向一有关三角函数的奇偶性及周期性问题,答案(1)A(2)?(3)2或3,解析(1)y=1-2sin2?=cos?=-sin 2x是最小正周期为的奇函数.(2)由f(x)=sin?是偶函数,可得?=k+?(kZ),即=3k+?,kZ.又0,2,所以=?.(3)由题意知1?2,即k0)的周期为?,函数y=Atan(x+)(0)的周期为?求解.(3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心.提醒对于函数y=Asin(x+),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,
7、对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.,3-1(2017课标全国,6,5分)设函数f(x)=cos?,则下列结论错误的是?()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图象关于直线x=?对称C.f(x+)的一个零点为x=?D.f(x)在?单调递减,D,答案Df(x)的最小正周期为2,易知A正确;f?=cos?=cos 3=-1,为f(x)的最小值,故B正确;f(x+)=cos?=-cos?,f?=-cos?=-cos?=0,故C正确;由于f ?=cos?=cos =-1,为f(x)的最小值,故f(x)在?上不单调,故D错误.,3-2已知函数f(x)=2cos(x+)+b对任意实数x有f?=f(-x)恒成立,且f?=1,则实数b=.,-1或3,答案-1或3,解析由f?=f(-x)可知函数f(x)=2cos(x+)+b关于直线x=?对称,又函数f(x)在对称轴处取得最值,故2+b=1,b=-1或b=3.,
