1、第四节函数y=Asin(x+)的图象及应用,总纲目录,教材研读,1.用“五点法”画y=Asin(x+)(A,0)在一个周期 内的简图,2.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)(A0,0,0)的图象的步骤,3.函数y=Asin(x+)(A0,0,x0,+)的物理意义,考点突破,考点二由图象求函数y=Asin(x+)+b的解析式,考点一五点法作图及图象变换,考点三三角函数图象与性质的综合问题,考点四三角函数模型的简单应用,1.用“五点法”画y=Asin(x+)(A,0)在一个周期内的简图用五点法画y=Asin(x+)(A,0)在一个周期内的简图时,一般先列表,后描点,连线,其
2、中所列表如下:,教材研读,2.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)(A0,0,0)的图象的步骤,3.函数y=Asin(x+)(A0,0,x0,+)的物理意义(1)振幅为A.(2)周期T=?.(3)频率f=?=?.(4)相位是?x+.(5)初相是.注:本节关于函数y=Asin(x+)的一些方法与结论可类比推理到y=Acos(x+)及y=Atan(x+).,1.y=2sin?的振幅、频率和初相分别为?()A.2,?,-?B.2,?,-?C.2,?,-?D.2,?,-,A,答案A由振幅、频率和初相的定义可知,函数y=2sin?的振幅为2,频率为?,初相为-?.,2.为了得到函数
3、y=sin?的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点?()A.向左平行移动?个单位长度B.向右平行移动?个单位长度C.向上平行移动?个单位长度D.向下平行移动?个单位长度,A,答案A根据“左加右减”的原则可知,把函数y=sin x的图象上所有的点向左平行移动?个单位长度可得y=sin?的图象.故选A.,3.(2016课标全国,6,5分)将函数y=2sin?的图象向右平移?个周期后,所得图象对应的函数为?()A.y=2sin?B.y=2sin?C.y=2sin?D.y=2sin,D,答案D该函数的周期为,将其图象向右平移?个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin?=2sin?,故选D
4、.,4.为了得到函数y=3sin?的图象,只需将y=3sin?的图象上的所有点?()A.向左平移?个单位长度B.向右平移?个单位长度C.向左平移?个单位长度D.向右平移?个单位长度,D,答案Dy=3sin?=3sin?.,5.用五点法作函数y=sin?在一个周期内的图象时,主要确定的五个点是、.,答案?;?;?;?;,解析分别令x-?=0,?,?,2,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为0,1,0,-1,0).,6.已知函数f(x)=sin(x+)(0)的图象如图所示,则=.,答案,解析由题图可知,?=?-?=?,即T=?,所以?=?,故=?.,典例1已知函数f(x)=?sin x+?cos x
5、(0)的最小正周期为.(1)求的值,并在下面提供的坐标系中画出函数y=f(x)在区间0,上的图象;(2)函数y=f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到?,考点一五点法作图及图象变换,考点突破,解析(1)由题意知f(x)=sin?,因为T=,所以?=,即=2,故f(x)=sin?.列表如下:,方法技巧,1.五点法作图用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,令z=x+,由z取0,?,?,2来求出相应的x,通过列表得出五点坐标,描点,连线后得出图象.,2.图象变换由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与
6、“先伸缩后平移”.提醒(1)由y=sin x到y=sin(x+)的变换:向左平移?(0,0)个单位长度而非个单位长度.(2)平移前后两个函数的名称如果不一致,应先利用诱导公式化为同名函数,为负时应先变成正值.,D,答案Dy=sin?=cos?=cos?=cos?,由y=cos x的图象得到y=cos 2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的?,纵坐标不变;由y=cos 2x的图象得到y=cos?的图象,需将y=cos 2x的图象上的各点向左平移?个单位长度,故选D.,1-2(2017安徽两校阶段性测试)将函数y=cos?图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移?个
7、单位长度,所得函数图象的一条对称轴为?()A.x=?B.x=?C.x=?D.x=,A,答案A将函数y=cos?图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)时,得到函数y=cos?的图象;再将此函数的图象向左平移?个单位长度后,得到函数y=cos?=cos?的图象.该函数图象的对称轴为?-?=k(kZ),即x=2k+?(kZ).结合选项,只有A符合,故选A.,典例2(1)函数f(x)=Asin(x+)?其中A0,0,|?的部分图象如图所示,则f?的值为?()?A.-?B.-?C.-?D.-1,考点二由图象求函数y=Asin(x+)+b的解析式,(2)(2018四川质量检测)已知函数f(x)=
8、Asin(x+)+B(A0,xR,0,|)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为f(x)=.,答案(1)D(2)2sin?+1,解析(1)由图象可得A=?,最小正周期T=4?=,则=?=2.又f?=?sin?=-?,得?+=?+2k,kZ,即=?+2k,kZ,因为|?,所以=?,则f(x)=?sin?, f?=?sin?=?sin?=-1,选项D正确.(2)由题图可知,函数的最大值为A+B=3,最小值为-A+B=-1,解得A=2,B=1.,函数的最小正周期T=2?=,由?=,解得=2.由f?=2sin?+1=-1,得sin?=-1,故-?=2k-?(kZ),解得=2k-?(kZ),又因为
9、|0,0)的步骤和方法(1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,则A=?,b=?.(2)求,确定函数的最小正周期T,则可得=?.(3)求常用的方法:代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).特殊点法:确定值时,往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下:“最大值点”(即图象的“峰点”)时x+=?+2k(kZ);“最小值,点”(即图象的“谷点”)时x+=?+2k(kZ).,2-1已知函数f(x)=Acos(x+)?的图象如图所示, f?=-?,则f?=?()?A.-?B.-?C.?D.,A,答案A由题图知?=
10、?-?=?,T=?,即=3,当x=?时,y=0,即3?+=2k-?,kZ,=2k-?,kZ,令k=1,则=-?,f(x)=Acos?.由题图可知,函数图象过点?,即Acos?=-?,得A=?,f(x)=?cos?,故f?=?cos?=-?.,2-2(2017甘肃张掖模拟)函数f(x)=sin(x+)?的部分图象如图所示,若x1,x2?,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=?()?A.?B.?C.?D.1,C,答案C由题图知,?=?,则=2,f(x)=sin(2x+),点?在函数f (x) 的图象上,sin?=0,即?+=k,kZ,又|0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高
11、点的距离为.(1)求a和的值;(2)求函数f(x)在0,上的单调递减区间.,考点三三角函数图象与性质的综合问题,解析(1)f(x)=4cos xsin?+a=4cos x?+a=2?sin xcos x+2cos2x-1+1+a=?sin 2x+cos 2x+1+a=2sin?+1+a.当sin?=1时, f(x)取得最大值2+1+a=3+a,又f(x)图象上最高点的纵坐标为2,3+a=2,a=-1.又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为,f(x)的最小正周期T=,2=?=2,=1.(2)由(1)得f(x)=2sin?,由?+2k2x+?+2k,kZ,得?+kx?+k,kZ.令k=0,得?x?
12、,函数f(x)在0,上的单调递减区间为?.,规律总结函数y=Asin(x+)(A0,0)的常用性质(1)奇偶性:当=k(kZ)时,函数y=Asin(x+)为奇函数;当=k+?(kZ)时,函数y=Asin(x+)为偶函数.(2)周期性:函数y=Asin(x+)(A0,0)具有周期性,其最小正周期为T=?.(3)单调性:根据y=sin x的单调性来研究,由-?+2kx+?+2k,kZ得单调增区间;由?+2kx+?+2k,kZ得单调减区间.(4)对称性:利用y=sin x的对称性来研究,由x+=k(kZ)求得对称中心的横坐标;由x+=k+?(kZ)得对称轴方程.,3-1已知函数f(x)=?sin(x
13、+)?的图象关于直线x=?对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)当x?时,求函数y=f(x)的最大值和最小值.,典例4(1)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-?cos?t-sin?t,t0,24),则实验室这一天的最大温差为.(2)已知关于x的方程2sin2x-?sin 2x+m-1=0在?上有两个不同的实数根,则m的取值范围是.,考点四三角函数模型的简单应用,答案(1)4(2)(-2,-1),解析(1)f(t)=10-2?cos?t+?sin?t?=10-2sin?,因为0t24,所以?t+?,所以-1sin?1.于是f(t)在0,24)上的最大值为12,最小值为8.故实验室这一天最高温度为12
