1、第1课时归纳推理课后训练案巩固提升1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,可以得出的一般性结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=(2n-1)2解析:观察各等式的构成规律可以发现,各等式的左边是2n-1(nN*)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个等式首项为n,共有2n-1项,右边是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(
2、2n-1)2.答案:B2.已知不等式1+,1+,1+,均成立,照此规律,第五个不等式应为1+()A.B.C.D.解析:观察不等式的左边发现,第n个不等式的左边=1+,右边=,所以第五个不等式为1+.答案:C3.设n是自然数,则(n2-1)1-(-1)n的值()A.一定是零B.不一定是偶数C.一定是偶数D.是整数但不一定是偶数解析:当n为偶数时,(n2-1)1-(-1)n=0为偶数;当n为奇数时(n=2k+1,kN),(n2-1)1-(-1)n=(4k2+4k)2=k(k+1)为偶数.所以(n2-1)1-(-1)n的值一定为偶数.答案:C4.已知数列an中,a1=1,an+1=(nN*),则可归
3、纳猜想an的通项公式为()A.an=B.an=C.an=D.an=解析:由已知得a1=1,a2=,a3=,a4=,由此可猜想an=.答案:B5.设f(x)=,记f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x),则f2 016(2 016)等于()A.2 016B.-C.-D.解析:由已知可得f1(x)=,f2(x)=-,f3(x)=,f4(x)=x,f5(x)=,f6(x)=-,f7(x)=,f8(x)=x,可得fn(x)是以4为周期的函数,因此f2 016(x)=f5044(x)=f4(x)=x,故f2 016(2 016)=2 016.答案:A6.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出
4、去带回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飞出去各自又带回了5只蜜蜂,如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂()A.只B.66只C.63只D.62只解析:根据题意,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+65=62(只),第三天共有蜜蜂62+625=63(只),故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+655=66(只),故选B.答案:B7.给出若干个数:,由此可猜测第n个数为.解析:给出的每个数都是根式,被开方数都是两个数相加,第一个数恰好比序号多1,第二个数是分式,分子也是比序号多1,分母则是分子的平方减去1,由此可得第n个数为.答案:8.下图是用同样规格的
5、灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律,第(n)个图案中需用灰色瓷砖块(用含n的代数式表示).解析:第(1),(2),(3),个图案中灰色瓷砖数依次为15-3=12,24-8=16,35-15=20,由此可猜测第(n)个图案中灰色瓷砖数为(n+2)(n+4)-n(n+2)=4(n+2)=4n+8.答案:4n+89.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)
6、cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择式计算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=.证法一:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+cos2+sin cos +si
7、n2-sin cos -sin2=sin2+cos2=.故上式成立.证法二:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=-sin =1+sin 2-(1-cos 2)=1-cos 2-cos 2=1-.故上式成立.10.导学号40294007已知下列等式成立:,试根据以上等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示,并用数列中的方法加以证明.解:从给出的各个等式可以看出:第1个等式左边有1项,右边为;第2个等式左边有2项,右边为;第3个等式左边有3项,右边为;第4个等式左边有4项,右边为,由此可以归纳得出一般性的结论为+(nN*).以下用数列的方法证明该等式成立:+=+=+=.- 4 -
