1、7.3合情推理与演绎推理,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,1.合情推理(1)定义:前提为真时,结论可能为真的推理,叫做合情推理.(2)常见的类型:,部分,所有,部分,整体,个别,一般,特殊,特殊,-3-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,1,2.演绎推理(1)定义:由概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程,通常叫做演绎推理.演绎推理是由到的推理,当前提为真时,结论必然为真.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:大前提“M是P”提供一般性原理;小前提“S是M”指出一个特殊的对象;结论“S是P”大前提和小前提结合,得出判断.,一般,特殊,2,-4-,知识梳
2、理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.()(2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.()(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.()(5)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.(),答案,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行,同旁内角互补,如果A和B是两条平行直线的同旁内角,那么A+B=180B.某校高三
3、(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数超过50人C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质,答案,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3. 如图,根据图中的数构成的规律可知a表示的数是()A.12B.48C.60D.144,答案,解析,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4.(2017全国,文9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以
4、知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5在平面内,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为.,答案,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.合情推理包括归纳推理和类比推理,其结论是猜想,不一定正确,若要确定其正确性,则需要证明.2.在进行类比推理时,要从本质上去类比,只从一些表面现象去类比,就会犯机械类比的错误.3.应用三段论解决问题时,要明确什么是大前提、小前提,如果前提与推理形式是正
5、确的,结论必定是正确的.若大前提或小前提错误,则所得结论也是错误的.4.合情推理是发现结论的推理;演绎推理是证明结论的推理.,-10-,考点1,考点2,考点3,例1(1)如图是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上至下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式为21+23=10,依此类推,则第99个等式为()20+21=320+22=521+22=620+23=921+23=1022+23=1220+24=1721+24=1822+24=2023+24=24A.27+213=8 320
6、B.27+214=16 512C.28+214=16 640D.28+213=8 448,-11-,考点1,考点2,考点3,(2)有一个奇数组成的数阵排列如下:1371321591523111725192729则第30行从左到右第3个数是.思考如何进行归纳推理?,-12-,考点1,考点2,考点3,答案: (1)B(2)1 051解析: (1)依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中的等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);,又因为99=(
7、1+2+3+13)+8,因此第99个等式应位于第14行的从左至右的第8个位置,即是27+214=16 512,故选B.(2)先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+60= =929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1 051.,-13-,考点1,考点2,考点3,解题心得归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象.在进行归纳推理时,首先观察题目给出的特殊数
8、或式的变化规律(如本例中,要观察各行出现的等式个数的变化规律,每个等式左边第一个指数和第二个指数的变化规律);然后用这种规律试一试这些特殊的数或式是否符合观察得到的规律,若不符合,则应继续寻找规律;若符合,则可运用此规律推出一般结论.,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,(2) 如图所示的一系列正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82由上述事实,请推测关于n的等式为.,-16-,考点1,考点2,考点3,答案: (1)1 000(2)4+12+20+(8n-4)=(2n)2(
9、nN*),-17-,考点1,考点2,考点3,(2)由题图中的正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82归纳可得:等式左边是一个以8为公差,以4为首项的等差数列,右边是正偶数的平方,故第n个式子为:4+12+20+(8n-4)=(2n)2(nN+).,-18-,考点1,考点2,考点3,例2(1)已知在正三角形ABC中,若点P是正三角形ABC的边BC上一点,且点P到另两边的距离分别为h1,h2,正三角形ABC的高为h,由面积相等可以得到h=h1+h2;则在正四面体A-BCD中,若点P是正四面体A-BCD的平面B
10、CD上一点,且P到另三个面的距离分别为h1,h2,h3,正四面体A-BCD的高为h,则()A.hh1+h2+h3B.h=h1+h2+h3C.hh1+h2+h3D.h1,h2,h3与h的关系不定,-19-,考点1,考点2,考点3,(2)在平面几何中,ABC的内角C的平分线CE分AB所成线段的比为 .把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图),平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则得到类比的结论是 .思考如何进行类比推理?,-20-,考点1,考点2,考点3,-21-,考点1,考点2,考点3,解题心得在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:
11、(1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面对应空间,等差数列对应等比数列等;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等,加对应乘,乘对应乘方,减对应除,除对应开方等.,-22-,考点1,考点2,考点3,(2)在平面几何中,“若ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则三角形面积为SABC= (a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体A-BCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,则四面体的体积为”.,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,考点1,考点2,考点
12、3,-25-,考点1,考点2,考点3,(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.思考证明本例的大前提和小前提各是什么?,-26-,考点1,考点2,考点3,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,对点训练3如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,BFD=A,且DEBA.求证:ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来).,-29-,考点1,考点2,考点3,-30-,考点1,考点2,考点3,1.合情推理与演绎推理的区别(1)归纳推理是由特殊到一般的推理;(2)类比推理是由特殊到特
13、殊的推理;(3)演绎推理是由一般到特殊的推理;(4)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;而演绎推理若前提和推理形式正确,得到的结论一定正确.2.在数学研究中,得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.数学结论的证明主要通过演绎推理来进行.3.“三段论”式的演绎推理一定要保证大前提正确,且小前提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才能得出正确结论.,-31-,考点1,考点2,考点3,1.演绎推理常用来证明和推理数学问题,要注意推理过程的严密性、书写格式的规范性.2.合情推理运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展的依据.,
