1、 高二上学期数学期中练习试卷（A 卷）高二上学期数学期中练习试卷（A 卷）一、单选题一、单选题1与向量 (1，-3，2)平行的一个向量的坐标为()A(1，3，2)B(-1，-3，2)C(-1，3，-2)D(1，-3，-2)2若直线 过两点 和 ，则直线 的倾斜角为（）ABCD3在空间直角坐标系 中，点 在平面 内射影的坐标为（）ABCD4已知 ，若 ，则实数 的值为（）A1B-1CD5箱子中有 5 件产品，其中有 2 件次品，从中随机抽取 2 件产品，设事件 A=“至少有一件次品”，则 A 的对立事件为（）A至多两件次品B至多一件次品C没有次品D至少一件次品6如图，在四面体 中，两两垂直，已知
2、 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（）ABCD7袋子中有 4 个大小质地完全相同的球，其中 3 个红球，1 个黄球，从中随机抽取 2 个球，则抽取出的 2 个球恰好是 1 个红球 1 个黄球的概率是（）ABCD18过点 ，且横、纵截距相等的直线方程为（）A 或 B 或 C 或 D 或 9某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 和 ，系统 和系统 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 ，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为 ，则 （）ABCD10已知直线 ：，直线 不经过第二象限，则 的取值范围是（）ABCD二、填空题二、填空题11已知点 ，点 ，向量 ，则点 的坐标为 12已知 ，直线
3、与直线 平行，则 的值为 13已知直线 过点 ，点 ，则点 到直线 的距离是 14正方体 中，分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 .15已知正方体 的棱长为 1，给出下列四个命题：；点 到面 的距离为 ；点 在正方体 的侧面 及其边界上运动，并保持 ，则 的取值范围是 其中正确结论的序号是 三、解答题三、解答题16已知向量 ，（1）求 ；（2）求 ；（3）若 （），求 的值 17从两个黑球（记为 和 ）、两个红球（记为 和 ）从中有放回地任意抽取两球 （1）用集合的形式写出试验的样本空间；（2）求抽到的两个球都是黑球的概率18已知直线 过点 ，直线 ：（1）若 ，求直线 的方程
4、；（2）若直线 与 轴和直线 围成的三角形的面积为 ，求直线 的方程 19在如图所示的多面体中，且 ，且 ，且 ，平面 ，（1）求证：；（2）求平面 与平面 夹角的余弦值 20甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响 （1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；（2）求甲获胜的概率21设 为正整数，集合 对于集合 中的任意元素 和 ，记 （1）当 时，若 ，求 和 的值；（2）当 时，设 是 的子集，且满足：对于 中的任意两个不同的元素 ，写出一个集合 ，使其
5、元素个数最多，并说明理由 答案解析部分答案解析部分1【答案】C【解析】【解答】（-1，3，-2）=，由向量共线性质可知答案 C。故答案为：C【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出与向量 (1，-3，2)平行的一个向量的坐标。2【答案】B【解析】【解答】由题意，设直线 的斜率为 ，倾斜角为，故，由于 ，故。故答案为：B【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率和直线的倾斜角的关系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。3【答案】A【解析】【解答】点 在平面 内的射影，即向平面 作垂线，垂足为射影，故 轴和 轴方向的坐标不变，轴方向
6、坐标变为 0，故射影的坐标 。故答案为：A【分析】利用点 在平面 内的射影，即向平面 作垂线，垂足为射影，故 轴和 轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为 0，从而求出射影的坐标。4【答案】A【解析】【解答】因为 ，所以 ，即 ，解得 。故答案为：A.【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为 0 的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出实数 k的值。5【答案】C【解析】【解答】箱子中有 5 件产品，其中有 2 件次品，从中随机抽取 2 件产品，可能出现：“两件次品”，“一件次品，一件正品”，“两件正品”三种情况，根据对立事件的定义，事件 A=“至少有一件次品”，其对立事件为：“两件正品”，即”
7、没有次品“。故答案为：C【分析】利用已知条件结合对立事件的定义，从而找出事件 A 的对立事件。6【答案】D【解析】【解答】以 ，所在直线为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），则 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ；设直线 与平面 所成角为 ，则 ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 。故答案为：D.【分析】以 ，所在直线为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出直线 与平面 所成角的正弦值。7【答案】B【解析】【解答】解：从有 4 个大小质地完全相同的球的袋子中随
8、机抽取 2 个球有 种情况，抽取出的 2 个球恰好是 1 个红球 1 个黄球有 ，所以抽取出的 2 个球恰好是 1 个红球 1 个黄球的概率是 。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合组合数公式，再利用古典概型求概率公式，从而求出抽取出的 2 个球恰好是 1 个红球 1 个黄球的概率。8【答案】D【解析】【解答】当直线过原点时，直线的斜率为 ，则直线方程为 ；当直线不过原点时，设直线方程为 ，则 ，解得 ，所求的直线方程为 ，综上可知，所求直线方程为 或 。故答案为：D.【分析】利用分类讨论的方法结合已知条件，再利用截距式方程结合代入法，再结合转化的方法求出过点 ，且横、纵截距相等的直线的一般
9、式方程。9【答案】B【解析】【解答】记“系统 发生故障、系统 发生故障”分别为事件 、，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件 ，则 ，解得 。故答案为：B【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而利用互斥事件加法求概率公式，进而求出在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率，再利用已知条件在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为 ，从而求出实数 p 的值。10【答案】C【解析】【解答】由题意，令 ，可得直线过定点，如图所示，经过 的直线，且不经过第二象限，临界状态为经过原点和斜率不存在，当经过原点时，故 的取值范围是。故答案为：C【分析】由题意，将直线的一般式方程
10、转化为，从而得出 ，再解方程组求交点的方法，进而求出直线过的定点坐标，再利用直线的图像结合经过定点的直线，且不经过第二象限，临界状态为经过原点和斜率不存在，当经过原点时，再结合两点求斜率公式，从而求出实数 的取值范围。11【答案】（1，2，1）【解析】【解答】设点 ，则 ，因为 ，即 ，所以 ，解得 ，所以点 的坐标为（1，2，1）。故答案为：（1，2，1）。【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出点 C 的坐标。12【答案】-1【解析】【解答】由题意，直线 与直线 平行，故 ，解得，当 时，两直线为：，不重合，故 的值为-1。故答案为：-1。【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率
11、相等，从而求出实数 a 的值。13【答案】【解析】【解答】直线 的方向向量 ，则 ，又因为 ，所以 ，所以点 到直线 的距离为 。故答案为：。【分析】利用已知条件结合方向向量的定义，从而求出直线 的方向向量，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出的值，再利用两向量的夹角的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出的值，再利用正弦函数的定义，从而得出点 到直线 的距离。14【答案】【解析】【解答】如图所示：分别取 的中点 G，H，连接 ，则 ，所以 是异面直线 与 所成角，设正方体的棱长为 2，则 ，由余弦定理得 ，。故答案为：。【分析】分别取 的中点 G
12、，H，连接 ，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出 ，所以 是异面直线 与 所成角，设正方体的棱长为 2，再结合勾股定理和余弦定理，从而得出异面直线 与 所成角的余弦值。15【答案】【解析】【解答】在正方体 中，故正确；因为 ，则 ，故正确；设点 到面 的距离为 ，则 ，又 ，则 ，所以 ，所以 ，即点 到面 的距离为 ，故错误；对于，连接 ，在正方体 中，平面 ，又 平面 ，所以 ，因为 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，同理 ，又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，因为点 在正方体 的侧面 及其边界上运动，并保持 ，所以点 的轨迹为线段 ，所以 的取值范围是 ，故正确.故
13、答案为：.【分析】在正方体 中，利用三角形法则和相等向量的定义，从而得出 ；再利用 结合三角形法则和数量积的运算法则，从而得出 ；利用已知条件结合等体积法和拆分法，再结合三棱锥的体积公式和求和法，从而求出的值，再利用 结合三角形的面积公式，得出 的值，进而求出点 到面 的距离；连接 ，在正方体 中，平面 ，再结合线面垂直的定义，从而推出线线垂直，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，同理 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再结合点 在正方体 的侧面 及其边界上运动，并保持 ，所以点 的轨迹
14、为线段 ，从而求出 的取值范围，进而找出正确结论的序号。16【答案】（1）解：；（2）解：；（3）解：因为 ，所以 ，即 ，解得 .【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。(2)由向量模的公式，代入数值计算出结果即可。(3)由数量积的运算公式，计算出结果即可。17【答案】（1）解：试验的样本空间 ；（2）解：设事件 “抽到两个黑球”，则对于有放回简单随机抽样，因为样本空间 中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型因此 所以抽到的两个球都是黑球的概率为【解析】【分析】（1）利用已知条件用集合的形式写出试验的样本空间。（2）利用已知条件结合古典概型求概率
15、公式，从而求出抽到的两个球都是黑球的概率。18【答案】（1）解：设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 因为 ，所以 又因为 ，所以 又因为直线 过点 直线 的方程为 ，即 （2）解：若直线 斜率不存在，则直线 ：此时，直线 与 轴和直线 围成的三角形面积为 ，符合题意若直线 斜率存在，设直线 的斜率为 设直线 ：，与 轴交点为点 令 ，解得 所以点 坐标为 直线 与直线 的交点为点 因为直线 与 轴和直线 围成的三角形面积为 即 即 ，可求得 则直线 的方程为 综上：直线 的方程为 或 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线 的斜率，再利用点斜式求出直线
16、的方程，再转化为直线 的一般式方程。（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合三角形的面积公式和两直线求交点的方法，从而求出直线的斜率，进而结合点斜式方程求出直线 的方程，再转化为直线 的一般式方程。19【答案】（1）证明：因为 平面 ，平面 ，平面 ，所以 ，且 ，因为 ，如图所示，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，所以 ，所以 ；（2）解：，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，有 ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，有 ，设平面 和平面 的夹角为 ，所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 【解析】【分析】（1）利用 平面 结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以 ，且 ，再
17、利用 ，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出数量积的值，再结合数量积为0 两向量垂直的等价关系，从而证出 。（2）利用空间直角坐标系结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角的公式，从而求出平面 与平面 夹角的余弦值。20【答案】（1）解：设事件 “甲在第 次投篮投中”，其中 设事件 “乙在第 次投篮投中”，其中 则 ，其中 记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件 ，事件 与事件 相互独立根据事件独立性定义得：甲乙各投球一次，比赛结束的概率为（2）解：记“甲获胜”为事件 ，事件
18、 、事件 、事件 彼此互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义得：甲获胜的概率为 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出甲、乙各投球一次，比赛结束的概率。（2）记“甲获胜”为事件 ，利用已知条件得出，所以事件 、事件 、事件 彼此互斥，再利用互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出甲获胜的概率。21【答案】（1）解：因为 ，所以 ，（2）解：设 ；则 对于 中的不同元素 ，经验证，所以 中至多 1 个元素属于 B，所以集合 B 中至多 5 个元素取 满足条件此时集合 B=所以集合 B 中至多有 5 个元素【解析】【分析】（1）设 为正整数，集合 对于集合 中的任意元素 和 ，记 ，再利用已知条件当 时，再结合的定义结合代入法，得出 和 的值。（2）利用当 时，设 是 的子集，且满足：对于 中的任意两个不同的元素 ，结合，再结合并集的运算法则结合元素与集合的关系，从而得出集合 B 中至多有 5 个元素。
