- 第7讲 函数的奇偶性 讲义(学生版+教师版)-2021-2022学年人教A版2019高中数学必修一
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第 7 讲 函数的奇偶性玩前必备1.函数奇偶性的定义(1)奇函数:设函数 yf(x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有xD,且 f(x)f(x),则这个函数叫做奇函数.(2)设函数 yg(x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有xD,且 g(x)g(x),则这个函数叫做偶函数.2.奇、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.(2)偶函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数.3.判断奇偶性的步骤.4.奇偶性的有关结论(1)若奇函数在0 x 处有意义,则有(0)0f.(2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同;偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。玩转典例题型一题型一 判断函数的奇偶性例 1 例 1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x2(x22);(2)f(x)xx1;(3)f(x)x21 1x2.(4)24()|3|3xf xx-=+-;例 2 例 2 判断函数22,0(),0 xx xf xxx x+=-的奇偶性.玩转跟踪1(2021江苏高一期末)(多选)下列说法正确的是()A若定义在R上的函数 f x满足 11ff,则 f x是偶函数B若定义在R上的函数 f x满足 11ff,则 f x不是偶函数C若定义在R上的函数 f x满足 11ff,则 f x在R上是增函数D若定义在R上的函数 f x满足 11ff,则 f x在R上不是减函数2.(2021全国高一专题练习)判断下列函数的奇偶性:(1)1()(1)1xf xxx;(2)2221,0()21,0 xxxf xxxx;(3)224()xf xx;题型二题型二 已知函数奇偶性求参数值例 3 (1)例 3 (1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数,定义域为a1,2a,则a_,b_.(2)设函数(1)()()xxaf xx+-=为奇函数,则 a_.玩转跟踪1.(2021内蒙古赤峰学院附属中学高一期末)若函数 21xaxbfxx在1,1上是奇函数,则 f x的解析式为_题型三题型三 奇偶性求解析式或函数值例例 4 (2021辽宁高一期末)已知函数 2211xxf xx,若 23f a,则fa_例 5 例 5 设 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)g(x)1x1,求函数 f(x),g(x)的解析式例例 6 (2021湖南省长沙县第九中学高一期末)已知函数 f x是定义在R上的奇函数,当x0 时,1f xxx则函数的解析式为_玩转跟踪1.已知函数 f(x)(xR)是奇函数,且当 x0 时,f(x)2x1,求函数 f(x)的解析式.2.设 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)g(x)x22x,求函数 f(x),g(x)的解析式题型四 函数奇偶性与单调性的综合应用例例 6(1)(2021江西)下列函数中,既是偶函数,又在(0,)上单调递增的是()A|yx xB4yxxC|2xy D|1|yx(2)(2021吉林高一期末)设偶函数 f x的定义域为R,当0,x时,f x是增函数,则2f,f,3f 的大小关系是()A 32fff B 23fffC 32fff D 23fff(3)(2021 揭 阳 第 一 中 学 高 一 期 末)已 知 函 数1f x是 偶 函 数,当121xx时,12120f xf xxx 恒成立,设12af,2bf,3cf,则a,b,c的大小关系为()AbacBcbaCbcaDabc例 7 例 7 已知偶函数 f(x)在区间0,)上单调递增,则满足 f(2x1)b0,下列不等式中成立的有_(填序号)f(a)f(b);f(a)f(b);g(a)g(b);g(a)f(a)2.(2021福建高一期末)若定义在R的奇函数 f x在,0单调递减,则不等式 20f xf x的解集为()A,2B,1C1,D2,题型五 抽象函数性质的研究例例 8(2021北京)已知函数 f x对任意,x yR,总有 ()f xyf xfy,且当0 x时,()0f x ,112f,()求证:函数 f x是奇函数;()利用函数的单调性定义证明,f x在R上的单调递减;()若不等式22()11f mxxf xx 对于任意的3,2x恒成立,求实数m的取值范围.玩转跟踪1.(2021吉林省)已知函数()f x的定义域是(,0)(0,),对定义域内的任意x1,x2都有1212()()()f x xf xf x,且当x 1 时,()f x 0.(1)求证:()f x是偶函数;(2)求证:()f x在(0,)上是增函数;(3)试比较57,24ff的大小.玩转练习1(2021湖北高一开学考试)已知函数()yf x是定义在 R 上的奇函数,当0 x时,2()2f xxmx,且(1)2f,则(2)f的值为()A4B0C4D22(2021 湖北)(多选)下列函数中是偶函数,且在(1,)为增函数的是()A()|f xxB2()23f xxxC2()2|1f xxxD1,0()1,0 xxf xxx 3(2021江苏高一开学考试)(多选)下列函数中,在定义域上既是奇函数,又是减函数的是()A 3f xxx B 221,00,01,0 xxf xxxxC 1fxx D 3f xx 4(2021江西景德镇市景德镇一中高一期末(文)已知定义域为R的函数()f x在2),上单调递减,且(2)f x是奇函数,则(1)f、52f、(3)f的大小关系是()A5(1)(3)2fffB5(1)(3)2fffC5(3)(1)2fffD5(3)(1)2fff5(2021湖北高一期末)已知定义域为R的函数 f x是奇函数,且 2f xf x,若 f x在区间0,1是减函数,则53f,1f,112f的大小关系是()A 115123fffB 115123fffC 511132fffD 511132fff6(2021银川三沙源上游学校高一期末)设偶函数 f x的定义域为R,当0 x,时,f x是增函数,则1f,f,3f 的大小关系是()A 13fffB 31fffC 31fffD 13fff7.(2020河北高一期中)设定义在R上的奇函数()f x满足,对任意12,(0,)x x,且12xx都有2121()()0f xf xxx,且(2)0f,则不等式3()2()0fxf xx的解集为A(,2(0,2 B 2,02,)C(,22,)D 2,0)(0,28.(2021上海市杨浦高级中学高一期末)已知,m nR,函数|2yxn是定义在24,5m m 上的偶函数,则mn的值是_.9(2021上海高一期中)已知函数 yf x,xR,yf x是奇函数,且当0 x时,3 21xf xx,则0 x时,f x _10 (2021 湖北襄阳五中高三二模)已知函数(),()f xg x分别是定义在R上的偶函数和奇函数,()()2 3xf xg x,则函数()f x _11(2021湖北高一开学考试)函数2()9axbf xx是定义在()3,3上的奇函数,且1(1)8f(1)确定()f x的解析式;(2)判断()f x在()3,3上的单调性,并用定义证明;(3)解不等式(1)(2)0f tft12(2021山东)若()f x为R上的奇函数,且0 x 时,2()2f xxx(1)求 f x在R上的解析式;(2)判断函数 f x在(,0上的单调性,并用定义证明;(3)解关于x的不等式()(2)0f axafx 13.(2021云南省云天化中学)定义在1,1上的函数 f x满足:对任意的x,1,1y,都有:1xyf xfyfxy.(1)求证:函数 f x是奇函数;(2)若当1,0 x 时,有 0f x,求证:f x在1,1上是减函数;(3)若112f,221f xtat对所有1 1,2 2x,1,1a 恒成立,求实数t的取值范围.第 7 讲 函数的奇偶性玩前必备1.函数奇偶性的定义(1)奇函数:设函数 yf(x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有xD,且 f(x)f(x),则这个函数叫做奇函数.(2)设函数 yg(x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有xD,且 g(x)g(x),则这个函数叫做偶函数.2.奇、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.(2)偶函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数.3.判断奇偶性的步骤.4.奇偶性的有关结论(1)若奇函数在0 x 处有意义,则有(0)0f.(2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同;偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。玩转典例题型一题型一 判断函数的奇偶性例 1 例 1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x2(x22);(2)f(x)xx1;(3)f(x)x21 1x2.(4)24()|3|3xf xx-=+-;解(1)f(x)x2(x22)的定义域为 R.f(x)f(x),f(x)x2(x22)是偶函数(2)f(x)xx1的定义域为(,1)(1,),定义域不关于原点对称,f(x)xx1既不是奇函数,也不是偶函数(3)f(x)x21 1x2的定义域为1,1f(x)f(x)f(x)0,f(x)x21 1x2既为奇函数,又为偶函数(4)由Error!得2x2 且 x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2,f(x)4x2|x3|34x2x334x2x,f(x)f(x),f(x)是奇函数例 2 例 2 判断函数22,0(),0 xx xf xxx x+=-0 时,f(x)x2x,则当 x0,故 f(x)x2xf(x);当 x0 时,x0,故 f(x)x2xf(x),故原函数是偶函数玩转跟踪1(2021江苏高一期末)(多选)下列说法正确的是()A若定义在R上的函数 f x满足 11ff,则 f x是偶函数B若定义在R上的函数 f x满足 11ff,则 f x不是偶函数C若定义在R上的函数 f x满足 11ff,则 f x在R上是增函数D若定义在R上的函数 f x满足 11ff,则 f x在R上不是减函数【答案】BD【解析】对于 A 选项,取函数 21f xx x,则 110ff,函数 f x的定义域为R,21fxx xf x ,此时,函数 f x为奇函数,A 选项错误;对于 B 选项,若函数 f x为定义在R上的偶函数,对任意的xR,必有 fxf x,因为 11ff,所以,f x不是偶函数,B 选项正确;对于 C 选项,取函数 2f xxx,则10f,12f,11ff,但函数 2f xxx在R上不单调,C 选项错误;对于 D 选项,假设函数 f x是定义在R上的减函数,则 11ff,这与题设矛盾,假设不成立,所以,函数 f x在R上不是减函数,D 选项正确.故选:BD.2.(2021全国高一专题练习)判断下列函数的奇偶性:(1)1()(1)1xf xxx;(2)2221,0()21,0 xxxf xxxx;(3)224()xf xx;【答案】(1)非奇非偶函数;(2)奇函数;(3)偶函数【解析】(1)1()(1)1xf xxx有意义,则101xx,即101xx,解得11x,所以函数()yf x的定义域为(1,1,不关于原点对称,因此函数()yf x是非奇非偶函数;(2)当0 x时,2()21f xxx,0 x,22()()2()121()fxxxxxf x ;当0 x时,2()21f xxx,0 x,22()()2()121()fxxxxxf x .所以函数()yf x为奇函数;(3)由题意可得22400 xx,所以22x 且0 x,所以函数()yf x的定义域为 2,0)(0,2关于原点对称,又22224()4()()()xxfxf xxx,所以函数()yf x为偶函数;题型二题型二 已知函数奇偶性求参数值例 3 (1)例 3 (1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数,定义域为a1,2a,则a_,b_.答案130解析因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a12a,解得a13.又函数f(x)13x2bxb1 为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得b0.(2)设函数(1)()()xxaf xx+-=为奇函数,则 a_.解析:(1)()()xxaf xx+-=为奇函数,(1)(1)0ff+-=,1a=-.答案:1玩转跟踪1.(2021内蒙古赤峰学院附属中学高一期末)若函数 21xaxbfxx在1,1上是奇函数,则 f x的解析式为_【答案】21xf xx【解析】f x在1,1上是奇函数,00f,0a,21xf xxbx又 11ff,1122bb,即0b,21xf xx题型三题型三 奇偶性求解析式或函数值例例 4 (2021辽宁高一期末)已知函数 2211xxf xx,若 23f a,则fa_解 2221111xxxf xxx 令 21xg xx,gxg x 23f a,213f ag a,故 13g a 4113fagag a 故答案为:43例 5 例 5 设 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)g(x)1x1,求函数 f(x),g(x)的解析式解f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,f(x)f(x),g(x)g(x),由 f(x)g(x)1x1.用x 代替 x,得 f(x)g(x)1x1,f(x)g(x)1x1,()2,得 f(x)1x21;()2,得 g(x)xx21.例例 6 (2021湖南省长沙县第九中学高一期末)已知函数 f x是定义在R上的奇函数,当x0 时,1f xxx则函数的解析式为_【答案】(1)0()=(1)0 xxxf xxxx【解析】设0,0 xx,所以21fxxxxx ,因为函数 f x是定义在R上的奇函数,所以 2f xxx ,所以 2(1)f xxxxx.所以函数的解析式为(1)0()=(1)0 xxxf xxxx.故答案为:(1)0()=(1)0 xxxf xxxx玩转跟踪1.已知函数 f(x)(xR)是奇函数,且当 x0 时,f(x)2x1,求函数 f(x)的解析式.解当 x0,x0,f(x)2(x)12x1.又f(x)是奇函数,f(x)f(x),f(x)2x1.又 f(x)(xR)是奇函数,f(0)f(0),即 f(0)0.所求函数的解析式为 f(x)Error!2.设 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)g(x)x22x,求函数 f(x),g(x)的解析式解f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,f(x)f(x),g(x)g(x),由 f(x)g(x)2xx2.用x 代替 x,得 f(x)g(x)2x(x)2,f(x)g(x)2xx2,()2,得 f(x)x2;()2,得 g(x)2x.题型四 函数奇偶性与单调性的综合应用例例 6(1)(2021江西)下列函数中,既是偶函数,又在(0,)上单调递增的是()A|yx xB4yxxC|2xy D|1|yx(2)(2021吉林高一期末)设偶函数 f x的定义域为R,当0,x时,f x是增函数,则2f,f,3f 的大小关系是()A 32fff B 23fffC 32fff D 23fff(3)(2021 揭 阳 第 一 中 学 高 一 期 末)已 知 函 数1f x是 偶 函 数,当121xx时,12120f xf xxx 恒成立,设12af,2bf,3cf,则a,b,c的大小关系为()AbacBcbaCbcaDabc【答案】(1)C(2)A(3)A【解析】(1)对于 A:|f xx x的定义域为 R,关于原点对称,因为|=|=fxxxx xf x,所以|f xx x为奇函数,故 A 错误;对于B:4f xxx的定义域为00,+,关于原点对称,因为 44f xxxf xxx ,所以 4f xxx为奇函数,故 B 错误;对于 C:|2xfx 的定义域为 R,关于原点对称,因为|2=2xxfxf x,所以|2xfx 为偶函数;当(0,)x时,2xf x 为增函数,故 C 正确;对于 D:|1|f xx的定义域为 R,关于原点对称,但是|1|fxx ,而|1|f xx,所以 fxfxfxfx,所以为非奇非偶函数,故 D 错误.故选:C(2)因为函数 f x是偶函数,所以(3),(2)(2)3,ffff因为0,x时,f x是增函数,所以 32fff,所以 32fff.故选:A(3)当121xx时,12120f xf xxx,则 21f xf x,所以,函数 f x为1,上的增函数,由于函数1f x是偶函数,可得11fxfx,1335112222affff,53212,因此,bac.故选:A.例 7 例 7 已知偶函数 f(x)在区间0,)上单调递增,则满足 f(2x1)f(13)的 x 的取值范围为()A.(13,23)B.13,23)C.(12,23)D.12,23)答案A解析由于 f(x)为偶函数,且在0,)上单调递增,则不等式 f(2x1)f(13),即132x113,解得13xb0,下列不等式中成立的有_(填序号)f(a)f(b);f(a)f(b);g(a)g(b);g(a)f(a)答案解析f(x)为 R 上奇函数,增函数,且 ab0,f(a)f(b)f(0)0,又ab0,f(a)f(b)f(b)0f(b)f(a),正确,错误x0,)时,g(x)f(x),g(x)在0,)上单调递增,g(a)g(a)g(b)g(b),正确,错误又 g(a)g(a)f(a)f(a),正确2.(2021福建高一期末)若定义在R的奇函数 f x在,0单调递减,则不等式 20f xf x的解集为()A,2B,1C1,D2,【答案】B【解析】()f x是奇函数,在(,0上递减,则()f x在0,)上递减,()f x在R上是减函数,又由()f x是奇函数,则不等式 20f xf x可化为(2)()f xfx,2xx,1x 故选:B题型五 抽象函数性质的研究例例 8(2021北京)已知函数 f x对任意,x yR,总有 ()f xyf xfy,且当0 x时,()0f x ,112f,()求证:函数 f x是奇函数;()利用函数的单调性定义证明,f x在R上的单调递减;()若不等式22()11f mxxf xx 对于任意的3,2x恒成立,求实数m的取值范围.【答案】()见解析;()见解析;()23m【解析】()令0 xy,得(0)(0)(0)fff,所以(0)0f,令yx,得(0)()()ff xfx,即0()()f xfx,所以()()fxf x,所以函数 f x是R上的奇函数.()任取12,x xR,且12xx,则121212()()()()()f xf xf xfxf xx,因为当0 x时,()0f x ,而12xx,即120 xx,所以12()0f xx,所以12()()f xf x,所以 f x在R上的单调递减.()由()知 f x是R上的奇函数,所以1(1)(1)2ff,所以1(1)2f,所以11(2)(1 1)(1)(1)122ffff ,所以不等式22()11f mxxf xx 可化为22()(1)(2)f mxxf xxf,即22()(2)(1)f mxxff xx,所以22()(3)f mxxf xx,由()知,f x在R上的单调递减,所以223mxxxx,故问题转化为2223mxxx对于任意的3,2x恒成立,即2231mxx 对于任意的3,2x恒成立,令1tx,2(0,3t,故问题可转化为2123mtt 对任意的2(0,3t恒成立,令2()321g ttt,其对称轴为13t,所以min12()()33g tg,所以23m.玩转跟踪1.(2021吉林省)已知函数()f x的定义域是(,0)(0,),对定义域内的任意x1,x2都有1212()()()f x xf xf x,且当x 1 时,()f x 0.(1)求证:()f x是偶函数;(2)求证:()f x在(0,)上是增函数;(3)试比较57,24ff的大小.【答案】(1)证明见详解;(2)证明见详解;(3)5724ff.【解析】(1)证明:函数的定义域是(,0)(0,)令x1x21,得(1 1)(1)(1)fff(1)0f,又(1)(1)(1)(1)(1)ffff(1)0f,又()(1)(1)()fxfxff x,即有()()fxf x()f x是偶函数(2)证明:设 0 x1 1 时,()f x 0 知:21()0 xfx即有21()()f xf x()f x在(0,)上是增函数(3)由(1)知()f x是偶函数,则有55()()22ff由(2)知()f x在(0,)上是增函数,则有57()()24ff57()()24ff.玩转练习1(2021湖北高一开学考试)已知函数()yf x是定义在 R 上的奇函数,当0 x时,2()2f xxmx,且(1)2f,则(2)f的值为()A4B0C4D2【答案】A【解析】()f x是R上的奇函数,(1)(1)2ff,即122m,1m 2(2)(2)(2)24f ,(2)(2)4ff 故选:A2(2021 湖北)(多选)下列函数中是偶函数,且在(1,)为增函数的是()A()|f xxB2()23f xxxC2()2|1f xxxD1,0()1,0 xxf xxx【答案】ACD【解析】根据题意,依次分析选项:对于A,()|f xx,偶函数,且在(1,)为增函数,符合题意;对于B,2()23f xxx,不是偶函数,不符合题意;对于C,2()2|1f xxx,是偶函数,在1(,)4上为增函数,故在(1,)为增函数,符合题意;对于D,1,0()1,0 xxf xxx,是偶函数,且在(1,)为增函数,符合题意;故选:ACD3(2021江苏高一开学考试)(多选)下列函数中,在定义域上既是奇函数,又是减函数的是()A 3f xxx B 221,00,01,0 xxf xxxxC 1fxx D 3f xx【答案】AB【解析】因为 3f xxx ,定义域为R,且 3fxxxf x,所以函数 f x是奇函数,设120 xx,则 33121122f xf xxxxx 33222121212211()()0 xxxxxxxx xx,所以120 xx时,12f xf x,又因为函数 f x是奇函数,所以函数 f x在R上单调递减,故选项 A 正确;由函数 221,00,01,0 xxf xxxx的图像可知:函数 f x关于原点对称且单调递减,故选项 B 正确;而选项中的函数 1fxx 是非奇非偶函数,故选项 C 错误;对于函数 3f xx,定义域为0 x x,定义域关于原点对称,3fxf xx,所以函数 f x是奇函数,设120 xx,则 121212123()33()0 xxf xf xxxx x ,所以120 xx时,12f xf x,所以函数 f x在(0,)上单调递增,又因为函数 f x是奇函数,所以函数 f x在(,0)上也单调递增,但是不满足题意.故选:AB.4(2021江西景德镇市景德镇一中高一期末(文)已知定义域为R的函数()f x在2),上单调递减,且(2)f x是奇函数,则(1)f、52f、(3)f的大小关系是()A5(1)(3)2fffB5(1)(3)2fffC5(3)(1)2fffD5(3)(1)2fff【答案】D【解析】因为(2)f x是奇函数,所以()f x的图象关于(2,0)对称,且在2),上单调递减,所以()f x在(,2)单调递减,又因为()f x定义域为R,所以(2)0f,所以()f x在R连续且单调递减,由于5132,所以5(3)()(1)2fff.故选:D.5(2021湖北高一期末)已知定义域为R的函数 f x是奇函数,且 2f xf x,若 f x在区间0,1是减函数,则53f,1f,112f的大小关系是()A 115123fffB 115123fffC 511132fffD 511132fff【答案】B【解析】22224f xf xf xf xf xf x ,由此可知函数 f x的周期为 4,函数 f x是奇函数,2f xf x,所以有:55771142333333ffffff ,113311142222222ffffff,因为 f x在区间0,1是减函数,11132,所以 11132fff,即 115123fff,故选:B6(2021银川三沙源上游学校高一期末)设偶函数 f x的定义域为R,当0 x,时,f x是增函数,则1f,f,3f 的大小关系是()A 13fffB 31fffC 31fffD 13fff【答案】B【解析】fx是偶函数,11ff,33ff,当0 x,时,f x是增函数,且31,31fff,31fff.故选:B.7.(2020河北高一期中)设定义在R上的奇函数()f x满足,对任意12,(0,)x x,且12xx都有2121()()0f xf xxx,且(2)0f,则不等式3()2()0fxf xx的解集为A(,2(0,2 B 2,02,)C(,22,)D 2,0)(0,2【答案】C【解析】因为对任意12,0 x x,,且12xx都有21210f xf xxx,所以函数在0,上单调递减,则在0,上单调递减,由 20f,则20f,323250fxf xf xf xf xxxx,当0 x时,0f x,即2x,当0 x时,0f x,即2x,综上不等式的解集为22,故选C8.(2021上海市杨浦高级中学高一期末)已知,m nR,函数|2yxn是定义在24,5m m 上的偶函数,则mn的值是_.【答案】5【解析】由已知|2yxn是定义在24,5m m 上的偶函数,故2450mm,即1m,或5m,且函数图象关于y轴对称,又245mm,故5m,因为|2yxn关于直线x n对称,故0n,5mn,故答案为:5.9(2021上海高一期中)已知函数 yf x,xR,yf x是奇函数,且当0 x时,3 21xf xx,则0 x时,f x _【答案】321xx.【解析】当0 x时,0 x,所以33 2121xxfxxx ,因为 yf x是奇函数,所以33212()1()xxxxxf xf.故答案为:321xx.10(2021湖北襄阳五中高三二模)已知函数(),()f xg x分别是定义在R上的偶函数和奇函数,()()2 3xf xg x,则函数()f x _【答案】33xx【解析】因为()()2 3xf xg x,所以()()2 3xfxgx,又(),()f xg x分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以 ,fxf xgxg x;所以 ()()2 3xfxgxf xg x,则 2 32 3xxf xg xf xg x,两式相加得,22 32 3xxf x,所以 33xxf x.故答案为:33xx.11(2021湖北高一开学考试)函数2()9axbf xx是定义在()3,3上的奇函数,且1(1)8f(1)确定()f x的解析式;(2)判断()f x在()3,3上的单调性,并用定义证明;(3)解不等式(1)(2)0f tft【答案】(1)2()9xf xx,(3,3)x;(2)增函数,证明见解析;(3)3 1,2 3t.【解析】(1)由函数2()9axbf xx是定义在()3,3上的奇函数知9(0)0bf,所以解得0b,经检验,0b时,2()9axf xx是()3,3上的奇函数,满足题意又21(1)918af,解得1a,故2()9xf xx,(3,3)x(2)f x在()3,3上为增函数证明如下:在()3,3内任取12,x x且12xx,则211221212222212199999xxx xxxfxfxxxxx,因为210 xx,1290 x x,2190 x,2290 x,所以2112212122222121909999xxx xxxfxfxxxxx即 21f xf x,所以 f x在()3,3上为增函数(3)(1)(2)0f tft,(1)(2)f tft,又()f x是1,1上的奇函数,(1)(2)f tft,结合 f x在3,3上为增函数,得31332312tttt ,解得:3123t,即3 1,2 3t 12(2021山东)若()f x为R上的奇函数,且0 x 时,2()2f xxx(1)求 f x在R上的解析式;(2)判断函数 f x在(,0上的单调性,并用定义证明;(3)解关于x的不等式()(2)0f axafx【答案】(1)222,0()2,0 xx xf xxx x;(2)f x在(,0上单调递减,证明见解析;(3)答案见解析.【解析】(1)因为当0 x 时,2()2f xxx,所以当0 x时,0 x,22()()2()2()fxxxxxf x ,因为()f x为R上的奇函数,所以()()fxf x,则2()2f xxx 所以 f x在R上的解析式为222,0()2,0 xx xf xxx x(2)函数 f x在(,0上单调递减证明:设12,(,0 x x,且12xx,221211221212222f xf xxxxxxxxx,因为12,(,0 x x ,且12xx,所以120 xx,1220 xx,则 120f xf x,所以 f x在(,0上单调递减(3)因为 f x为R上的奇函数,且在(,0上单调递减,所以 f x在R上单调递减因为()(2)0f axafx,所以()(2)f axaf x,2ax ax ,即(1)2axa,当1a时,不等式的解集为21ax xa;当1a 时,不等式的解集为R;当1a 时,不等式的解集为21ax xa13.(2021云南省云天化中学)定义在1,1上的函数 f x满足:对任意的x,1,1y,都有:1xyf xfyfxy.(1)求证:函数 f x是奇函数;(2)若当1,0 x 时,有 0f x,求证:f x在1,1上是减函数;(3)若112f,221f xtat对所有1 1,2 2x,1,1a 恒成立,求实数t的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)2t或0t 或2x【解析】(1)证明:令0 xy得:00f设任意(1,1)x,则(1,1)x ,()()(0)0f xfxf,即()()fxf x,函数 f x是奇函数;(2)设1211xx,则2(1,1)x,121212121xxf xf xf xfxfx x由1211xx 知:120 xx,且121,1xx,所以121x x,即1210 x x,121201xxx x,又1212121211(1)011xxxxx xx x 即1212(1,0)1xxx x,从而121201xxfx x,即 120f xf x,12f xf x,所以 f x在(1,1)上是减函数;(3)由(2)函数 f x在(1,1)上是减函数,则当1 1,2 2x 时,函数 f x的最大值为11122ff,若2()21f xtat对所有1 1,1,12 2xa 恒成立,则等价为 2121tat对 1,1a 恒成立,即220tat,设22()22g atattat,则对 1,1a 恒成立,(1)0(1)0gg,即222020tttt,即t2t0t0t2 或或,解得2t 或0t 或2x
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