第7练 基本不等式（基础篇）-期末复习专项训练（原卷+解析）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第 7 练 基本不等式（基础篇）2020-2021 学年高一数学期末复习专项练（人教 A 版 2019 必修第一册）一、单选题（共 5 小题，满分 25 分，每小题 5 分）1若在处取得最小值，则 A.B.3C.D.42下列不等式中，正确的是()Aa4a4Ba2b24abC.abab2 Dx23x2233若0a，0b，abab，则 a+b 的最小值为（）A2B4C6D84若正实数,x y满足xy1，则41x1y的最小值为（）A447B275C143D925设a0，b0，且 2ab1，则12aaabA有最小值为 4 B有最小值为2 21 C有最小值为143 D无最小值二、多选题（共 3 小题，满分 15 分，每小题 5 分，少选得 3 分，多选不得分）6下列不等式证明过程正确的是（）A若a，bR，则22baabbaabB若x1，y1，则yxyxlglg2lglgC若x0，则4424xxxx D若x0，则222222xxxx7已知,a bR且1ab，那么下列不等式中，恒成立的有（）A 41abB4171ababC2baD22211ba8设正实数a，b满足1ab，则（）Aab有最大值12B11ab有最大值 4Cab有最大值2D22ab有最小值12三、填空题（共 3 小题，满分 15分，每小题 5 分，一题两空，第一空 2 分）9已知m0，xy0，当x+y2 时，不等式2mxy4 恒成立，则m的取值范围是_10已知0,1ab，2ab，则1221ab的最小值是_11已知0 x，0y，且3xyxy，若23ttxy 恒成立，则实数t的取值范围是_.四、解答题：（本题共 3 小题，共 45 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12（1）设函数2()23f xaxbx若(1)3f，且0,0ba，求14ab的最小值；(2)已知函数2()(2)4f xxaxaR.若对14x，()1f xa 恒成立，求实数a的取值范围.13要设计一张矩形广告，该广告含有左右全等的两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 200，四周空白的宽度为 2，两栏之间的中缝空白的宽度为 4.请设计广告的长与宽的尺寸，使矩形广告面积最小，并求出最小值.14设函数2(yaxxb aR，bR).（1）求不等式222yaxb的解集；（2）当0a，1b 时，记不等式0y 的解集为P，集合|22.Qxtxt 若对于任意正数t，QP，求11ab的最大值 第 7 练 基本不等式（基础篇）2020-2021 学年高一数学期末复习专项练（人教 A 版 2019 必修第一册）一、单选题（共 5 小题，满分 25 分，每小题 5 分）1若在处取得最小值，则 A.B.3C.D.4【答案】B【解析】，当且仅当时取等号故选B2下列不等式中，正确的是()Aa4a4Ba2b24abC.abab2 Dx23x223【答案】D【解析】a0，则a4a4 不成立，故 A 错；a1，b1，a2b24ab，故 B 错，a4，b16，则abab2，故 C 错；由基本不等式可知 D 项正确3若0a，0b，abab，则 a+b 的最小值为（）A2B4C6D8【答案】B【解析】24ababab，于是4ab或0ab（舍），当2ab时取等号，则 a+b 的最小值为 4，故选 B。4若正实数,x y满足xy1，则41x1y的最小值为（）A447B275C143D92【答案】D【解析】0 x，0y，1xy，12xy ，41141141191452 41212122xyyxxyxyxy （当且仅当13x，23y 取等号），故选 D。5设a0，b0，且 2ab1，则12aaabA有最小值为 4 B有最小值为2 21 C有最小值为143 D无最小值【答案】B【解析】2ab1，1aba，其中 0a1，121212112 21111aaaabaaaa ，当且仅当a21取“”故选 B二、多选题（共 3 小题，满分 15 分，每小题 5 分，少选得 3 分，多选不得分）6下列不等式证明过程正确的是（）A若a，bR，则22baabbaabB若x1，y1，则yxyxlglg2lglgC若x0，则4424xxxx D若x0，则222222xxxx【答案】BD【解析】A不正确，因为a、b不满足同号，故不能用基本不等式B 正确，因为lgx和 lgy 一定是正实数，故可用基本不等式C不正确，因为 x和x4不是正实数，故不能直接利用基本不等式D正确，因为 x2 和x2都是正实数，故222222xxxx成立，当且仅当xx 22相等时（即x0 时），等号成立故选 B，D7已知,a bR且1ab，那么下列不等式中，恒成立的有（）A 41abB4171ababC2baD22211ba【答案】ABC【解析】,1a bRab，2)4(baab(当且仅当12ab时取得等号)所以选项 A 正确由选项 A 有14ab，设1yxx，则1yxx在104，上单调递减.所以1117444abab，所以选项 B 正确21212)(2bababababa(当且仅当12ab时取得等号)，2ba所以选项 C 正确.2232223223)211)(211baabbaabbababa（当且仅当baab2时等号成立），所以选项 D 不正确故选：ABC8设正实数a，b满足1ab，则（）Aab有最大值12B11ab有最大值 4Cab有最大值2D22ab有最小值12【答案】ACD【解析】因为正实数a，b满足1ab，所以12abab，当且仅当ab时，等号成立，即12ab，故 A 正确；又1111112babaababababab224b aa b，当且仅当baab，即ab时，等号成立，故 B 错；22ababababab，当且仅当ab时，等号成立；故 C 正确；2222212222ababababab，当且仅当ab时，等号成立；故 D 正确；故选：ACD.三、填空题（共 3 小题，满分 15 分，每小题 5 分，一题两空，第一空 2 分）9已知m0，xy0，当x+y2 时，不等式2mxy4 恒成立，则m的取值范围是_【答案】2，+）【解析】要使不等式2mxy4 恒成立，只需min24mxy，2xy，2121222mmymxmxyxyxyxy，0,0mxy，02,0ymxxy，12121222222ymxmy mxmmmxyxy ，min221422mmmxy，令2mt=，且0t，则不等式化为2230tt，解得1t，2m.10已知0,1ab，2ab，则1221ab的最小值是_【答案】92【解析】121211259122212122122baabababab,当且仅当1221baab即 b-1=2a,又2ab，所以 a=13,b=53时取等.故答案为92.11已知0 x，0y，且3xyxy，若23ttxy 恒成立，则实数t的取值范围是_.【答案】4,3.【解析】0 x，0y，且3xyxy，在等式3xyxy两边同时除以xy得311xy，由基本不等式得31993366212xyxyxyxyxyyxyx，当且仅当3xy时，等号成立，所以，3xy的最小值为12，由于不等式23ttxy 恒成立，则2min312ttxy，即2120tt，解得43t ，因此，实数t的取值范围是4,3.四、解答题：（本题共 3 小题，共 45 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12（1）设函数2()23f xaxbx若(1)3f，且0,0ba，求14ab的最小值；(2)已知函数2()(2)4f xxaxaR.若对14x，()1f xa 恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）92；（2）4a【解析】（1）函数2()23f xaxbx，由 1233fab，可得2ab，所以1411414149()5(25)2222babaababababab，当4baab时等号成立，因为2ab，0,0ab，解得24,33ab时等号成立，此时14ab的最小值是92.（2）对任意的1,4x，()1f xa 恒成立，即2(2)50 xaxa 对任意的1,4x恒成立，即2251xxa x恒成立，当1x 时，不等式04恒成立，此时aR当1,4x时，2254111xxaxxx，因为14x，所以013x，所以44121411xxxx 当且仅当411xx 时，即12x，即3x 时取等号，所以4a，综上4a 13要设计一张矩形广告，该广告含有左右全等的两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 200，四周空白的宽度为 2，两栏之间的中缝空白的宽度为 4.请设计广告的长与宽的尺寸，使矩形广告面积最小，并求出最小值.【答案】广告的长为 28，长为 14 时，可使广告的面积最小，最小值为 392【解析】设一个矩形栏目的长为x，广告的面积为S.则两栏的面积之和为 200，得宽为100 x，广告的长为28x，宽为1004x，其中0 x 广告的面积100100100(28)423282328 2392Sxxxxxx，当且仅当100 xx即10 x 时，等号成立，此时广告的宽为2828x，高为100414x，S取得最小值 392.答：广告的长为 28，长为 14 时，可使广告的面积最小，最小值为 39214设函数2(yaxxb aR，bR).（1）求不等式222yaxb的解集；（2）当0a，1b 时，记不等式0y 的解集为P，集合|22.Qxtxt 若对于任意正数t，QP，求11ab的最大值【答案】（1）当0a 时，不等式的解集为1,2,;a当0a 时，不等式的解集为2,;当102a时，不等式的解集为12,;a当12a 时，不等式的解集为；当12a 时，不等式的解集为1,2a；（2）12【解析】（1）由222yaxb得22120axax，即120axx当0a 时，不等式可以化为120 xxa若102a，则12a，此时不等式的解集为12,;a若12a，则不等式为2(2)0 x，不等式的解集为;a若12a，则12a，此时不等式的解集为1,2a当0a 时，不等式即20 x，此时不等式的解集为2,.当0a 时，不等式可以化为120 xxa，解集为1,2,.a综上所述，当0a 时，不等式的解集为1,2,;a当0a 时，不等式的解集为2,;当102a时，不等式的解集为12,;a当12a 时，不等式的解集为当12a 时，不等式的解集为1,2a（2）集合|22Qxtxt 又QP，所以满足当2x 时，函数0y，即420ab，所以423ab，11413222babbbb b，记321tb，此时23tb，则114132991162228210btabbbb btttt，当且仅当4t，即1,2.ab时，11ab有最大值12