第1讲 集合 讲义（含答案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第一讲 集合一、知识点详解二、知识讲解知识点1 集合的含义与表示知识点 1 集合的含义与表示1.集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母 a，b，c，表示。把一些元素组成的总体叫做集合，通常用大写字母CBA,.表示.2.集合元素的特性：确定性、互异性、无序性3.元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和.4.常见数集的符号表示：5.集合的表示法：列举法、描述法。（1）列举法：把集合中所有的元素都一一列举出来的，并用”“括起来表示集合的方法叫做列举法。举例：小于10的所有正整数的集合987654321，A（2）描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所具有的共同特征)(xP的元素x所组成的集合表示为)(xpAx，这种表示集合的方法为描述法。举例：表示奇数集合与偶数集合奇数集合ZnnxxA,12Z；偶数集合ZnnxxB,2Z知识点2 集合间的基本关系1、集合间的基本关系、集合间的基本关系表示关系文字语言记法子集集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A是集合B的子集。（A包含于B或B包含A）ABBA或真子集集合A是集合B的子集，但集合 B 中至少有一个元素不属于 AAB或BA基本关系相等集合BA,的元素完全相同BA 空集不含任何元素的集合空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2、集合子集的个数的确定方法：、集合子集的个数的确定方法：集合 A 中有n个元素，则集合 A 有n2个子集、有12 n个真子集、有12 n个非空子集、有22 n个非空真子集知识点3 集合的基本运算1、交集、并集、补集、交集、并集、补集运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A且属于B的元素组成的集合x|xA，且 xBAB并集属于A或属于B的元素组成的集合x|xA，或 xBAB补集全集 U 中不含属于A 的元素组成的集合x|xU，xAUC A2、集合的运算性质、集合的运算性质（1）并集的性质：）并集的性质：ABABAABBAAAAAA;（2）交集的性质：）交集的性质：BAABAABBAAAAA（3）补集的性质）补集的性质 BCACBACBCACBACAACCACAUACAUUUUUUUUUU)(;)(;)(;二、例题解析例例 1：集合概念：集合概念（1）下面给出的四类对象中，构成集合的是()A某班个子较高的同学B大于 2 的整数C2的近似值D长寿的人【答案】解：“某班个子较高的同学”不能构成集合这种描述方法描述的对象不确定“大于 2 的整数”能够构成集合它是一个明确的数集；“2的近似值”不能构成集合因为没有给出精确程度，没法判定“长寿的人”不能构成集合因为年龄多大归长寿没有标准，所以“长寿的人”所含的对象不确定，所以不能构成集合【解析】B（2）若集合Sa，b，(c a、b、)cR中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形【答案】D【解析】根据集合元素的互异性可知：a，b及c三个元素互不相等，若此三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是等腰三角形（3）下列四个关系式中，正确的是()AaB aaC aa，bDaa，b【答案】D【解析】解：A、应该是a，故A不对；B、应是 aa，故B不对；C、元素与集合的关系，应是 aa，b，故C不对；D、因集合a，b中有元素a，故D正确例例 2：元素与集合、集合与集合之间的关系：元素与集合、集合与集合之间的关系（1）下列各式中，正确的个数是()00，1，2；0，1，22，1，0；0，1，2；0；0，1(0,1)；00A1B2C3D4【答案】B【解析】解：集合之间的关系是包含与不包含，因此00，1，2，不正确，应该为00，1，2；0，1，22，1，0，正确；0，1，2，正确；不含有元素，因此0；0，1与(0,1)的元素形式不一样，因此不正确；元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为00，因此不正确综上只有：，正确（2）已知集合0A，1，1B ，0，3a，若AB，则a的值为()A2B1C0D1【答案】A【解析】解：集合0A，1，1B ，0，3a，AB，31a，解得2a （3）设集合|12Axx，|Bx xa，若AB，则a的取值范围是()A|2a aB|2a a C|1a aD|2a a【答案】A【解析】解：在数轴上画出图形易得2a故选：A 例例 3：子集、真子集个数问题：子集、真子集个数问题（1）集合1，2，3的真子集共有()A5 个B6 个C7 个D8 个【答案】C【解析】解：集合1，2，3的真子集共有：3217 个（2）满足11X，2，3，4，5的集合X有()A15 个B16 个C18 个D31 个【答案】A【解析】根据子集的定义，可得集合X必定含有 1 这个元素，可能含有 2、3、4、5，但不能是1，2，3，4，5因此，满足条件的集合X有：42115 个例例 4：集合的基本运算：集合的基本运算（1）设全集 3U ，2，1，0，1，2，3，集合 1A ，0，1，2，3B ，0，2，3，则()(UAB)A 3，3B0，2C 1，1D 3，2，1，1，3【答案】C【解析】2UB ，1，1，()1UAB，1（2）设集合|1Ux x，1A，3，5，7，|5Bx x，则(UAB)A1，3，5B3，5C1，3D1，3，5，7【答案】A【解析】|1Ux x，1A，3，5，7，|5Bx x，|15UBxx ，1UAB，3，5（3）全集 2U ，1，0，1，2，3，集合|01Axx，xZ，1B，2，()(UAB)A1，2B0，1，2C 2，1，3D 2，1，0，3【答案】C【解析】解：因为全集 2U ，1，0，1，2，3，集合|01Axx，0 xZ，1，1B，2，0AB，1，2；则()2UAB ，1，3；例例 5：易错点问题：易错点问题（1）已知集合2|220Ax mxx，mR，若A中只有一个元素，则m的取值是【答案】：0m 或12【解析】当0m 时，1x，符合题意；当0m 时，令480m，解得12m，代入得2x，符合题意；0m 或12（2）已知集合|25Axx ，|121Bx mxm，若BA，则实数m的取值范围是【答案】故答案为：3m【解析】若B ，则121mm；2m；若B ，则m应满足：1 211221 5mmmm，解得23m；综上得3m；三、课堂练习三、课堂练习A 类类1、下列各项中，不可以组成集合的是()A所有的正数B等于 2 的数C接近于 0 的数D不等于 0 的偶数【答案】C【解析】解：集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性 “接近于 0 的数”是不确定的元素 故接近于 0 的数不能组成集合2、已知集合1A，a，1a，若2A，则实数a的值为()A2B1C1或2D2或3【答案】C【解析】解：由实数2A，若2a，则1A 23，满足集合元素的互异性；若21a，则1a ，此时1A，1，2，满足集合元素的互异性；综上可知：2a 或1因此正确答案为C3、方程组3231xyxy解的集合是()A2x，1y B2，1C1，2D(2,1)【答案】D【解析】解：由3231xyxy，解得21xy方程组3231xyxy解的集合只有一个元素(2,1)因此所求解集合为(2,1)4、设集合1A，2，3，2B，3，4，则AB真子集的个数()A2，3B1，2，3，4C3D4【答案】C【解析】解：1A，2，3，2B，3，4，2AB，3，AB真子集的个数为2213 5、若|1Px x，|1Qx x，则()ARPQBQPCPQDRQP【答案】A【解析】解：因为|1Px x，|1Qx x，PQ，QP；选项B、C都错误；又|1RPx x，RPQ，B 类类6、若集合|1Xx x，下列关系式中成立的为()A0XB0XCXD0X【答案】D【解析】解：根据集合中的不等式1x 可知 0 是集合X的元素即0X，则0X7、全集0U，1，2，3，4，5，集合1A，5，集合2B，则集合()(UAB)A0，2，3，4B0，3，4C2D【答案】A【解析】解：0U，1，2，3，4，5，1A，5，2B，0UA，2，3，4，()0UAB，2，3，4故选：A8、已知集合|2Axx，1B ，0，1，2，则(AB)A 1，0，1B0，1C0，1D 1，0，1，2【答案】A【解析】解：|22Axx，1B ，0，1，2，1AB，0，1故选：A9、已知集合 2A ，3，4，4，5，|1|Bxx，则(AB)A 2，3，4B 2，4，5C 1，2，3，4，0，1，2，3，4，5D 2，4【答案】D【解析】解：集合 2A ，3，4，4，5，|1|(1,1)Bxx 2AB，4，10、用列举法表示集合6|2AZ xNx【答案】故答案为：3，6，6，3，2，1【解析】解：根据xN，且62Zx可得：0 x时，632x；1x 时，662x；3x 时，662x；4x时，632x；5x时，622x；8x 时，612x；3A，6，6，3，2，1C 类类11、已知集合|1|2Axx，Z为整数集，则集合AZ的子集个数为【答案】8【解析】解：集合|1|2|13Axxxx，Z为整数集，0AZ，1，2，集合AZ的子集个数为：32812、含有 3 个实数的集合可表示为a，ba，1，又可表示为2a，ab，0，则20212021ab【答案】1【解析】解：a，ba，21a，ab，0，0b，此时：a，0，21a，a，0，21a且1a，1a，此时：1，0，11，1，0，符合题意，20212021101ab ，13、已知集合|27Axx ，|121Bx mxm 且B ，若ABA，则m的取值范围是【答案】42 m【解析】题意得BA，有2121 7mm，转化为1212121 7mmmm，解得24m，14、定义集合A、B的一种运算：12*|A Bx xx x，1xA，2xB，若1A，2，3，1B，2，则集合*A B的真子集个数为 个【答案】31【解析】解：由题意：1A，2，3，1B，2，新定义：12*|A Bx xx x，1xA，2xB，那么：*A B组合有：(1、1)1，(1、2)，(2、1)，(2、2)，(3、1)，(3、2)有 5 个不同的元素真子集个数为52131 个15、已知集合2|310 0Ax xx（）若|621Bx mxm，AB，求实数m的取值范围；（）若|121Bx mxm，BA，求实数m的取值范围【答案】(1)实数m的取值范围为：43 m；(2)实数m的取值范围为：3m【解析】解：集合2|310 0|25Ax xxxx，（）AB，6221 5mm，解得：34m，（）BA，当B 时，121mm，即2m，当B 时，1 211221 5mmmm，解得：23m，综上所述，m的取值范围为：3m四、课后作业四、课后作业A 类类1、已知全集1U，2，3，4，集合1A，3，4B，则()(UAB)A2B4C2，4D1，3，4【答案】B【解 析】全 集1U，2，3，4，集 合1A，3，2UA，44B，()4UAB2、已知集合|24Axx ，|22Bxx，则(AB)A|22xx B|24xx C|22xx D|24xx 【答案】B【解 析】解：由 已 知，集 合|24Axx ，|22Bxx，所 以|24ABxx 3、设集合 1A ，0，1，1B ，2，3，|11CxRx，则()(ABC)A 1B 1，0C 1，1D 1，0，1【答案】B【解析】1AB，0，1，2，3，()1ABC ，04、集合1U，2，3，4，5，6，1A，2，3，4，2B，4，6，则()(UAB)A5B1，5C2，4D1，2，3，4，6【答案】A【解 析】1AB，2，3，4，6 集 合1U，2，3，4，5，6，所 以 集 合()5UAB 5、已知全集|Ux x是小于 7 的正整数，集合1A，3，6，集合2B，3，4，5，则(UAB)A3B1，3，6C2，4，5D1，6【答案】D【解析】解：由已知1UB，6，所以1UAB，6，B 类类6、已知集合2Aa，22aa，若3A，则a的值为【答案】32【解析】解：3A，23a或223aa；当23a 时，1a，223aa，根据集合中元素的互异性，1a 不合题意；当223aa时，1a 或32a ，32a 时，12A，3，符合题意综上32a 7、若 2A ，2，3，4，2|Bx xt，tA，用列举法表示B【答案】故答案为4，9，16【解析】解：由题，2A ，2，3，4，2|Bx xt，tA，4B，9，16，8、集合1A，2，21a，1B，23aa，0，若A，B相等，则实数a 1【答案】1【解析】解：由集合相等的概念得221032aaa ，解得1a，经检验成立，故答案为：19、已知集合|14Axx，|Bx xa，若AB，则实数a的取值范围是【答案】4a【解析】解：集合|14Axx，|Bx xa，若AB，4a 10、集合|1Ax yx，|0Bx xa，ABA，则a的取值范围是，【答案】故答案为：1a【解析】集合|1|1Ax yxx x，|0|Bx xax x a，ABA，1a，C 类类11、已知集合3A，4，44m，集合3B，2)m，若BA，则实数m【答案】故答案为：2【解析】24m，或244mm，解得2m 或2m，当2m 时，3A，4，12，3B，4，满足条件；当2m 时，3A，4，4，不满足元素的互异性，故2m 实数2m 12、设全集|24UxZx ，1A ，0，1，2，3，若UBA，则集合B的个数是【答案】4【解析】全集|24 2UxZx ，1，0，1，2，3，4，1A ，0，1，2，3，2UA ，4，UBA，则集合B ，2，4，2，4，因此满足条件的集合B的个数是 413、设|12Axx，|Bx xa，|312Mxmxm，mR，（1）若AB ，求a的取值范围；（2）若AB ，求a的取值范围（3）若()RAM，求m的取值范围【答案】（1）1a；（2）1a；（3）121mm或【解析】解：（1）因为AB ，所以1a，（2）因为AB ，所以1a （3）M ，则31 2mm，1m时，RMR，()RAM，恒成立；M ，因为()RAM，所以312m 或21m，解得1m或12m，14、已知集合|121Ax axa，|05Bxx（1）当0a时，求AB；（2）若AB，求实数a的取值范围【答案】（1）|01ABxx （2）实数a的取值范围212aa或【解析】解：（1）当0a时，|11Axx，|05Bxx|01ABxx（2）AB当A 时，1 21aa，2a，成立，当A ，即2a 时，1 021 5aa12a 15、已知集合|121Px axa，2|310Qx xx（1）若3a，求()RPQ；（2）若PQQ，求实数a的取值范围【答案】（1）()|4RPQx x或7|25|24xxxxx（2）实数a的取值范围是2a【解析】（1）3a，|47Pxx，|4RPx x或7x 2|310 0|25Qx xxxx，所以()|4RPQx x或7|25|24xxxxx（2）当P 时，由PQQ得PQ，所以1221 5211aaaa解得02a；当P ，即211aa 时，有PQ，得0a综上，实数a的取值范围是2a第一讲 集合一、知识点详解二、知识讲解知识点1 集合的含义与表示知识点 1 集合的含义与表示1.集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母 a，b，c，表示。把一些元素组成的总体叫做集合，通常用大写字母CBA,.表示.2.集合元素的特性：确定性、互异性、无序性3.元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和.4.常见数集的符号表示：5.集合的表示法：列举法、描述法。（1）列举法：把集合中所有的元素都一一列举出来的，并用”“括起来表示集合的方法叫做列举法。举例：小于10的所有正整数的集合987654321，A（2）描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所具有的共同特征)(xP的元素x所组成的集合表示为)(xpAx，这种表示集合的方法为描述法。举例：表示奇数集合与偶数集合奇数集合ZnnxxA,12Z；偶数集合ZnnxxB,2Z知识点2 集合间的基本关系1、集合间的基本关系、集合间的基本关系表示关系文字语言记法子集集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A是集合B的子集。（A包含于B或B包含A）ABBA或真子集集合A是集合B的子集，但集合 B 中至少有一个元素不属于 AAB或BA基本关系相等集合BA,的元素完全相同BA 空集不含任何元素的集合空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2、集合子集的个数的确定方法：、集合子集的个数的确定方法：集合 A 中有n个元素，则集合 A 有n2个子集、有12 n个真子集、有12 n个非空子集、有22 n个非空真子集知识点3 集合的基本运算1、交集、并集、补集、交集、并集、补集运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A且属于B的元素组成的集合x|xA，且 xBAB并集属于A或属于B的元素组成的集合x|xA，或 xBAB补集全集 U 中不含属于A 的元素组成的集合x|xU，xAUC A2、集合的运算性质、集合的运算性质（1）并集的性质：）并集的性质：ABABAABBAAAAAA;（2）交集的性质：）交集的性质：BAABAABBAAAAA（3）补集的性质）补集的性质 BCACBACBCACBACAACCACAUACAUUUUUUUUUU)(;)(;)(;二、例题解析例例 1：集合概念：集合概念（1）下面给出的四类对象中，构成集合的是()A某班个子较高的同学B大于 2 的整数C2的近似值D长寿的人【答案】解：“某班个子较高的同学”不能构成集合这种描述方法描述的对象不确定“大于 2 的整数”能够构成集合它是一个明确的数集；“2的近似值”不能构成集合因为没有给出精确程度，没法判定“长寿的人”不能构成集合因为年龄多大归长寿没有标准，所以“长寿的人”所含的对象不确定，所以不能构成集合【解析】B（2）若集合Sa，b，(c a、b、)cR中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形【答案】D【解析】根据集合元素的互异性可知：a，b及c三个元素互不相等，若此三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是等腰三角形（3）下列四个关系式中，正确的是()AaB aaC aa，bDaa，b【答案】D【解析】解：A、应该是a，故A不对；B、应是 aa，故B不对；C、元素与集合的关系，应是 aa，b，故C不对；D、因集合a，b中有元素a，故D正确例例 2：元素与集合、集合与集合之间的关系：元素与集合、集合与集合之间的关系（1）下列各式中，正确的个数是()00，1，2；0，1，22，1，0；0，1，2；0；0，1(0,1)；00A1B2C3D4【答案】B【解析】解：集合之间的关系是包含与不包含，因此00，1，2，不正确，应该为00，1，2；0，1，22，1，0，正确；0，1，2，正确；不含有元素，因此0；0，1与(0,1)的元素形式不一样，因此不正确；元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为00，因此不正确综上只有：，正确（2）已知集合0A，1，1B ，0，3a，若AB，则a的值为()A2B1C0D1【答案】A【解析】解：集合0A，1，1B ，0，3a，AB，31a，解得2a （3）设集合|12Axx，|Bx xa，若AB，则a的取值范围是()A|2a aB|2a a C|1a aD|2a a【答案】A【解析】解：在数轴上画出图形易得2a故选：A 例例 3：子集、真子集个数问题：子集、真子集个数问题（1）集合1，2，3的真子集共有()A5 个B6 个C7 个D8 个【答案】C【解析】解：集合1，2，3的真子集共有：3217 个（2）满足11X，2，3，4，5的集合X有()A15 个B16 个C18 个D31 个【答案】A【解析】根据子集的定义，可得集合X必定含有 1 这个元素，可能含有 2、3、4、5，但不能是1，2，3，4，5因此，满足条件的集合X有：42115 个例例 4：集合的基本运算：集合的基本运算（1）设全集 3U ，2，1，0，1，2，3，集合 1A ，0，1，2，3B ，0，2，3，则()(UAB)A 3，3B0，2C 1，1D 3，2，1，1，3【答案】C【解析】2UB ，1，1，()1UAB，1（2）设集合|1Ux x，1A，3，5，7，|5Bx x，则(UAB)A1，3，5B3，5C1，3D1，3，5，7【答案】A【解析】|1Ux x，1A，3，5，7，|5Bx x，|15UBxx ，1UAB，3，5（3）全集 2U ，1，0，1，2，3，集合|01Axx，xZ，1B，2，()(UAB)A1，2B0，1，2C 2，1，3D 2，1，0，3【答案】C【解析】解：因为全集 2U ，1，0，1，2，3，集合|01Axx，0 xZ，1，1B，2，0AB，1，2；则()2UAB ，1，3；例例 5：易错点问题：易错点问题（1）已知集合2|220Ax mxx，mR，若A中只有一个元素，则m的取值是【答案】：0m 或12【解析】当0m 时，1x，符合题意；当0m 时，令480m，解得12m，代入得2x，符合题意；0m 或12（2）已知集合|25Axx ，|121Bx mxm，若BA，则实数m的取值范围是【答案】故答案为：3m【解析】若B ，则121mm；2m；若B ，则m应满足：1 211221 5mmmm，解得23m；综上得3m；三、课堂练习三、课堂练习A 类类1、下列各项中，不可以组成集合的是()A所有的正数B等于 2 的数C接近于 0 的数D不等于 0 的偶数2、已知集合1A，a，1a，若2A，则实数a的值为()A2B1C1或2D2或33、方程组3231xyxy解的集合是()A2x，1y B2，1C1，2D(2,1)4、设集合1A，2，3，2B，3，4，则AB真子集的个数()A2，3B1，2，3，4C3D45、若|1Px x，|1Qx x，则()ARPQBQPCPQDRQPB 类类6、若集合|1Xx x，下列关系式中成立的为()A0XB0XCXD0X7、全集0U，1，2，3，4，5，集合1A，5，集合2B，则集合()(UAB)A0，2，3，4B0，3，4C2D8、已知集合|2Axx，1B ，0，1，2，则(AB)A 1，0，1B0，1C0，1D 1，0，1，29、已知集合 2A ，3，4，4，5，|1|Bxx，则(AB)A 2，3，4B 2，4，5C 1，2，3，4，0，1，2，3，4，5D 2，410、用列举法表示集合6|2AZ xNxC 类类11、已知集合|1|2Axx，Z为整数集，则集合AZ的子集个数为12、含有 3 个实数的集合可表示为a，ba，1，又可表示为2a，ab，0，则20212021ab13、已知集合|27Axx ，|121Bx mxm 且B ，若ABA，则m的取值范围是14、定义集合A、B的一种运算：12*|A Bx xx x，1xA，2xB，若1A，2，3，1B，2，则集合*A B的真子集个数为 个15、已知集合2|310 0Ax xx（）若|621Bx mxm，AB，求实数m的取值范围；（）若|121Bx mxm，BA，求实数m的取值范围四、课后作业四、课后作业A 类类1、已知全集1U，2，3，4，集合1A，3，4B，则()(UAB)A2B4C2，4D1，3，42、已知集合|24Axx ，|22Bxx，则(AB)A|22xx B|24xx C|22xx D|24xx 3、设集合 1A ，0，1，1B ，2，3，|11CxRx，则()(ABC)A 1B 1，0C 1，1D 1，0，14、集合1U，2，3，4，5，6，1A，2，3，4，2B，4，6，则()(UAB)A5B1，5C2，4D1，2，3，4，65、已知全集|Ux x是小于 7 的正整数，集合1A，3，6，集合2B，3，4，5，则(UAB)A3B1，3，6C2，4，5D1，6B 类类6、已知集合2Aa，22aa，若3A，则a的值为7、若 2A ，2，3，4，2|Bx xt，tA，用列举法表示B 8、集合1A，2，21a，1B，23aa，0，若A，B相等，则实数a 9、已知集合|14Axx，|Bx xa，若AB，则实数a的取值范围是10、集合|1Ax yx，|0Bx xa，ABA，则a的取值范围是 _C 类类11、已知集合3A，4，44m，集合3B，2)m，若BA，则实数m 12、设全集|24UxZx ，1A ，0，1，2，3，若UBA，则集合B的个数是13、设|12Axx，|Bx xa，|312Mxmxm，mR，（1）若AB ，求a的取值范围；（2）若AB ，求a的取值范围（3）若()RAM，求m的取值范围14、已知集合|121Ax axa，|05Bxx（1）当0a时，求AB；（2）若AB，求实数a的取值范围15、已知集合|121Px axa，2|310Qx xx（1）若3a，求()RPQ；（2）若PQQ，求实数a的取值范围