第4讲 函数的概念与表示 讲义（含答案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第第4讲讲 函数的概念与表示函数的概念与表示一、知识点详解一、知识点详解知识点知识点1 函数的定义函数的定义1、函数的定义设 A，B 是非空的实数集，如果集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 yf(x)，xA.2、函数的定义域、值域在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域3、函数的三要素：定义域、对应关系和值域知识点知识点2 区间的概念区间的概念设ba,是两个实数，且ba，我们规定（1）满足不等式bxa的实数x的集合叫做闭区间，表示为ba,（2）满足不等式bxa的实数x的集合叫做开区间，表示为ba,（3）满足不等式bxa或者bxa的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 baba,或，实数a与b都叫做相应区间的端点。（4）实数R可以用区间),(表示，“”读作无穷大；“”读作负无穷；“”读作正无穷大知识点知识点3 函数的表示函数的表示函数的常用的表示方法有解析法、图象法和列表法二、例题精析二、例题精析例例 1：函数的定义：函数的定义1、集合|22Mxx ，|02Nyy，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是()ABCD【答案】B【解析】解：由题意可知：|22Mxx ，|02Nyy，对 A 在集合M中(0，2内的元素没有像，所以不对；对 C 不符合一对一或多对一的原则，故不对；对 D 在值域当中有的元素没有原像，所以不对；而 B 符合函数的定义（2）已知函数221,0()1,0 xxf xxx，则(1)(f f)A0B1C1D2【答案】C【解析】解：根据()f x的解析式即可求出：(1)(0)1f ff故选：C（3）下列函数中与1()f xx相等的是()A21()g xxB21()()g xxC2()xg xxD1()|g xx【答案】C【解析】A，1()(0)|g xxx，定义域相同，对应法则不一样，故不为相等函数；B，1()(0)g xxx，定义域不相同，故不为相等函数；C，1()(0)g xxx，定义域相同，对应法则一样，故为相等函数；D，1()(0)|g xxx，定义域相同，对应法则不一样，故不为相等函数 故选：C例例 2：函数定义域：函数定义域（1）函数1()2f xx的定义域为()A(2,)B2，)C(,2)D(，2【答案】A【解析】解：20 x，2x()f x的定义域为：|2x x，故选：A（2）函数1()1xf xx的定义域是()A 1，1)B 1，1)(1，)C 1，)D(1,)【答案】B【解析】1 010 xx，解得：1x且1x，故选：B（3）已知函数(1)yf x定义域是 2，3，则(1)yf x的定义域是()A0，5B 1，4C 3，2D 2，3【答案】A【解析】解：因为(1)yf x定义域是 2，3，即 2x，3，所以1 1x ，4，所以函数()f x的定义域为 1，4，由11 4x，得：05x，所以函数(1)yf x的定义域是0，5例例 3：函数值域：函数值域（1）函数()1f xx，1x，1，2的值域是()A0，2，3B03y C0，2，3D0，3【答案】C【解析】解：()1f xx，1x，1，2当1x 时，(1)0f 当1x 时，f（1）2 当2x时，f（2）3函数()1f xx，1x，1，2的值域是0，2，3（2）函数2()1f xx的定义域为2，5)，则其值域为1(,22【答案】1(,22【解析】解：25x ；114x；11141x；12221x；()f x的值域为1(,22（3）函数21,0()1,0 xxf xx的值域为1，)【答案】1，)【解析】解：由题意知，当0 x时，21 1yx；当0 x时，1y；综上所述，()1f x；例例 4：函数解析式：函数解析式（1）已知函数()34f xx，则(1)(1)f xf x等于()A6B4C3D2【答案】A【解析】解：(1)3(1)437f xxx，(1)3(1)431f xxx，(1)(1)6f xf x故选：A（2）函数|1|1yx可表示为()A2,1,1x xyx xB2,1,1x xyx xC,12,1x xyx xD2,1,1x xyx x【答案】D【解析】解：函数|1|1yx，当10 x ，即1x时，1 1yxx 当10 x ，即1x 时，1 12yxx 得,12,1x xyx x，故选：D（3）函数2211()f xxxx，则f（3）()A8B9C11D10【答案】C【解析】解：函数222111()()2f xxxxxx，f（3）23211三、课堂练习三、课堂练习A 类类1函数()yf x的图象与直线6x的交点个数为()A至少一个B至多一个C恰好一个D零个2在下列四组函数中，()f x与()g x表示同一函数的是()A()1f xx，21()1xg xxB()|1|f xx，11()11xxg xx x C()1f xx，xR，()1g xx，xZD()f xx，2()()g xx3函数1()4xxf xx 的定义域为4.函数121yxx的定义域为5函数221yxx，1x，4的值域是 B 类类6.函数的值域：265yxx为7已知32x，则函数4()223f xxx值域是8.已知函数()f x的定义域为 2，2，则函数2(1)f x 的定义域为9.已知函数2()(2)1f xmxmxm的值域是0，)，则实数m的取值范围是10.已知函数2123ykxkx的定义域为R，则实数k的取值范围是C 类类11函数12yxx的值域是12函数21yxx的值域是13若函数()f x是二次函数，且满足(0)1f，(1)()2(1)f xf xx，则()f x的解析式为14.已知(1)1fxx，则()f x (x)15已知2(1)f xx，则()f x 四、课后作业四、课后作业A 类类1与函数yx相等的函数是()A2()yxB33yxC2yxD2xyx2下列各组函数中，表示同一函数的是()A1yx和211xyxB2yx和2()yxC2()f xx和2()(1)g xxD2()()xf xx和2()()xg xx3xR，根式21axax恒有意义，则a4.若函数()yf x的定义域是0，4，则函数(2)()1fxg xx的定义域是()A(1,8)B(1,2)C(1，8D(1，25.若函数2143axyaxax的定义域为R，则实数a的取值范围6若函数2(21)2fxxx，则f（3）7已知函数3()2xf xx（1）求f（2）的值；（2）求函数()f x的定义域和值域8.已知二次函数()f x满足(1)()2f xf xx且(0)1f（）求()f x的解析式；（）在区间 1，2上求()yf x的值域B 类B 类9.定义,(),()b a baba ab，则函数()(2)f xxx的值域是()A(,1)B(，1CRD(1,)10.函数|1|1|yxx的值域为()A(0,)B(2,)C0，)D2，)11求解析式（1）若一次函数()f x满足()2(1)f xfxx，则()f x的解析式（2）已知2211()f xxxx，求()f x的解析式12.求下列函数的值域（1）12yxx （2）2223xyxC 类C 类13.已知(1)2fxxx，则函数()f x的解析式为14已知函数212yxaxa 的值域为0，)，则a的取值范围是15.函数21,(02)()6,(20)xf xxxxx 的值域是()A 9，)B1 9,0(0,2C1 9,0,)2D1 8,0,)2第第4讲讲 函数的概念与表示函数的概念与表示一、知识点详解一、知识点详解知识点知识点1 函数的定义函数的定义1、函数的定义设 A，B 是非空的实数集，如果集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 yf(x)，xA.2、函数的定义域、值域在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域3、函数的三要素：定义域、对应关系和值域知识点知识点2 区间的概念区间的概念设ba,是两个实数，且ba，我们规定（1）满足不等式bxa的实数x的集合叫做闭区间，表示为ba,（2）满足不等式bxa的实数x的集合叫做开区间，表示为ba,（3）满足不等式bxa或者bxa的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 baba,或，实数a与b都叫做相应区间的端点。（4）实数R可以用区间),(表示，“”读作无穷大；“”读作负无穷；“”读作正无穷大知识点知识点3 函数的表示函数的表示函数的常用的表示方法有解析法、图象法和列表法二、例题精析二、例题精析例例 1：函数的定义：函数的定义1、集合|22Mxx ，|02Nyy，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是()ABCD【答案】B【解析】解：由题意可知：|22Mxx ，|02Nyy，对 A 在集合M中(0，2内的元素没有像，所以不对；对 C 不符合一对一或多对一的原则，故不对；对 D 在值域当中有的元素没有原像，所以不对；而 B 符合函数的定义（2）已知函数221,0()1,0 xxf xxx，则(1)(f f)A0B1C1D2【答案】C【解析】解：根据()f x的解析式即可求出：(1)(0)1f ff故选：C（3）下列函数中与1()f xx相等的是()A21()g xxB21()()g xxC2()xg xxD1()|g xx【答案】C【解析】A，1()(0)|g xxx，定义域相同，对应法则不一样，故不为相等函数；B，1()(0)g xxx，定义域不相同，故不为相等函数；C，1()(0)g xxx，定义域相同，对应法则一样，故为相等函数；D，1()(0)|g xxx，定义域相同，对应法则不一样，故不为相等函数 故选：C例例 2：函数定义域：函数定义域（1）函数1()2f xx的定义域为()A(2,)B2，)C(,2)D(，2【答案】A【解析】解：20 x，2x()f x的定义域为：|2x x，故选：A（2）函数1()1xf xx的定义域是()A 1，1)B 1，1)(1，)C 1，)D(1,)【答案】B【解析】1 010 xx，解得：1x且1x，故选：B（3）已知函数(1)yf x定义域是 2，3，则(1)yf x的定义域是()A0，5B 1，4C 3，2D 2，3【答案】A【解析】解：因为(1)yf x定义域是 2，3，即 2x，3，所以1 1x ，4，所以函数()f x的定义域为 1，4，由11 4x，得：05x，所以函数(1)yf x的定义域是0，5例例 3：函数值域：函数值域（1）函数()1f xx，1x，1，2的值域是()A0，2，3B03y C0，2，3D0，3【答案】C【解析】解：()1f xx，1x，1，2当1x 时，(1)0f 当1x 时，f（1）2 当2x时，f（2）3函数()1f xx，1x，1，2的值域是0，2，3（2）函数2()1f xx的定义域为2，5)，则其值域为1(,22【答案】1(,22【解析】解：25x ；114x；11141x；12221x；()f x的值域为1(,22（3）函数21,0()1,0 xxf xx的值域为1，)【答案】1，)【解析】解：由题意知，当0 x时，21 1yx；当0 x时，1y；综上所述，()1f x；例例 4：函数解析式：函数解析式（1）已知函数()34f xx，则(1)(1)f xf x等于()A6B4C3D2【答案】A【解析】解：(1)3(1)437f xxx，(1)3(1)431f xxx，(1)(1)6f xf x故选：A（2）函数|1|1yx可表示为()A2,1,1x xyx xB2,1,1x xyx xC,12,1x xyx xD2,1,1x xyx x【答案】D【解析】解：函数|1|1yx，当10 x ，即1x时，1 1yxx 当10 x ，即1x 时，1 12yxx 得,12,1x xyx x，故选：D（3）函数2211()f xxxx，则f（3）()A8B9C11D10【答案】C【解析】解：函数222111()()2f xxxxxx，f（3）23211三、课堂练习三、课堂练习A 类A 类1函数()yf x的图象与直线6x的交点个数为()A至少一个B至多一个C恰好一个D零个【答案】B【解析】解：根据函数的定义可知，设函数的定义域为A，若6A，此时交点个数为 0 个，若6A，此时交点个数为 1 个，综上函数()yf x的图象与直线6x的交点个数为至多一个，2在下列四组函数中，()f x与()g x表示同一函数的是()A()1f xx，21()1xg xxB()|1|f xx，11()11xxg xx x C()1f xx，xR，()1g xx，xZD()f xx，2()()g xx【答案】B【解析】A中的 2 个函数()1f xx与21()1xg xx 的定义域不同，故不是同一个函数B中的 2 个函数具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数C中的 2 个函的定义域不同，故不是同一个函数D中的 2 个函数的定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数综上，A、C、D中的 2 个函数不是同一个函数，只有B中的 2 个函数才是同一个函数，3函数1()4xxf xx 的定义域为【答案】故答案为：1，)【解析】解：由1 040 xx，解得1x函数1()4xxf xx 的定义域为1，)4.函数121yxx的定义域为【答案】|2x x且1x【解析】要使原函数有意义，则2 010 xx，解得2x且1x 定义域为|2x x且1x 5函数221yxx，1x，4的值域是【答案】0，9【解析】解：对称轴1x，根据二次函数的性质可判断：最大值为f（4）9，最小值为f（1）0，B 类B 类6.函数的值域：265yxx为【答案】0，2【解析】解析：设265(0)xx，原函数可化为y又2265(3)4 4xxx ，04，故0，2，7已知32x，则函数4()223f xxx值域是【答案】(，1【解析】解：32x，44()22332323f xxxxx44(23)32(23)31(23)(23)xxxx 当且仅当4(23)(23)xx，即12x 时，上式“”成立函数43()2()232f xxxx的值域是(，18.已知函数()f x的定义域为 2，2，则函数2(1)f x 的定义域为【答案】3,3【解析】解：函数()f x的定义域为 2，2，则对于函数2(1)f x，应有221 2x，即213x，即23x，解得33x，故函数2(1)f x 的定义域为3,3，9.已知函数2()(2)1f xmxmxm的值域是0，)，则实数m的取值范围是【答案】0，233，【解析】当0m 时，2()(2)121xmxmxmx，值域是0，)，满足条件；当0m 时，()f x的值域不会是0，)，不满足条件；当0m 时，()f x的被开方数是二次函数，0，即2(2)4(1)0mm m，223333m，综上，2033m，10.已知函数2123ykxkx的定义域为R，则实数k的取值范围是【答案】故答案为：03k【解析】解：函数2123ykxkx的定义域为R，2230kxkx恒成立，当0k 时，30恒成立，满足题意；当0k 时，0，即24120kk，解得03k；综上，实数k的取值范围是03k C 类C 类11函数12yxx的值域是【答案】故答案为：(，1【解析】解：令12xt，0t，则212tx，22111(1)1 1222yttt ，当且仅当1t 时取等号故所求函数的值域为(，1，12函数21yxx的值域是【答案】函数21yxx的值域是 2，)【解析】解：设1(0)xt t，则21xt，22117222()48yttt，0t，当0t 时，117288miny 13若函数()f x是二次函数，且满足(0)1f，(1)()2(1)f xf xx，则()f x的解析式为【答案】故答案为：2()31f xxx【解析】解：由题意：函数()f x是二次函数，设出2()f xaxbxc，(0)1f，1c 2()1f xaxbx，(1)()2(1)f xf xx，那么：22(1)(1)112(1)a xb xaxbxx ，222axabx由：222aab，解得()f x的解析式为2()31f xxx，14.已知(1)1fxx，则()f x，(x)【答案】故答案为22xx，1x，)【解析】令1tx，则1t，2(1)xt，所以22()(1)12f tttt，所以2()2f xxx，1x，)15已知2(1)f xx，则()f x【答案】2(1)x【解析】解：由2(1)f xx，令1xt，则1xt 代入2(1)f xx可得到2()(1)f tt2()(1)f xx四、课后作业四、课后作业A 类A 类1与函数yx相等的函数是()A2()yxB33yxC2yxD2xyx【答案】B【解析】解：选项A中，0 x，与函数yx的定义域R不符；选项B中，33yxx，符合题意；选项C中，0y，与函数yx的值域R不符；选项D中，0 x，与函数yx的定义域R不符；2下列各组函数中，表示同一函数的是()A1yx和211xyxB2yx和2()yxC2()f xx和2()(1)g xxD2()()xf xx和2()()xg xx【答案】D【解析】解：A，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，B两个函数的定义域和对应法则不相同，不是同一函数，C两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，D两个函数的定义域和对应法则相同是同一函数，3xR，根式21axax恒有意义，则a【答案】|04aaa【解析】解：xR，根式21axax恒有意义，21 0axax 的解集为R，0a时，1 0恒成立 0a时，2040aaa，解得04a，综上得，|04aaa4.若函数()yf x的定义域是0，4，则函数(2)()1fxg xx的定义域是()A(1,8)B(1,2)C(1，8D(1，2【答案】D【解析】解：由函数()yf x的定义域是0，4，在函数(2)()1fxg xx中，令0 2410 xx，解得12x 所以函数()g x的定义域是(1，25.若函数2143axyaxax的定义域为R，则实数a的取值范围【答案】故答案为：30,)4【解析】解：2143axyaxax的定义域为R 不等式2430axax的解集为R，0a时，30恒成立，满足题意 0a时，2016120aaa，解得304a，实数a的取值范围为30,)4B 类B 类6若函数2(21)2fxxx，则f（3）【答案】故答案为：1【解析】2(21)2fxxx 令213x 则1x 此时221xx f（3）1 7已知函数3()2xf xx（1）求f（2）的值；（2）求函数()f x的定义域和值域【答案】（1）可直接求得1(2)4f （2）()f x的值域为()|()1f xf x【解析】解：（1）231(2)224f；（2）要使()f x有意义，则2x ；()f x的定义域为|2x x ；35()122xf xxx；502x；()1f x；8.已知二次函数()f x满足(1)()2f xf xx且(0)1f（）求()f x的解析式；（）在区间 1，2上求()yf x的值域【答案】()I2()1f xxx；()II故()yf x的值域为34，3【解析】解：()I令2()(0)f xaxbxc a 代入(1)()2f xf xx，得：22(1)(1)()2a xb xcaxbxcx，220aab，解 得1a，1b (0)1fc ()II 函数2()1f xxx的图象是开口朝上，且以直线12x 为对称轴的抛物线故当1x ，或2x时，函数()f x取最大值 3，当12x 时，函数()f x取最小值349.定义,(),()b a baba ab，则函数()(2)f xxx的值域是()A(,1)B(，1CRD(1,)【答案】B【解析】解：函数,1()(2)2,1x xf xxxx x，则函数()(2)f xxx的值域为(，1 故选：B10.函数|1|1|yxx的值域为()A(0,)B(2,)C0，)D2，)【答案】D【解析】解：2,(1)|1|1|2,(11)2,(1)x xyxxxx x ，函数|1|1|yxx的值域为：2，)C 类C 类11求解析式（1）若一次函数()f x满足()2(1)f xfxx，则()f x的解析式（2）已知2211()f xxxx，求()f x的解析式【答案】（1）2()3f xx （2）2()2f xx，(x，22，)【解析】解：（1）由题意设()f xaxb，(0)a()f x满足()2(1)f xfxx，2(1)axbaxbx，化 为(23)axabx，1a 且230ab，解 得1a ，23b，2()3f xx （2）222111()()2f xxxxxx，1(xx，22，)得：2()2f xx，(x，22，)12.求下列函数的值域（1）12yxx （2）2223xyx【答案】（1）故函数的值域是(，12；（2）故函数的值域是23，1)【解析】（1）函数的定义域是(，12，而函数12yxx递增，故121|2xy，x 时，y ，故函数的值域是(，12；（2）2513yx 在(,0)递减，在(0,)递增，故0 x时，y的最小值是23，x 时，1y，故函数的值域是23，1)13.已知(1)2fxxx，则函数()f x的解析式为【答案】故答案为：2()1f xx，(1)x【解析】解：令1xt，1t，可得1xt，代入已知解析式可得2()(1)2(1)f ttt，化简可得2()1f tt，1t故可得所求函数的解析式为：2()1f xx，(1)x14已知函数212yxaxa 的值域为0，)，则a的取值范围是【答案】故答案为：|42 3a a，或42 3a【解析】解：令2()12tg xxaxa，要使函数yt的值域为0，)，则说明0，)|()y yg x，即二次函数的判别式0，即24(21)0aa，即284 0aa，解得42 3a或42 3a，所以a的取值范围是|42 3a a，或42 3a，15.函数21,(02)()6,(20)xf xxxxx 的值域是()A 9，)B1 9,0(0,2C1 9,0,)2D1 8,0,)2【答案】D【解析】解：当02x，时，1yx为减函数，则12y；当20 x 时，226(3)9yxxx，为增函数，则80y 即有函数的值域为 8，10,)2