1、（第一课时）（第一课时）4.5.34.5.3函数模型的应用函数模型的应用例例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据控制人口增长提供依据.早在早在1798年，英国经济学家马尔萨斯年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,17661834)就就提出了自然状态下的人口增长模型：提出了自然状态下的人口增长模型：0rtyy e其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国根据国家统计局网站公布的数据，我
2、国1950年末、年末、1959年末的人口总数分别为年末的人口总数分别为55196万和万和67207万万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在19501959年期间的年期间的具体人口增长模型具体人口增长模型.(2)利用利用(1)中的模型计算中的模型计算19511958年各年末的人口总数，查阅国年各年末的人口总数，查阅国家统计局网站公布的我国在家统计局网站公布的我国在19511958年间各年末的实际人口总数，年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符检验所得模型与实际人口数据是否相符.(3)以以(1)中的模型作预测，大约在什
3、么时候我国的人口总数达到中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数达到13亿？亿？967207 55196er代入模型可得：0.021876r解得:我国我国19501950年至年至19591959年期间人口增长模型为：年期间人口增长模型为：0.02187655196e0,9tyt，问题问题2 2 所得模型与实际人口数据是否相符？所得模型与实际人口数据是否相符？年份年份19511952195319541955195619571958计算所得人计算所得人口总数口总数/万万56 417 57 665 58 940 60 243 61 576 62 938 64 330 65 753实际人数总实际人
4、数总数万数万56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 由上表和上图可以看出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合.那么大约在那么大约在19501950年后的第年后的第3939年（即年（即19891989年）我国人口达到年）我国人口达到1313亿亿 问题事实上，我国问题事实上，我国19901990年的人口数为年的人口数为11.4311.43亿，直到亿，直到20052005年才突破年才突破1313亿，对由函数模型所得结果与实际状况不符，你有何看法？亿，对由函数模型所得结果与实际状况不符，你有何看法？我国从我国从20
5、20世纪世纪7070年代逐步实施了计划生育政策，因此，这一阶段的人口年代逐步实施了计划生育政策，因此，这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况到的结果与实际不符的情况1、本题是应用已知的模型，解决实际问题、本题是应用已知的模型，解决实际问题.2、在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的使用条件、在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的使用条件.总结：总结：问题问题5 5：根据上述例题建模过程，总结数学建模的过程和步骤？：根据上述例题建模过程，总结数学建模的过
6、程和步骤？提出问题提出问题 建立模型建立模型检验模型检验模型抽象概括抽象概括求解模型求解模型还原说明还原说明推理推理演算演算例例4 20104 2010年年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳进行碳1414年代学检测年代学检测 ，检测出碳，检测出碳1414的残留量约为初始量的的残留量约为初始量的55.255.2，能否以此推断此水坝，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？大概是什么年代建成的？问题问题1 1：我们可以建立怎样的数学模型来推断良渚古城水利：我们可以建立怎样的数学模型来推断良渚古城水利系
7、统中水坝的建成年代？系统中水坝的建成年代？阅读与思考阅读与思考:P115 :P115 放射性物质的衰减放射性物质的衰减 (R,0;0,1)xy ka kkaa选择指数模型选择指数模型 因为因为20102010年之前的年之前的49124912年是公元前年是公元前29022902年，所以推断此大坝年，所以推断此大坝是公元前是公元前29022902年建成的年建成的2.2.解决函数模型应用问题的基本步骤：解决函数模型应用问题的基本步骤：提出问题提出问题 建立模型建立模型检验模型检验模型抽象概括抽象概括求解模型求解模型还原说明还原说明推理推理演算演算1.1.两种模型两种模型马尔萨斯人口增长模型和碳马尔萨
8、斯人口增长模型和碳14年代推测模型年代推测模型1.1.已知已知16501650年世界人口为亿，当时人口的年增长率为年世界人口为亿，当时人口的年增长率为0.3%0.3%，19701970年世界年世界人口为人口为3636亿，当时人口的年增长率为亿，当时人口的年增长率为2.1%2.1%，2.2.3.3.（1 1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是16501650年的年的2 2倍？倍？什么什么4.4.时候世界人口是时候世界人口是19701970年的年的2 2倍？倍？5.5.6.6.（2 2）实际上，）实际上，18501850年前世界人口就超过了年前世界人口就超过了1010亿，而亿，而20042004年世界人口还年世界人口还没没 7.7.有达到有达到7272亿，你对同样的模型得出的两个结果有何看法？亿，你对同样的模型得出的两个结果有何看法？3.1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发 掘出一批古建筑群，从 其中的某样本中检测出碳14的残留量约为初始量的62.76%，能否依此推断 二里头遗址大概是什么年代的？
