1、三角函数5.4.1正余弦函数的图像yxO 三角函数三角函数线正弦函数余弦函数正切函数正切线AT-1PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：三角函数线是有向线段！正弦线MP余弦线OM温故1-1022322656723352yx3323461166332656734356111O 利用正弦线作出 y=sinx，x0,2 的图象.作法:(1)等分;(2)作正弦线;(3)平移;(4)连线.一、正弦函数的图象(几何法)1、用几何法作正弦函数的图像终边相同角的三角函数值相等 即：sin(x+2k)=sinx,kZ利用图象平移x6yo-12345-2-3-41y=sinx x0,2y=s
2、inx xR正弦曲线yxo1-122322由部分到整体如何作正弦函数在R上的图象？定义：正弦函数y=sinx的图象叫做正弦曲线在精确度要求不太高时，如何快捷地作出正弦函数的图象呢？在作出正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？思考？yxo1-122322(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)五点画图法(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1
3、)23(2,0),12 0,0,0,2,0图象的最高点：与X轴的交点：图象的最低点：3,12步骤：1.列表2.描点3.连线 注意：图像的凸凹性余弦函数的图象(1)等分作法：(2)作余弦线(3)竖立、平移(4)连线2、用几何法作余弦函数的图像:-1-oxy-1121oA32326567342335611261P1M/1pyl1M1Q2M2Qy1oxy-1-1-1o3232656734233561126因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在，与y=cosx,x0,2的图象相同2,4,0,2,2,0,4,2余 弦 曲 线2o46246xy-1-1-oxy-11-132326567
4、34233561126cos0,2 yxx在函数 的图象上,起关键作用的点有：cos,0,2yx x最高点：最低点：与x轴的交点：(0,1)3(,0)2(2,1)(,1)(,0)2x6yo-12345-2-3-41 正弦、余弦函数的图象 余弦函数的图象 正弦函数的图象 x6yo-12345-2-3-41y=cosx=sin(x+),xR2 余弦曲线(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)正弦曲线形状完全一样只是位置不同画正弦函数图象的五点(_，0)(_，1)(_，0)(_，-1)(_，0)画余弦函数图象的五点(_，1)(_，0)(_，1)(_，0)(_，1)正弦曲线和余弦曲线“五点
5、法”作图“五点法”作图的一般步骤是 .列表 描点 连线 0022三角函数1.4.2正余弦函数的性质-1x6yo-2345-2-3-41 定义域(1)值域xR 1,1 正弦函数的性质)(22Zkkx时，取最小值1；时，取最大值1；)(22Zkkx观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：周 期 的 概 念一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT)f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期 由公式 sin(xk 2)
6、sin x(kZ)可知：正弦函数是一个周期函数，2，4，2，4，2k(kZ 且 k0)都是正弦函数的周期 2 是其最小正周期.(2)正弦函数的周期性(3)正弦函数的奇偶性由公式 sin(x)sin x图象关于原点成中心对称.正弦函数是奇函数xyo-1234-2-31223252722325在闭区间 上,是增函数；22，(4)正弦函数的单调性xyo-1234-2-31223252722325 xsinx2223 0 -1 0 1 0-1在闭区间 上，是减函数.232，Zkkk,22,22观察正弦函数图象Zkkk,223,22x22322523yO23225311PP对称轴：,2xkkZ 对称中心
7、：(,0)kkZ (5)正弦函数的对称性53113,22222x (,0),(0,0),(,0),(2,0)余弦函数的性质我们已经学习了正弦函数的性质，能不能类比学习余弦函数的性质呢？1.定义域、值域2.周期性3.单调性4.奇偶性5.对称性具体有哪些不同呢？1、余弦函数的定义域和值域-2-o23x-11y 定义域值域xR 1,1 x=2k+(kZ)时，取最小值1；x=2k(kZ)时，取最大值1；2、余弦函数的周期2o46246xy-1-1 cos(2)cosxkxkZ2是它的周期，最小正周期为2,0kkZk即 正弦、余弦函数的相同性质x6yo-12345-2-3-41y=sinx (xR)x6
8、o-12345-2-3-41y y=cosx (xR)定义域值 域周期性xRy-1,1 T=2 3、余弦函数的奇偶性x6o-12345-2-3-41ycos(-x)=cosx (xR)y=cosx (xR)是偶函数 一般的，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。关于y轴对称 4、余弦函数的单调性 x cosx2 2 -0 -1 0 1 0-1yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 增区间为 其值从-1到1 减区间为 其值从-1到10,0,2,2,kkkZ2,2,kkkZx22322523yO23225311P
9、P对称轴：,2xkkZ 对称中心：(,0)kkZ (5)正弦函数的对称性53113,22222x (,0),(0,0),(,0),(2,0)yx2346021-15 y=cosx(x R)观察下面图象：对称中心对称轴：x=k 函 数 性 质y=sinx (kz)y=cosx (kz)定义域值域最值及相应的 x的集合周期性奇偶性单调性对称中心对称轴x Rx R-1,1-1,1x=2k时 ymax=1x=2k+时 ymin=-1周期为T=2周期为T=2奇函数偶函数在x2k-，2k 上都是增函数 。在x2k，2k+上都是减函数 ,(k,0)x=kx=2k+时ymax=1x=2k-时 ymin=-122在x2k-,2k+上都是增函数 ,在x2k+，2k+上都是减函数.22232x=k+22(k+,0)
