1、4.3.2 对数的运算对数的运算温故知新温故知新1对数对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数底数a的范围是的范围是_.指数指数对数对数幂幂真数真数底数底数a0，且，且a1NaaNaaa log)3(1log)2(01log)1(2、对数性质、对数性质 在在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质你认为可以怎引入对数之后，自然应研究对数的运算性质你认为可以怎样研究？样研究？提出问题提出问题 我们我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数出相应的对数运算性质运算性质呢？呢？指数运算
2、法则指数运算法则：)()(),()(),(),(RnbaabRnmaaRnmaaaRnmaaannnmnnmnmnmnmnm 1.对数的运算性质对数的运算性质探究一：探究一：它们之间有何关系？它们之间有何关系？结合指数的运算性质能否将结合指数的运算性质能否将 化为化为对数式？对数式？将指数式将指数式 化为对数式，化为对数式，问题探究问题探究pMa logqNa logqpMNa )(logNMMNaaaloglog)(log qpaNaM ,qpqpaaaNM 结合前面的推导，由指数式结合前面的推导，由指数式又能得到什么样的结论？又能得到什么样的结论？试一试试一试:由由 得得探究二：探究二：问
3、题探究问题探究qpqpaaaNM qpqpaaaNM qpNMa logNMNMaaalogloglog 又能得到什么样的结论？又能得到什么样的结论？结合前面的推导，由指数式结合前面的推导，由指数式探究三：探究三：问题探究问题探究npnpnaaM )(试一试试一试:由由 得得npnpnaaM )(npMna logMnManaloglog pMa log又又)_(_log)3(_log)2(_)(log)1(RnMNMNMnaaa 对数的运算法则对数的运算法则如果如果a 0，且，且a 1，M0，N0有：有：NMaaloglog MnalogNMaaloglog 是否成立？是否成立？，时，时，思
4、考：当思考：当NMMNNMNMNMaaaaaaloglog)(logloglog)(log00 思考辨析思考辨析练习练习1、判断、判断(1)积、商的对数可以化为对数的和、差积、商的对数可以化为对数的和、差()(2)loga(xy)=logaxlogay.()(3)log2(-3)2=2log2(-3).()典典例解析例解析例例1、求下列各式的值、求下列各式的值(1)log84+log82;(2)log510-log52;(3)log2(4725)解：解：(1)log84+log82=log8(42)=log88=1;(2)log510-log52=log5(102)=log55=1;(3)lo
5、g2(4725)=log2219=19跟踪训练跟踪训练1、计算下列各式的值、计算下列各式的值8.1lg10lg3lg2lg)3(;)2(lg20lg5lg8lg325lg)2(;245lg8lg344932lg21)1(22 2110lg21)5lg2(lg215lg212lg215lg217lg2lg27lg2lg25)5lg7lg2(212lg2334)7lg22lg5(21)1(原式原式解：解：312)10(lg2)2lg5(lg10lg2)2(lg)5lg2lg2(5lg2lg25lg2)2(222 原式原式解：解：218.1lg28.1lg8.1lg21018lg8.1lg)10lg
6、9lg2(lg21)3(原式原式规律方法规律方法1、利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系再找真数间的联系2、对于复杂的运算式，可先化简再计算；对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：化简问题的常用方法：“拆拆”：将积：将积(商商)的对数拆成两对数之和的对数拆成两对数之和(差差)；“收收”：将同底对数的和：将同底对数的和(差差)收成积收成积(商商)的对数的对数归纳总结归纳总结例例2、用、用lnx，lny，lnz表示下列各式表示下列各式32ln)2(;ln)1(zyxzxy典典例解析例解析zy
7、xzxyzxylnlnlnln)ln(ln)1(解：解：3232ln)ln(ln)2(zyxzyx zyxzyxln31ln21ln2ln)lnln32 课本课本P126页练习第页练习第2题题跟踪训练跟踪训练2011年年3月月11日，日本东北部海域发生里氏日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出级地震，它所释放出来的能量是来的能量是2008年年5月月12日我国汶川发生里氏日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍级地震的多少倍(精精确到确到1)?例例3、尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已、尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时
8、释放出的能量经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳单位：焦耳)与地与地震震里氏震级里氏震级M之间的关系为之间的关系为lgE=4.8+1.5M典例解析典例解析解：解：设设里里氏氏9.0级和里级和里氏氏8.0级地震的能量分别为级地震的能量分别为E1和和E2利用计算工具可得，利用计算工具可得，虽然里氏虽然里氏9.0级和里氏级和里氏8.0级级地震仅相差地震仅相差1级，但前者释放出的能量却级，但前者释放出的能量却是后者的约是后者的约32倍。倍。，由由ME5.18.4lg ，可得可得0.85.18.4lg0.95.18.4lg21 EE5.1)0.85.18.4()0.95.18.4(l
9、glglg2121 EEEE于是于是32105.121 EE探究四：探究四：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗?(a0,且且a1;c0,且且c1;b0)现在，利用计算器，可以直接求出任意正数的常用对数或自然现在，利用计算器，可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数。对数。数学史上，人们经过大量的努力，制作了数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表常用对数表和和自然对自然对数表数表，通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。，通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。这样，如果能将其他底的对数转换为以这样，如果能将其他底的对数转换为
10、以10或或e为底的对数，就为底的对数，就能方便地求出这些对数。能方便地求出这些对数。问题探究问题探究aNNccalogloglog 换底换底公式公式问题探究问题探究)0),1()1,0(,(logloglog NcaaNNcca证明证明：设：设 由对数的定义可以得：由对数的定义可以得：,paN 即证得即证得 pNa logpccaNloglog,log apc aNpccloglog aNNccalogloglog 这个公式叫做这个公式叫做换底公式，一般取常用对数进行换底换底公式，一般取常用对数进行换底例例3、求值：求值：(1)log23log35log516；(2)(log32log92)(
11、log43log83)42lg2lg42lg16lg5lg16lg3lg5lg2lg3lg)1(原式原式解：解：452lg63lg53lg22lg3)2lg33lg2lg23lg()3lg22lg3lg2lg()8lg3lg4lg3lg()9lg2lg3lg2lg()2(原式原式典典例解析例解析P126页练习页练习3跟踪训练跟踪训练在在4.2.1的问题的问题1中，求经过多少年中，求经过多少年B地景区的游客人次是地景区的游客人次是2001年的年的2倍，就是计算倍，就是计算 的值。的值。由此可得，大约经过由此可得，大约经过7年，年，B地景区的游客地景区的游客人次就达到人次就达到2001年的年的2倍
12、，类似地，可以倍，类似地，可以求出游客人次是求出游客人次是2001年年的的3倍，倍，4倍，倍，所所需要的年数。需要的年数。2log11.1 x，由换底公式可得：由换底公式可得：11.1lg2lg2log11.1 x，利用计算工具，可得利用计算工具，可得764.611.1lg2lg x三个推论三个推论:1loglog)1(abba设设a,b 0且均不为且均不为1,则则 bmnbanamloglog)2(abbccalogloglog 换底公式：换底公式：ccbabalogloglog)3(例例4、P126页练习页练习3典典例解析例解析2、计算：计算：(1)lg20log10025；(2)(log
13、2125log425log85)(log1258log254log52).跟踪训练跟踪训练25lg2lg1100lg25lg2lg125log20lg)1(100 解：解：)2log4log8(log)5log25log125)(log2(525125842 )2log2log2(log)5log5log5(log52535222322332 2log)111(5log)3113(52 133313 归纳总结归纳总结规律方法规律方法1、在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公、在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式式2、常用的公式有：、常用的公式有：等等.abb
14、nmbabbaamabanlog1log,loglog,1loglog 当堂达标当堂达标1、计算：计算：log153log62log155log63=()A2B0C1D22、计算计算log92log43=()A4 B2 C.D.2141B原式原式=log15(35)log6(23)=11=0414lg3lg9lg2lg3log2log49 解析：解析：D3、设设10a2，lg 3b，则，则log26()A.B.Cab Dabab当堂达标当堂达标aba abaaa 2lg3lg2lg2lg6lg6log2lg2102，100.20.10.10.)(211524DCBAmbamba ，则，则，且，
15、且、设、设A5、P127 第第5题题5、P127 第第5题题 第第6题题142log2112log487log)2(8.1log7log37log235log)1(2225555 6、计算：计算：25log3log27log3log27log27log5log59log7log)3log7(log2)75(log)1(555555555555 原式原式解：解：252log221log24248127log2log42log12log487log)2(252222222 原式原式5log21122250lg2lg5lg)2(27lg81lg3lg27lg539lg523lg)1(7 、化简：、化简：1、对数的运算法则。、对数的运算法则。2、利用定义及指数运算证明对数的运算法则。、利用定义及指数运算证明对数的运算法则。3、对数运算法则的应用。、对数运算法则的应用。4、换底公式的证明及应用。、换底公式的证明及应用。课堂小结课堂小结积、商、幂的对数运算法则：积、商、幂的对数运算法则：如果如果a0，a 1，M0，N0,那么：那么：(a0,且且a1;c0,且且c1;)aNNRnMnMNMNMNMNMccaanaaaaaaalogloglog)4()(loglog)3(logloglog)2(loglog)(log)1(
