1、第三章 函数的概念和性质复习与小结 第1课时本章知识结构背景初中已学过的函数概念客观世界中的变量关系函数概念及表示基本性质函数的应用函数的概念函数的表示定义域值域对应关系解析法列表法图象法单调性最值奇偶性幂函数回顾与思考 1.从集合和对应的角度来看，什么是函数？它与从变量间的关系的角度来看，有何异同？2.什么是函数的三要素，如何判定两个函数是否相同？(1)如何理解对应关系f及函数的记号“y=f(x)”?(2)求一个函数的定义域可以从哪些方面来考虑？(3)如何去求一个函数的值域或最值？3.函数常见的表示方法有哪三种？说说这三种方法各自的特点？如何求一个函数的解析式？5.本章所涉及函数的性质有哪一
2、些？为什么要研究这些性质？研究函数性质的过程和一般方法是怎样的？(1)什么是函数的单调性？其图象有何特点？如何用定义判定？在运算上有何性质？(2)什么是函数的奇偶性？其定义域、解析式、图象有何特征？如何用定义判定？奇偶函数有何性质？在运算上有何性质？(3)试比较一下单调性和奇偶性？6.什么是幂函数，其结构有何特点？五个常见幂函数的图象和性质是怎样的？7.对于一个新函数，我们应如何去研究它？4.什么是分段函数？如何处理分段函数的有关问题？返回返回函数的定义 1.(集合-对应的角度)一般地，设A、B是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系，对于集合中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和
3、它对应，那么就称:AB为从集合A到集合的一个函数.记作:y=(x),x A.其中,x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合(x)|xA叫做函数的值域.2.(变量关系的角度)一般地，若在某一个变化过程中有两个变量x、y，且对于x的每一个确定值，y都有唯一的值和它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。这两个定义的核心本质相同：任意一个数x，都有唯一确定的数y和它对应。“变量说”与具体的背景结合紧密，且变量往往有单位，对研究函数有时会带来不便；“集合-对应说”则舍弃了变化过程、变量，对函数的概念进一步抽象化、符号化，使得函数的概念更完整，更具一般性。
4、返回返回函数的三要素定义域，对应关系，值域。自变量x的取值范围A“”：是函数的核心，将变量x对应到变量y的方法或途径。其形式可以是解析式、图象、表格甚至文字等。除了用符号”f”来表示外，还常用”g,h,u,v.”等符号来表示定义域中的x在对应关系的作用下，对应到y的所有值组成的集合(x)|xA。y=(x)表示：y是x的函数 即“把变量x，在对应关系f的作用下，对应到y”或者说“y是变量x在对应关系f的作用下的结果”。y=(x)的含义函数相同的概念 如果两个函数的定义域相同，对应关系相同，则这两个函数相同。若两个函数的对应关系是否相同不好确定，可结合值域是否相同来判定。在不引起混淆的情况下，有时
5、简写成(x)返回返回 （1）若只知道函数解析式，定义域就是使这个式子有意义的自变量的集合.注意：分母不等于0；偶次根式中根号下的式子大于等于0；零次幂的底数不等于0。(2)若给出了函数问题的实际背景，自变量的取值应使实际问题有意义；（3）若函数为抽象函数或复合函数，则：同样的对应关系，它的施加对象（即括号内的对象）范围应该相同。求函数定义域的一般原则返回返回函数值域或最大(小)值的求法 (2)图象法.先画出函数的图象，再直接函数最值的几何意义利求函数的最大(小)值或值域.（1)单调性法.先研究函数的单调性，再利用单调性的意义求函数的最大(小)值或值域；需要说明的是，在实际运用中，我们更多的是将
6、这两种方法结合起来，即采用”单调性+图象”的方法。(3)不等式法.对于一些特殊的函数，也可以运用不等式的知识（如不等式的性质和基本不等式）来求其最大(小)值或值域。注意：对于单调性不清楚的函数，不能直接把区间端点的函数值作为函数的最大(小)值 二次函数在闭区间的最大(小)值 首先明确二次函数图象的开口方向，对称轴，以及函数的单调性。再找出图象在区间内的最高点，最低点。若对称轴与区间端点的位置关系不确定，应进行分类讨论，一般分三种情况：对称轴在区间左，区间内和区间右。返回返回(1)解析法:两个变量间的关系简明、全面、精确；能比较方便地通过自变量的任意一个值求出其对应的函数值；便于研究函数的性质.
7、解析法是中学研究函数的主要表达方法.(2)图象法:能直观形象地表示出函数的变化趋势；有利于研究函数的某些性质。图象法数形结合思想方法的基础.(3)列表法:不必通过运算就能得到与自变量值对应的函数值.列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.函数常见的表示方法(1)实际问题：直译法 根据函数问题的实际背景直接列出函数的解析式。(2)已知函数模型(含图象)：待定系数法 其一般步骤为：设出函数的解析式列方程（组）解出参数代回解析式。(3)分段函数解析式：性质法(利用奇偶性等）取范围:将x取在需要求对应关系时的范围；调范围:把含有x式子调整到已知对应关系时的 范围；代入:将调整后式子代入已知的解析式；求出
8、f(x):根据奇偶性求出该范围的解析式；作结论：写成分段函数的形式函数解析式的求法(4)由y=f(x)求y=f(g(x)：代入法 其一般步骤为：将g(x)看作x代入y=f(x)化简。(5)由y=f(g(x)求y=f(x)：配凑法、换元法 配凑法，其一般步骤为：用g(x)将f(g(x)解析式表示出来确定出对应关系f写出解析式f(x)。(6)由f(-x)和f(x)的关系或f(1/x)和f(x)的关系求f(x)：方程组法 其一般步骤为：将x换为-x或1/x结合给出的关系组成方程组解出f(x)。换元法，其一般步骤为：设t=g(x)由t=g(x)解出x=h(t)并注意t的范围将x=h(t)代入f(g(x
9、)并化简写出f(x),必要时标出x的取值范围.注意：求函数f(x)解析式时，只要x的取值范围不是由解析式有意义来确定的，都一定要标出x的取值范围返回返回分段函数 (1)概念：对于函数y=(x)，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数y=(x)叫分段函数(2)分段函数的一般形式：112212(),(),.(),nnnf xxAf xxAyxAAAfxxA 说明：分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同 (3)处理分段函数问题的一般策略：先分段处理，后根据题意整合.分段处理时要特别留意自变量的范围。返回返回本章所涉及函数的性质 本章所研究
10、的函数的主要性质有单调性(增减情况)、最值、奇偶性(对称情况)函数的性质就是“变化中的规律性，变化中的不变性”,即函数值随着自变量的变化而变化的规律。通过研究函数的性质，可以得到函数所刻画的现实问题的变化规律，也可以为研究更为复杂的函数奠定基础。研究函数性质最基本的方法就是数形结合，其一般过程是：具体函数图象特征(定性刻画)数量刻画(定量刻画)数学符号语言 抽象一般定义 判定具体函数的性质 应用性质解决问题。返回返回单调递减和减函数单调递增和增函数函数的单调性()f xIDI 1.一般地，设函数的定 定义1：义域为，区间 12,xxD 如果 1212,()()xxfxfx 当时都有()fx则称
11、函数在区间上单调递增。1212,()()xxfxfx 当时都有()fx则称函数在区间上单调递减。()()fxfx 特别地，若函数在其定义域上单调递增，则称为增函数。()()fxfx 特别地，若函数在其定义域上单调递减，则称为减函数。()()()fxfxfxDDD 若函数在区间上单调递增(或递减)，则称说在区间上具有严格的单调性，区间叫的单调区间。果，都有，如12120yxxxxDx 1212()-()()fxIDIxxxyfxfx 一般地，设函数的定义域为，区间。设，定义2：则称函数在区间上单调。递增()f xD果，都有，如12120yxxxxDx 则称函数 在单调递减区间上。()f xD12
12、注：这里的有x,x 三个特征:(1)属于同一区间；D(2)在上具有任意性；12(3),xx 不相等。2.理解函数的单调性时应把握好的几个问题:(1)函数的单调性是对定义域I上的某个区间D而言的，自变量在整个区间D上的取值x1和x2（x1x2）具有任意性。(2)单调区间不能简单合并。一个函数在区间A和B上都具有相同的单调性，但在AB上不一定有这种单调性。(3)增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数的单调性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质。3.图象特点:函数某个区间上的单调递增时，其图象从左至右是上升的；函数某个区间上的单调递减时，其图象从左至右是下降的；4.用
13、定义法研究函数单调性的一般步骤:确定取值区间D：定义域或定义域下的某个区间 取值：任取x1，x2D，且x1x2；比较大小：一般情况下，用作差法来比较f(x1)和f(x2)的大小（也可直接判定平均变化率的正负情况）作结论：根据单调性的定义作出结论 (4)一般地，对于图象连续不断的函数，若其定义域含区间的端点，则单调区间可以取端点，也可以不取端点。单调性反映的是函数f(x)随自变量x的增大而增大或减小的性质，在单个点上谈单调性没有意义。4.函数单的调性在运算上的性质（）与的单调情况相同；1()()f xCf x （）若，则与的单调情况相同；20()()kf xxkf 若，则与的单调情况相反；0()
14、()kf xfkx （）若恒为正或恒为正负，则与的单调情况相反；13()()()f xf xf x （）若在公共区间上都具有单调性，则4(),()fxg xD 增增增,减减减,增减增,减增减。（）若恒为非负数，则与的单调情况相同；5()()()fxfxfx 返回返回2.奇偶函数的特征:对于奇函数有：f(-x)=-f(x)一般地，设函数f(x)的定义域为，如果x,都有-x,且 f(-x)=-f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数(evenfunction).如果x,都有-x,且 f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction).1.定义函 数 的 奇 偶 性奇函数图象关
15、于原点对称；(2)代数特征：(3)几何特征:(1)定义域特征：定义域关于原点对称.（自变量取一对相反数时，函数值也是一对相反数）(或f(-x)+f(x)=0)(或f(-x)-f(x)=0)对于偶函数有：f(-x)=f(x)偶函数图象关于y轴对称.（自变量取一对相反数时，函数值相等）(1)求函数的定义域；(2)判断定义域是否关于原点对称；若定义域关于原点对称，则函数不具有奇偶性;若定义域关于原点对称关于原点对称，则进入第三步.(3)x,计算f(-x)，并判断f(-x)与f(x)的关系；(4)作结论.若f(-x)=f(x)，则函数是奇函数；若f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；若f(-x)f(x
16、)且f(-x)=-f(x),则f(x)既非奇函数又非偶函数;若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数.3.用定义法判定函数f(x)的奇偶性的步骤一求二看三算四断4.性质(1)若奇函数的定义域含有，则必有f()(2)在关于原点的两个对称区间上：奇函数的单调性相同;偶函数的单调性相反.+函数函数-奇奇 奇 函 数函数函数奇奇 偶 函 数+函数函数-偶偶 偶 函 数函数函数偶偶 偶 函 数函数函数奇偶 奇 函 数+函数函数-奇偶 奇偶性不确定的函数5.奇偶函数在运算上的性质幂函数 一般地，函数 y=x 叫幂函数，其中 x为自变量，为常数1x(1)只有一项，且前的
17、系数是；(2)幂的底数是自变量，指数是常数。说明：幂函数解析式的结构特征：返回返回 函数的单调性反映是函数的增减情况，针对的是定义域下的某个区间，是函数的局部性质，奇偶性反映的是函数的对称情况，针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质。(1)在(0，+)上都有意义，且图象都过(1,1)点，都不过四象限。(2)y=x，y=x3，y=x-1都是奇函数,y=x2是偶函数。返回返回 (3)y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2在区间(,+)都单调递增，y=x-1在区间(,+)都单调递减，用图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。123-12幂 函 数 y=x,y=x,y=x,y=x,y=x 的
18、 图 象 和 性 质如何研究一类函数 (1)根据函数的解析式求出函数的定义域；(2)画出函数的图象；(3)利用函数的图象和解析式，讨论函数的性质：值域（最值），单调性，奇偶性等。1.下列图形中一定不能作为函数图象的是（）练习简析：x0,+),按B中的图形，在(-,+)中会出两个不同的y值与它对应。已 知 求和 求12.().1(1)()1(1)(1)(2);(2)(21).xfxxf aaf aafx 简析：(1)()1f a 111aa 21a (1)f a 1(1)1(1)aa 2aa (2)(21)fx 1(21)1(21)xx 222xx 1xx 求下列函数的定义域：；023.(1)(
19、)(-2)(5)(2)()(-2)(5)-4(3)()(4)()(1)-23.|-5f xxxf xxxxf xf xxxxx 简析：要有意义，须满足(1)()f x 20,50 xx 即2,5xx 2x 此 函 数 的 定 义 域 为2,)要有意义，须满足(2)()f x (2)(5)0 xx 52x 此 函 数 的 定 义 域 为 5,2 要有意义，须满足(3)()f x 40,|50 xx 即且4,55xxx 且45xx 此 函 数 的 定 义 域 为4,5)(5,)要有意义，须满足(4)()f x 210,-230 xxx 即或1,13xxx 或13xx 此 函 数 的 定 义 域 为
20、(-,1)3,)下列各组函数中两个函数，同一函数的有()：；022334(),()-1,11()|,()|,()tA yxsB yxyxxtC uv mnD yx mn .,A C简析：的定义域为 2-1(-,-11,)yx 的定义域为111,)yxx 的 对 应 关 系 是33|,()yxyxmn 的 对 应 关 系 是33()mnmn 在B中，在D中，例析例已 知函 数若求；若求；若，恒 成 立，求的 取 值 范 围。222-2,0,().-2-2,0(1)0,(1)(2)()2,(3)3,)()|xxaxaRfxxxa xaffffaaxfxxa 1.(1)(1)f 2(1)2(1)-2
21、 3 (1)(3)fffff (3)f 2(3)2(3)-2 1(3)(1)fff 212 1 3 解：当时，(2)0a 由得()2f a 22-22,aaa 即230aa 或30aa 当时，0a 由得()2f a 2222,aaa 即22a 2a （舍去）-2综上，或3 02a 已 知函 数若，恒 成 立，求的 取 值 范 围。222-2,0,().-2-2,0(3)3,)()|xxaxaRfxxxa xxfxxa 解：当时，(3)-30 x 22-2xxax 由恒成立得()|f xx 即恒 成 立232axx 设2()32,-3,0g xxxx 开口向下，对称轴为3()2g xx 由得，-
22、3,0 x min()g x(0)g2 当时，0 x 222xxax 由恒成立得()|fxx 即恒 成 立21122axx 设211(),(0,)22gxxx x 开 口 向 下，对 称 轴 为1()2gxx 由得，(0,)x max()g x 1()2g18 由 题 意 综 上 得，128a 18a 2a xOy-112-32()32g xxx xOy11-1-1211()22h xxx 32x 12x 练习已 知是 定 义 域 为的 偶 函 数，当时，求的 解 析 式 求()0()(4).(1)()(4);(2)(1);fxRxfxx xfxx xfa 简析：当时，则(1)0 x 0 x
23、由当时，得0()(4)xfxx x ()(4)fxxx (4)x x 是 的 偶 函 数()fx()()fxfx (4)x x （）0 x （）0 x 综上，的解析式为()(4)f xx x ，(4)0().(4)0 x xxfxx xx 当(2)10,a 即时1,a (1)f a (1)(1)4aa (1)(3)aa 当10,a 即时1,a (1)f a (1)(1)4aa (1)(5)aa 已 知是 定 义 域 为的 偶 函 数，当时，解 不 等 式。2()0()(4).(3)()10fxRxfxx xfxxx 简析：当时，(3)0 x 由得2()10fxxx 2(4)10 x xxx 即
24、270 xx 解得0 x 或7x 舍去(0),x 舍去()0 x 当时，0 x 由得2()10fxxx 2(4)10 x xxx 即230 xx 解得0 x 或3x 舍去(0),x 或03xx 不等式的解集为2()10f xxx|0 x x 0|3x x 或|03x xx 例 2.设 函 数的 定 义 域 为，一 般 地，对 于 若，则 称为“凹 函 数”，若，则 称为“凸 函 数”。(1)试 判 定和是 凹 函 数 还 是 凸 函 数？1212111211122(),(),()()()()22()()()()22()()2yfxIxxIxxfxfxxxfyfxfxfxxxfyfxfxxaxb
25、g xx 定 义 域 为2(1)(),fxxaxbR 解：，有1212,()x xR xx 1112()()()22fxfxxxf 21212()()22xxxxab 221111()()2xaxbxaxb 22221212121212()()2 4222a xxa xxxxx xxxbb 22121224xxx x 212()4xx 0 即1112()()()22fxfxxxf 是凹函数2()fxxax 1212,x xR xx 1112()()()22f xf xxxf 例析例 2.设 函 数的 定 义 域 为，一 般 地，对 于 若，则 称为“凹 函 数”，若，则 称为“凸 函 数”。(
26、1)试 判 定和是 凹 函 数 还 是 凸 函 数？1212111211122(),(),()()()()22()()()()22()()2yfxIxxIxxfxfxxxfyfxfxfxxxfyfxfxxaxbg xx 定义域为()0,),g xx ，有1212,0,)()x xxx 12()2xxg 12222xx 12xx 1212()()xxxx 221212()()2xxx x ，1212,0,),x xxx 212()xx 12()()2g xg x 1222xx 1222xx 1222xx 12xx 1212()()()22g xg xxxg 是 凸 函 数()2gxx 例设函数的
27、定义域为，一般地，对于 若，则称为 凹函数，若，则称为 凸函数。若函数是增函数，试画出分别为一个凹函数和凸函数图象的大致形状。1212111211122.(),(),()()()()“”22()()()()“”22(2)()()yfxIxxI xxfxfxxxfyfxfxfxxxfyfxfxfx yxO1x2x122xx 12()2xxf 11()()2fxfx yxO1x2x122xx 12()2xxf 11()()2fxfx 解:若一个凹函数，其图象的大致形状为(2)()fx 若一个凸函数，其图象的大致形状为()fx ()yfx ()yfx 1.解与分段函数有关的方程或不等式时要注意哪些问
28、题？小结 2.求函数最值的基本方法是怎样的？作 业 2.教材P100复习参考题3 第4，5，6题，1.已知函数，求解方程。221,().1,3(1)();(2)()22xxf xxxfff x 3.已知，求 及其最小值。(选做题)2(1)1 1 2()f xxaxxf x ，1.已 知 函 数，求解 方 程。221,().1,3(1)();(2)()22xxfxxxfffx 简析：（）2331(1)()22223111()()2224ffff 1 当时，(2)122()210 xxfxxx 当时，212()212xxfxxx 方程的解集为，()202f x 简析：33.已 知，求及 其 最(选 做值题)小2(1)11 2()fxxaxxfx 设，1,1 2,1,0 3xtxxtt 22(1)()(1)(1)1(2)0,3fxf tta ttatat =,2()(2)0,3fxxaxax =,开口向上，对称轴为2()2afxx 当，即时20-22aa ()min(0)fxfa 当，即时2342aa ()min(3)23f xfa 当时，204 221()min()124af xfa
