1、4.5.1函数的零点与方程的解方程解法史话方程解法史话:数学家方台纳的故事数学家方台纳的故事1535年，在意大利有一条轰动一时的新闻：数学家奥罗挑战数学家方台纳，奥罗给方台纳出了30道题，求解x3+5x=10，x3+7x=14，x3+11x=20，；诸如方程x3+Mx=N，M，N是正整数，比赛时间为20天，方台纳埋头苦干，终于在最后一天解决了这个问题。方程的求解经历了相当漫长的岁月，让我们来感受数学探索的魅力吧！方台纳方台纳 一般地，我们把使函数一般地，我们把使函数y=f(x)y=f(x)的值为的值为0 0的实数的实数 x x 称为称为函数函数y=f(x)y=f(x)的的零点零点（zero p
2、oint).zero point).函数函数y=f(x)y=f(x)的的零点零点就是就是方程就是就是方程f(x)=0f(x)=0的实数的实数根根。从。从图像上看，函数图像上看，函数y=f(x)y=f(x)的零点，就是函数的零点，就是函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴的轴的交点的横坐标交点的横坐标。一、函数零点的概念有几个零点函数轴几个交点的图象与函数有几个实数根方程)()(0)(xfyxxfyxf零点不是点题型一求函数的零点（方程的根）题型一求函数的零点（方程的根）函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的
3、交点的横坐标即为函数的零点总结(2)_f(1)_f(2)_f(4)_f2()23f xxx思考：由以上计算你得到什么结论？)1()2(ff0 0)4()2(ff0 05-4-35引入.0)(,0)(),(,),()(,0)()(,)(的根也就是方程这个使得即存在内有零点在区间则函数并且有断的一条曲线上的图象是连续不在区间若函数xfccfbacbaxfybfafbaxfy二、函数的零点存在定理思考：思考：1.1.如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上有零点上有零点,那么函数那么函数y=fy=f(x)(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内一定满足内一定满足f(a)f(
4、b)0f(a)f(b)0吗？吗？内一定有零点吗？）在（则上满足在2,0)(,0)2()0(2,0,1,11,12)(.2xfffxxxxf题型二判断零点所在区间例例1 1：(1)(1)f f(x x)lnlnx xx x3 39 9的零点所在的区间为的零点所在的区间为()A A(0(0，1)1)B B(1(1，2)2)C C(2(2，3)D3)D(3(3，4)4)(2)(2)若函数若函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的上的图象是连续不断的曲线，且函数曲线，且函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在在(a,b)(a,b)内有零点，则内
5、有零点，则f(a)f(b)f(a)f(b)的值的值()()A.A.大于大于0 B.0 B.小于小于0 C.0 C.无法判断无法判断 D.D.等于零等于零题型二判断零点所在区间例2（1）已知函数f（x）2x+x，g（x）log3x+x，h（x）x的零点依次为a，b，c，则（）AabcBcbaCcabDbac（2）已知函数 的两个零点分别为x1，x2（x1x2），则下列结论正确的是（）A2x11，x1+x22 B2x11，x1+x21Cx12，x1+x22 Dx12，x1+x21 题型二判断零点所在区间判断函数yf(x)的零点所在区间的方法：1.1.借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断借助函
6、数的单调性及函数零点存在定理进行判断2.2.利用图像。利用图像。题型三函数零点个数问题师生共研例1：(1)函数f(x)(x2)(x5)1有两个零点x1，x2，且x1x2，则(C)Ax12，2x22，x25 Cx15 D2x15_1)()(222零点个数是的有两个零点，则）（axbxxgbaxxxf1或2题型三函数零点个数问题_32log)(122的零点个数为）：（例xxxf1（2）已知x0是函数f（x）2x+的一个零点，若x1（1，x0），x2（x0，+），求f（x1）和f（x2）与0的大小关系f（x1）0例3：(1)已知函数f（x）函数g（x）3f（2x），则函数yf（x）g（x）的零点个数
7、为_题型三函数零点个数问题2(2)已知函数f（x）|log2x|，g（x）则方程|f（x）g（x）|1的实根个数为_题型三函数零点个数问题yg（x）14(1)(1)解方程法解方程法.方程方程f f(x x)0 0的实数根的个数就是函数的实数根的个数就是函数f f(x x)的零点的的零点的个数个数(2)(2)借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断(3)(3)如果函数图象易画出，则可依据图象与如果函数图象易画出，则可依据图象与x x轴的交点的个数来判轴的交点的个数来判断特别地，对于形如断特别地，对于形如y yh h(x x)g g(x x)的函数，可依
8、据函数的函数，可依据函数h h(x x)与与g g(x x)的图象的交点的个数来判断函数的图象的交点的个数来判断函数y yh h(x x)g g(x x)的零点的个的零点的个数数总结总结判断函数判断函数y yf f(x x)的零点的个数的方法：的零点的个数的方法：题型四已知零点个数求参_)()12()()(112只有一个零点，则上的奇函数且单调，是定义在）：（例xfxfxfRxf87（2）若函数f（x）（aR）在R上没有零点，则a的取值范围是（）A（0，+）B（1，+）0C（，0 D（，1B（2）已知函数f（x）|x24|+x2+ax，aR若方程f（x）0在（0，4）上有两个不同的实数根x1，
9、x2（x1x2），实数a的取值范围是_题型四已知零点个数求参(-7,-2)例2：（1）已知函数f（x），其中m0若存在实数b，使得关于x的方程f（x）b有三个不同的根，则m的取值范围是（）A（2，+）B（0，3）C4，+）D（3，+）D题型四已知零点个数求参例3（复合函数零点个数问题）已知函数 ，若关于x的方程f（f（x）0有8个不同的实根，则a的值可能为（）A6 B8 C9 D12(3)已知函数 的图象上存在一点P，函数g（x）lnx的图象上存在一点Q，恰好使P、Q两点关于直线yx对称，则满足上述要求的实数a的取值范围是_ CD21,(题型五零点范围问题例1：（1）已知函数f（x），若方程f
10、（x）a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是 （2）已知函数f（x），若存在0 x1x2x3x4，使得f（x1）f（x2）f（x3）f（x4），则x1x2x3x4的取值范围是 4233xx（6,9（96,100)4.5.2 4.5.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一物品某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一物品的售价的环节，某次猜一品牌手机的价格，手机价格的售价的环节，某次猜一品牌手机的价格，手机价格在在5005001 0001 000元，选手开始报价元，选手开始报价1 0001 00
11、0元，主持人回答元，主持人回答高了；紧接着报高了；紧接着报900900元，高了；元，高了；700700元，低了；元，低了；800800元，元，低了；低了；880880元，高了；元，高了；850850元，低了；元，低了；851851元，恭喜你猜元，恭喜你猜中了！他是是碰运气乱猜吗？如果是你你会怎么猜？中了！他是是碰运气乱猜吗？如果是你你会怎么猜？引入yx0321-1x1x2 如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解.（精确到0.1）y=x2-2x-1引入 求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解.（精确到0.1）-+2 3f(2)0 2x13-+2 2.5 3f(2)0 2x12.5
12、-+2 2.25 2.5 3f(2.25)0 2.25x12.5-+2 2.375 2.5 3f(2.375)0 2.375x12.5-+2 2.375 2.4375 3f(2.375)0 2.375x12.437512)(2xxxf设引入 对于区间对于区间a,ba,b上连续不断、且上连续不断、且f(a)f(b)0f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x),y=f(x),通过不断地把函数通过不断地把函数f(x)f(x)的零点所在的区间的零点所在的区间一分为二一分为二，使区间的两，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（b
13、isectionbisection）二分法概念例例1 1：（：（1 1）下面关于二分法的叙述，正确的是下面关于二分法的叙述，正确的是()A A用二分法可求所有函数零点的近似值用二分法可求所有函数零点的近似值B B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C C二分法无规律可循二分法无规律可循 D D只有在求函数的零点时才用二分法只有在求函数的零点时才用二分法二分法概念理解(2)(2)观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()AB1.1.确定区间确定区间a,ba,b，验证，验证f(
14、a)f(b)0,f(a)f(b)0,给定精确度给定精确度；3.3.计算计算f(c)f(c)；2.2.求区间求区间(a,b)(a,b)的中点的中点c c；（1 1）若）若f(c)=0f(c)=0，则，则c c就是函数的零点；就是函数的零点；（2 2）若）若f(a)f(c)0f(a)f(c)0，则令，则令b=cb=c（此时零点（此时零点x x0 0(a,c);(a,c);（3 3）若）若f(c)f(b)0f(c)f(b)0，则令，则令a=ca=c（此时零点（此时零点x x0 0(c,b).(c,b).4.4.判断是否达到精确度判断是否达到精确度:即若即若|a-b|a-b|，则得到零点近似值，则得到
15、零点近似值a(a(或或b)b)；否则重复步骤；否则重复步骤2424用二分法求函数用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤的零点近似值的步骤例例2 2：（：（1 1）对于二分法求得的近似解，精确度对于二分法求得的近似解，精确度说法正确的说法正确的A A越大，零点的精确度越高越大，零点的精确度越高 B B越大，零点的精确度越低越大，零点的精确度越低C C重复计算次数就是重复计算次数就是 D D重复计算次数与重复计算次数与无关无关二分法概念理解B（2 2）用）用二分法求函数在区间（二分法求函数在区间（a,b)a,b)内的唯一零点时，内的唯一零点时，精确度为精确度为0.0010.001，则结束计算的条
16、件是（则结束计算的条件是（）A A|a-b|0.1 B|a-b|0.1 B|a-b|0.001|a-b|0.001|a-b|0.001 D D|a-b|=0.001|a-b|=0.001 B二分法概念理解（3 3）已知图像连续不断的）已知图像连续不断的函数在区间（函数在区间（0,0.1)0,0.1)内有唯内有唯一零点，若用二分法求这个零点（一零点，若用二分法求这个零点（精确度为精确度为0.010.01）的近似值）的近似值，则应将区间则应将区间（0,0.1)0,0.1)等分的次数至少是（等分的次数至少是（）A A3 B3 B4 C4 C 5 5 D D6 6B.ln)6.0,5.0)(1.02)1(.)(1,62ln)(000的取值范围内的每一个值，试求的零点可取（为函数的条件下，可以近似认为）由二分法，在精确度（的值；求内位于区间（的零点练习：已知函数xxkkxfkzkkkxxxxf)25.1,04.1)(2(2(1)k
