1、3.1.2函数的表示法函数的表示法1|函数的表示法表示法定义优点缺点解析法用数学表达式 表示两个变量之间的对应关系简单、全面,易求函数值 不够形象、直观,而且不是所有函数都有解析式列表法列出 表格 来表示两个变量之间的对应关系无需计算,查表即可得函数值表示数目有限图象法用图象 表示两个变量之间的对应关系形象、直观,便于研究函数的性质只能近似求函数值,不够精确已知函数y=f(x),xA,如果自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的 对应关系 ,那么我们称这样的函数为分段函数.注意:分段函数表示的是一个函数,各段自变量的取值范围的交集是空集.2|分段函数1.某同学在最近的5次数学考试中的成绩(满
2、分150分)如下表所示,则y是x的函数,同时x也是y的函数.()判断正误，正确的画“”，错误的画“”.考试次数x12345成绩y/分1201321361351362.京沪高速铁路由北京南站至上海虹桥站,全长1 318千米,设计的最高速度为380千米/时,假设京沪高速铁路的运营速度为350千米/时,火车保持匀速行驶x小时后,路程为y千米,则y是x的函数,可以用y=350 x 来表示.()102x102x3.任何一个函数都可以用图象法表示.()提示:有些函数是不能画出图象的,如f(x)=4.分段函数是一个函数,且其定义域是每一段自变量取值范围的交集.()提示:分段函数是一个函数,定义域是每一段自变
3、量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.R1,Q,1,Q.xx1|如何求函数的解析式1.当函数类型已知时,可采用“先设后求,待定系数”法来求其解析式.解题步骤如下:(1)设出含有待定系数的解析式.如一次函数解析式设为f(x)=ax+b(a0);反比例函数解析式设为f(x)=(k0);二次函数解析式可根据条件设为一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0),顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a0),交点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).(2)把已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程或方程组.(3)解方程或方程组,得到待定系数的值.(4)将所求待定系数的值代回原式
4、并化简整理.kx2.函数类型未知时,可根据条件选择以下方法求其解析式.(1)代入法:已知f(x)的解析式,求f(g(x)的解析式,通常把g(x)作为一个整体替换f(x)中的x.(2)换元法:已知f(g(x)是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e(t)代入f(g(x)中,得到f(t)的解析式,再用x替换t,便可得到f(x)的解析式.(3)配凑法:将所给函数的解析式f(g(x)通过配方、凑项等方法,使之变形为关于g(x)的函数解析式,然后以x代替g(x),即得所求函数解析式,这里的g(x)可以是多项式、分式、根式等.(4)消元法(方程组法):已知f
5、(x)与f或f(-x)的解析式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,组成方程组,通过解方程组求出 f(x).(5)赋值法:依题目的特征,可对变量赋特殊值,由特殊到一般寻找普遍规律,从而根据找出的一般规律求出函数解析式.主要适用于抽象函数求解析式.1x(1)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式;(2)已知f=+,求f(x)的解析式;(3)已知y=f(x)是一次函数,且f(x)2-3f(x)=4x2-10 x+4,求f(x)的解析式.xx1xx221xx1x思路点拨(1)用换元法或配凑法求解;(2)用换元法或配凑法求解;(3)用待定系数法求解.x解析(1)解法一(换元法):令t=+1,则x=
6、(t-1)2,t1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t1),因此f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x1).解法二(配凑法):f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1.因为+11,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x1).(2)解法一(换元法):令t=+1,则x=(t1),所以f(t)=+=(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1,所以f(x)=x2-x+1(x1).xxxxxx1xx1x11t 2211111tt111t 解法二(配凑法):因为f=+=-=-+1,又=+11,所以f(x)=x2-x+1(x1).(3)设f(x)=kx+b(k0),则f
7、(x)2-3f(x)=(kx+b)2-3(kx+b)=k2x2+(2kb-3k)x+b2-3b=4x2-10 x+4,1xx22122xxxx1x21xx1xxx21xx1xx1xx1x所以解得或故f(x)=-2x+4或f(x)=2x-1.224,2310,34,kkbkbb 2,4kb 2,1,kb(1)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f=x(x0),求f(x)的解析式;(2)设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析式.1x思路点拨(1)用消元法求解;(2)用赋值法求解.解析(1)在f
8、(x)+2f=x(x0)中,将x换为,得f+2f(x)=(x0),于是得到关于f(x)与f的方程组(x0),解得f(x)=-(x0).(2)解法一:令y=x,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).又f(0)=1,f(x)-x(2x-x+1)=1,即f(x)=x2+x+1.解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),即f(-y)=1-y(-y+1).1x1x1x1x1x1()2,112()f xfxxff xxx23x3x令-y=x,得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1)=x2+x+1.2|如何理解与解决分段函数问题 正确理解分段函数(1)分段函数是一个函数,而
9、不是几个函数.(2)处理分段函数的求值问题时,一定要明确自变量的取值属于哪一个区间.(3)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域”的并集.(4)分段函数的图象应分段来作,特别注意各段的自变量在区间端点处的取值情况.分段函数的求值策略(1)已知自变量的值求函数值的步骤:确定自变量属于哪一个区间;代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0)的形式时,应从内到外依次求值.(2)已知函数值求对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验函数解析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解.已知a0,f(x)=若f(1-a)=f(
10、1+a),求a的值.2,1,2,1,xa xxa x 思路点拨分a0和a0时,1-a1,则f(1-a)=2(1-a)+a,f(1+a)=-(1+a)-2a,2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得a=-(不合题意,舍去);当a1,1+a1,则f(1-a)=-(1-a)-2a,f(1+a)=2(1+a)+a,-(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得a=-.综上,a=-.323434已知函数f(x)=求使f(x)2成立的x的取值集合.2232,1,23,1,xx xxx思路点拨自变量未知时,对自变量进行分类讨论,选择相应的解析式进而解方程(组)或不等式(组).解析由解得1x;由解得x-或x1.
11、综上所述,使f(x)2成立的x的取值集合为.21,322xxx17321,232xx22222217|223x xx 或10.(2021天津部分区高一上期中,)已知函数f(x)=若f(a)5,则实数a的取值范围是(A)A.-1,1 B.-5,5 C.(-,-11,+)D.(-,-55,+)11.(多选)()已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是(AC)A.f(x)的值域为(-,4)B.f(1)=3C.若f(x)=3,则x的值是 D.f(x)1的解集为(-1,1)(2020北京通州高一上期末),下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位:元/立方米).阶梯户年用水量(立方米)水价其中自来水费水资源费污水处理费第一阶梯0180(含)5.002.071.571.36第二阶梯180260(含)7.004.07第三阶梯260以上9.006.07(1)试写出水费y(元)与年用水量x(立方米)之间的函数解析式;(2)若某户居民一年交水费1 040元,求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少.
