1、函数的应用(二)函数的零点与方程的解用二分法求方程的近似解1.函数的零点的概念对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.3.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数解,因此,函数的零点不是点,而是一个实数.1|函数的零点质点如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.2|函数零点
2、存在定理对于在区间a,b上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.3|二分法给定精确度,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:1.确定零点x0的初始区间a,b,验证f(a)f(b)0.2.求区间(a,b)的中点c.3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:(1)若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;(2)若f(a)f(c)0(此时x0(a,c),则令b=c;(3)若f(c)f(b)0(此时x0(c,b),则令a=c.4.判断是否达到精确度
3、:若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤24.4|用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤1.所有的函数都有零点.()2.若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)f(b)0,则f(x)在a,b内无零点.()4.若f(x)在a,b上为单调函数,且f(a)f(b)0)根的分布问题设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根,令f(x)=ax2+bx+c(a0),则x1,x2的分布如下表所示:根的分布图象等价条件x1x2kkx1x20f(k)0b2ak 0f(k)0b2ak 根的分布图象等价条件x1kx2f(k)0 x1,x2(k1,
4、k2)12120f(k)0f(k)0bkk2a 续表已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两个实数根,其中一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内,求m的取值范围;(2)若方程有两个不相等的实数根,且均在区间(0,1)内,求m的取值范围.思路点拨根据一元二次方程根的分布情况,借助函数的图象,从判别式、对称轴、端点的函数值等方面列出关于参数的不等式,求解得出参数的取值范围.解析令f(x)=x2+2mx+2m+1.(1)依题意得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点的横坐标分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出函数的大致图象,如图所示:
5、由图象,得解得-m-.(1)20,(0)210,(1)420,(2)650,ffmfmfm 5612实数m的取值范围为.(2)根据题意,可知函数f(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标均在区间(0,1)内,画出函数的大致图象,如图所示:由图象,得解得-m1-.m的取值范围是.51,62244(21)0,(0)210,(1)420,01,mmfmfmm 1221,122易错警示解决一元二次方程根的分布问题,要结合对应函数图象,全面考虑判别式、端点的函数值、对称轴等因素,解题时防止因考虑不全导致解题错误.2|函数零点个数的判断及应用如果把函数比作一部电影,那么函数的零点就像电影的一个瞬间,一个镜头.
6、有时我们会忽略一些镜头,但是我们仍然能推测出被忽略的片段.现在有两组镜头(如图,第一组为第一行两图,第二组为第二行两图).问题1.哪一组能说明他的行程中一定渡过河?提示:第一组能说明他的行程中一定渡过河,而第二组中他的行程不一定渡过河.2.将河流抽象成x轴,将前后的两个位置视为A,B两点.请问:当A,B与x轴有怎样的位置关系时,A,B间的一段连续不断的函数图象与x轴一定有交点?提示:A,B两点在x轴的两侧.1.判断函数f(x)的零点个数的主要方法:(1)转化为解相应的方程,根据方程的解进行判断.(2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数.(3)利用函数零点存在
7、定理进行判断,注意函数的单调性.若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)上单调,满足f(a)f(b)0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点.(4)转化成两个函数图象的交点问题.2.已知函数f(x)的零点个数求参数范围,通常要对已知条件进行变形,变形的方向:(1)化为常见的基本初等函数;(2)尽量使参数与变量分离,实在不能分离,也要使含参数的函数解析式尽可能简单.求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.思路点拨应用函数零点存在定理及单调性求解或将其转化为求两函数图象的交点个数,通过数形结合进行求解.解析解法一:f(0)=1+0-2=-1
8、0,且f(x)在(0,1)上是连续的,f(x)在(0,1)上必定存在零点.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+)上为增函数,函数f(x)有且只有一个零点.解法二:令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1).在同一平面直角坐标系中作出h(x)和g(x)的图象如下.由图可知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,故f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.已知函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,求实数b的取值范围.思路点拨令f(x)=0,得到|2x-2|=b,作出函数y=|2x-2|与y=b的图象,利用两函数图象有两个交点,确定参数
9、的范围.解析令f(x)=|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b.在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|的图象与直线y=b,如图所示.由图可知当0b2时,函数y=|2x-2|的图象与直线y=b有两个交点,从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点.故实数b的取值范围是b|0b2.易错警示作图时要注意图象的准确性,防止因图象不准导致解题错误.3|用二分法求方程的近似解在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把该物品作为奖励送给选手.某次竞猜的物品为价格在8001200元的一款手机.选手:“1000.”主持人:“低了.”问题1.如果是你,你知道接下来该如何竞猜吗
10、?提示:应猜1000与1200的中间值1100.2.通过这种方法能猜到具体价格吗?能用这种方法求方程的近似解吗?提示:能猜到具体价格,能求方程的近似解.3.用二分法求方程的近似解,如何决定步骤的结束?提示:当对应函数零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时,二分法步骤结束.4.用二分法求方程的近似解时,精确度不同对零点的近似值有影响吗?提示:有影响.精确度决定步骤的始终,故精确度不同,零点的近似值可能会不同.1.二分法求方程近似解的适用条件:(1)在初始区间内函数图象是连续不断的;(2)函数在初始区间的两个端点的函数值异号,即是变号零点.2.利用二分法求方程近似解的步骤:(1)构造函数
11、,选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.(2)用列表法清晰地表达函数零点所在的区间,依次进行计算.(3)求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(4)区间M内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间M的一个端点.用二分法求函数f(x)=x3-3的零点的近似值(精确度为0.02).解析由于f(0)=-30,f(1)=-20,因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下:零点所在区间中点的值中点函数值(或近似值)(1,2)1.50.375(1,1.5)1.25-1.047(1.25,1.5)1.375-0.400(1.375,1.5)1.4375-0.030(1.4375,1.5)1.468750.168(1.4375,1.46875)1.4531250.068(1.4375,1.453125)1.44531250.019因为|1.453125-1.4375|=0.0156250.02,所以函数f(x)=x3-3的零点的近似值可取为1.4375.
