1、专题3：基本不等式及其简单应用一、单选题1若，且，则下列不等式中恒成立的是（ ）ABCD2若a0，b0，且ab，则（ ）ABCD3若x2，则函数的最小值为（ ）A3B4C5D64已知正数a，b满足3a+4b1，则的最小值为（ ）A48B36C24D125下列不等式； ； ；其中恒成立的不等式的个数是（ ）ABCD6设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买黄金项链，售货员先将一条黄金项链放在天平左盘中，质量为的砝码放在天平右盘中使天平平衡；再将这条黄金项链放在天平右盘中，质量为的砝码放
2、在天平左盘中使天平平衡；那么这条项链的真实质量（ ）A大于B小于C等于D无法确定8正实数满足,则的最小值为（ ）AB1C2D二、多选题9已知，且，则（ ）ABCD10设，称为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧AB的中点F，连接FC，则（ ）AOD的长度是a，b的几何平均数BDE的长度是a，b的调和平均数CCD的长度是a，b的算术平均数DFC的长度是a，b的加权平均数三、填空题11若实数x、y满足log3x+log3y=
3、1，则+的最小值为_.12设正数，使成立，若，则_（填“”“”“”“”）四、解答题13已知是不全相等的三个正数，求证：.14（1）已知，都是正实数，求的最小值；（2）已知，都是正实数，证明：152005年8月15日，习近平主席到安吉天荒坪镇余村考察时，首次提出“绿水青山就是金山银山”.各级政府积极响应“绿水青山就是金山银山”的号召，打造生态农业、生态工业、生态旅游等。某乡镇因地制宜的打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/
4、千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?答案1D2B3D4A利用基本不等式求最值时，满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5B6A7B由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设），再利
5、用杠杆原理，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即，解得：，下面比较与的大小：，由于，故等号不成立，所以故选：B8B因为,所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为1，故选：B.9ABD【详解】，又故正确；，且，故正确；,故正确；等价于，即，等价于,但当时，满足条件，且，,故C错误；故选：.10BD是直角，是斜边中点，则，是算术平均数，A错；由直角中射影定理得，在直角中由射影定理得是调和平均数，B正确；是几何平均数，C错；连接，是弧的中点，为加权平均数故选：BD11则，当且仅当时取等号.故的最小值为.故答案为：.12，或（舍），是增函数，又，当且仅当时取等号故答案为：.13 是不全相等的三个正数， 不全相等， ，故三个不等式的等号不能同时成立，则三式相加得， ，即.14（1）16；（2）见解析.解：(1) ，即，令，所以，解得，即(当且仅当时取等号)，得，所以的最小值为.(2) 证明：因为为正数， ,所以即(当且仅当时取等号).15（1）；（2）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.（1）由题意得：， .(2)由(1)得， （i）当时，； （ii）当时，当且仅当时，即时等号成立.因为，所以当时， 当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.
