1、函数的概念和性质复习测试题一一选择题（共9小题）1下列函数中，既是偶函数又在区间的上单调递减的是ABCD2若函数与在区间，上都是严格减函数，则实数的取值范围为AB，CD，3已知函数为偶函数，在区间，上单调递增，则满足不等式的的解集是AB，C，D4已知函数，则（1）等于AB1CD25函数的定义域是AB，C，D，6模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：其中为最大确诊病例数当时，标志着已初步遏制疫情，则约为A60B65C66D697已知且，若函数的值域为，则的取值范围是ABCD，8已知函数，则使成立的的取值范围是A，B，C
2、，D，二多选题（共6小题）9若函数同时满足：对于定义域上的任意，恒有；对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”给出下列四个函数中能被称为“理想函数”的有ABCD10下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是ABCD11下列函数中，值域为，的是A，B，CD12中国清朝数学家李善兰在1859年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数” 年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，1，2，2，4，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是ABCD三填空题（共6小题）13某校
3、的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天（结果取整）14若函数的值域为，则实数的取值范围为15函数的值域为16已知函数的最小值为5，则四解答题（共9小题）17已知函数，（1）判断函数的单调性并证明；（2）求函数的最大值和最小值18已知函数，（1）若，判断函数在定义域上的单调性，并利用单调性定义证明你的结论（2）若函数在区间上单调递减，写出的取值范围（无需证明）19已知函数（1）若，求（a）的值；（2）求的值20已知函数且（1）判断奇偶性；（2）用定义讨论函数在区间的单调
4、性；（3）当时，求关于的不等式的解集21已知函数，为奇函数（1）求实数的值；（2）若（1）成立，求实数的取值范围22已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）时，不等式恒成立，求的取值范围；（3）求函数在区间，上的最小值（a）函数的概念和性质复习测试题一参考答案与试题解析一选择题（共9小题）1下列函数中，既是偶函数又在区间的上单调递减的是ABCD【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断【解答】解：为奇函数，不符合题意，为非奇非偶函数，不符合题意，为偶函数且在的上单调递减，符合题意，为偶函数，且在的上单调递增故选：【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题2若
5、函数与在区间，上都是严格减函数，则实数的取值范围为AB，CD，【分析】结合函数图象的变换及反比例函数与一次函数性质可求【解答】解：因为与在区间，上都是严格减函数，所以，故故选：【点评】本题主要考查了基本初等函数单调性的应用，属于基础题3已知函数为偶函数，在区间，上单调递增，则满足不等式的的解集是AB，C，D【分析】根据题意，分析可得的图象关于直线对称，结合函数的单调性分析可得等价于，可得，解可得的取值范围，即可得答案【解答】解：因为函数为偶函数，则的图象关于直线对称，又由在区间，上单调递增，所以不等式等价于，所以，解得，即不等式的解集为故选：【点评】本题考查解不等式，考查函数的奇偶性与单调性的
6、综合，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于中档题4已知函数，则（1）等于AB1CD2【分析】由，求出的值，由，求出（1）的值，由此能求出（1）的值【解答】解：函数，（1）故选：【点评】本题考查函数值的求法，函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5函数的定义域是AB，C，D，【分析】由题意可得，求解得答案【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且函数的定义域是，故选：【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查指数方程与对数不等式的解法，是基础题6模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：其中为最大确诊病例数当时，
7、标志着已初步遏制疫情，则约为A60B65C66D69【分析】由已知可得方程，解出即可【解答】解：由已知可得，解得，两边取对数有，解得，故选：【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题6已知且，若函数的值域为，则的取值范围是ABCD，【分析】可求出时，的值域为，从而得出时，的值域是，的子集，这样即可求出的取值范围【解答】解：时，且的值域为，时，的值域是，的子集，此时，的取值范围是，故选：【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题8已知函数，则使成立的的取值范围是A，B，C，D，【分析】根据函数对称性和单调性之间的关系，即可得到结论【解
8、答】解：，所以，所以，即函数图象关于对称，当时，单调递增，由得，即，解得，或，所以不等式的解集为或，故选：【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的对称性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用二多选题（共6小题）9若函数同时满足：对于定义域上的任意，恒有；对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”给出下列四个函数中能被称为“理想函数”的有ABCD【分析】由已知新定义知，函数在定义域上为奇函数且单调递增，结合各选项分别检验即可判断【解答】解：对于定义域上的任意，恒有，则为奇函数；对于定义域上的任意，当时，恒有，则单调递增，在定义域上不单调，不符合题意，为奇函数，
9、且在上单调递增，符合题意，且在上单调递增，符合题意，的图象如图所示，函数图象关于原点对称，且在上单调递减，不符合题意故选：【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，基本初等函数性质的熟练掌握是求解问题的关键10下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是ABCD【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可【解答】解：对于，函数的定义域为，且，故为奇函数，又递减，递减，所以在定义域内递减，符合题意；对于，函数为奇函数，且在定义域上为减函数，符合题意；对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为奇函数，且在上为减函数，符合题意故选：【点评】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，掌握基
10、本初等函数的性质是解题的关键11下列函数中，值域为，的是A，B，CD【分析】根据基本不等式即可判断选项，都正确，对于选项，时，从而判断选项错误，从而得出正确的选项【解答】解：时，当且仅当时取等号，符合题意，该选项正确；时，当且仅当时取等号，符合题意，该选项正确；，当且仅当，即时取等号，该选项正确；当时，该选项错误故选：【点评】本题考查了基本不等式的应用，应用基本不等式时，要判断等号是否取到，考查了计算能力，属于基础题12中国清朝数学家李善兰在1859年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数” 年美国人给出了我们课本中所学
11、的集合论的函数定义，已知集合，1，2，2，4，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是ABCD【分析】根据函数定义中的与的对应关系判断每个选项的函数能否构成从到的函数即可【解答】解：在中，当时，故错误；在中，当时，故错误；在中，任取，总有，故正确；在中，任取，总有，故正确故选：【点评】本题考查了函数的定义，理解函数中的，的对应关系，考查了计算能力，属于基础题三填空题（共6小题）13某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要14天（结果取整）【分析
12、】由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，利用等差数列的前项和公式可得，即可求出的最小值【解答】解：由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，设要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天，则，整理得：，又为正整数，当时，；当时，的最小值为14，即这次募捐活动至少需要14天故答案为：14【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，是基础题14若函数的值域为，则实数的取值范围为，【分析】可求出时，然后根据原函数的值域为，可得出时，这样即可求出的范围【解答】解：时，且原函数的值域为，时，即，的取值范围为：，故答案为：，【点评】本
13、题考查了对数函数和指数函数的单调性，函数值域的定义及求法，考查了计算能力，属于中档题15函数的值域为【分析】分离常数即可得出，然后根据即可得出的值域【解答】解：，的值域为：故答案为：【点评】本题考查了函数的值域的定义及求法，分离常数法的运用，指数函数的值域，不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题16已知函数的最小值为5，则9【分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件【解答】解：，所以，经检验，时等号成立故答案为：9【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基
14、础题四解答题（共9小题）17已知函数，（1）判断函数的单调性并证明；（2）求函数的最大值和最小值【分析】（1）根据题意，设，由作差法分析可得结论，（2）根据题意，由（1）的结论，函数在，上为减函数，据此分析可得结论【解答】解：（1）根据题意，函数在区间，上为减函数，证明：，设，则，又由，则，则，则函数在，上为减函数，（2）有（1）的结论，函数在，上为减函数，则在，上最大值为（2），最小值为（9）【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题18已知函数，（1）若，判断函数在定义域上的单调性，并利用单调性定义证明你的结论（2）若函数在区间上单调递减，写出的取值范围（无需证
15、明）【分析】（1）根据题意，将函数的解析式变形为，设，由作差法分析可得结论，（2）根据题意，由反比例函数的性质以及函数平移的性质可得结论【解答】解：（1）根据题意，若，则，在定义域上为减函数，设，则，又由，则，则，在定义域上为减函数，（2），若函数在区间上单调递减，必有，即，的取值范围是【点评】本题考查函数的单调性的判断以及性质的应用，注意将函数的解析式进行变形，属于基础题19已知函数（1）若，求（a）的值；（2）求的值【分析】（1）由函数，能求出（a）的值（2）由（a），能求出的值【解答】解：（1）函数，（2）（a），【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是
16、基础题20已知函数且（1）判断奇偶性；（2）用定义讨论函数在区间的单调性；（3）当时，求关于的不等式的解集【分析】（1）根据题意，先分析函数的定义域，再分析与的关系，即可得结论，（2）根据题意，任取，且，利用作差法，分与两种情况讨论，即可得结论；（3）根据题意，利用函数的奇偶性与单调性分析可得原不等式等价于，即，解可得的取值范围，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数，函数的定义域，对于定义域内的每一个，都有所以是奇函数，（2）证明：任取，且，当时，则，函数在上为增函数，同理：当时，函数在上为减函数，（3）当时，函数在上为增函数，即，解可得：或，即不等式的解集为或【点评】本题考查函数的奇偶
17、性与单调性的综合应用，涉及单调性的证明，属于综合题21已知函数，为奇函数（1）求实数的值；（2）若（1）成立，求实数的取值范围【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，检验即可得答案，（2）根据题意，分析函数的单调性，则原不等式等价于，分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数，若函数为上的奇函数，则，；经检验，是奇函数；（2）根据题意，由（1）的结论，易得在上为增函数，则（1）（1），即，不等式的解集为【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出的值，属于基础题22已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）时，不等式恒成立，求的取值范围；（3）求函数在区间，上的最
18、小值（a）【分析】（1）把代入函数解析式，求解关于的一元二次不等式，进一步求解指数不等式得答案；（2）不等式恒成立，等价于，求出时的范围，可得，即可求得实数的取值范围；（3）当，时，令，原函数化为，求其对称轴方程，然后分类讨论求解函数在区间，上的最小值（a）【解答】解：（1）当时，由，得，解得，即，不等式的解集为；（2）时，不等式恒成立，即恒成立，也就是恒成立，即恒成立，可得，可得，当时，即因此，实数的取值范围是，；（3）当，时，令，原函数化为该函数的图象开口向上，对称轴方程为，当时，在，上单调递增，（2）；当时，在，上单调递减，在，上单调递增，则；当时，在，上单调递减，则（4）综上可得，【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查指数不等式与一元二次不等式的解法，训练了利用分类讨论法求二次函数的最值，考查运算求解能力，是中档题
