1、5.4.3 5.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象教学目标能画出正切函数的图象.（重点）01掌握正切函数的奇偶性、周期性.（重点）02掌握正切函数的单调性，并能利用单调性解决相应的问题.（重点、难点）0304学科素养借助正切线作出正切函数的图像;数学抽象借助数形结合的思想，通过正切函数的图像研究正切函数的性质直观想象 求正切函数的单调区间;逻辑推理利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性数学运算数据分析借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质数学建模01Retrospective Knowledge函数函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数函数图像函数图像周期周期
2、2 22 2奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数对称性对称性对称轴对称轴对称中心对称中心单调性单调性递增区间递增区间递减区间递减区间最值点最值点最小值最小值最大值最大值Z2xkk，Zxkk，(0)Zkk，(0)Z2kk，2 2 Z22kkk，2 2 Zkkk，32 2 Z22kkk，2 2 Zkkk，2 Z12xkk 当，时，取得最小值-.2 Z12xkk当，时，取得最大值.2 Z1xkk当，时，取得最小值-.2 Z1xkk当，时，取得最大值.02Exquisite Knowledge 其实研究函数，也可以从其定义（解析式）出发研究它的性质，再利其实研究函数，也可以从其定义（解析式）出发研究它
3、的性质，再利用性质研究用性质研究其图象其图象.根据研究正弦函数和余弦函数的经验，我们根据研究正弦函数和余弦函数的经验，我们应先作出正切函数应先作出正切函数的图的图象，象，通过通过观察图象获得观察图象获得对函数性质的直观认识对函数性质的直观认识，再从代数的角度对性质作再从代数的角度对性质作出严格表述出严格表述.（图象（图象性质）性质）函数的函数的解析式确定了函数的性质，但通过函数的图象解析式确定了函数的性质，但通过函数的图象，我们可以更直，我们可以更直观的获得对函数性质的认识观的获得对函数性质的认识.（1）根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的图象和性质？（2）你能用不同
4、的方法研究正切函数吗？Zkkxxy ，2tan Zkkxxx ，2tan)tan(Zkkxxx ，2tan)tan(表明正切函数的定义域关于原点对称【1 1】周期性：周期性：【2 2】奇偶性：奇偶性：根据正切函数的周期性，根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，只要研究正切函数在一个周期，再根据正切函数的奇偶性，再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，只要研究正切函数在半个周期，比如区间比如区间 内的图象与性质即可内的图象与性质即可），（22 比如区间比如区间 内的图象与性质即可内的图象与性质即可），20 你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助
5、？如图，设 ，在坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B.过点B作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则），20 x00tanyMBATxATxOMOA 由此可见，当 时，线段AT的长度就是相应角x的正切值我们可以利用线段AT画出函数 的图象），20 x），20tanxxy 如何画出函数ytan x，的图象呢？探究探究），20 x 观察图象可知：当 时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，），20 x 相应地，函数的图象从左向右呈不断上升趋势，而且当x趋向于 时，AT的长度趋向于无穷大且向右上方无限逼近直线 ，但不会与该直线相交22x 第一步，因为正切函数是
6、奇函数，第一步，因为正切函数是奇函数，第二步，根据正切函数的周期性，第二步，根据正切函数的周期性，只要画函数 图象关于原点的对称图形，就可得到 的图象；），22(tanxxy），22(tanxxy 只要把函数 图象向左、右平移，每次平移个单位，就可得到正切函数 的图象，我们把它叫做正切曲线.），22(tanxxyZkkxxy，2tan 你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？探究探究Zkkx ，2正切曲线是被与正切曲线是被与y轴平行的一系列直线轴平行的一系列直线 所隔开的无数个形状相所隔开的无数个形状相同的曲线组成的同的曲线组成的.图象关于图象
7、关于原点对称原点对称图象在图象在x轴上方的部分下凹；轴上方的部分下凹；在在x轴下方的部分上凸轴下方的部分上凸.xy 2203232Zkkxxy ，2tan利用做画出一个周期内的大致函数图象，然后进行左右平移，就可以得到全部的图象。)14()00()14(，2x 【3 3】单调单调性：性：Zkkk ，)22()22(，xy 2203232Zkkxxy ，2tan【4 4】值域：值域：），22(x xtan)(，xy 2203232Zkkxxy ，2tan【5 5】对称性：对称性：），02(k【例1】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小：3(1).tantan88与1925(2).tan
8、tan67与，因为【解析】28382)1(上单调递增，在区间且函数)2,2(tanxy.83tan8tan所以【注】同一函数的两函数值可以利用单调比较大小，但两变量的取值必须化在同一单调区间内.【例1】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小：3(1).tantan88与1925(2).tantan67与【注】同一函数的两函数值可以利用单调比较大小，但两变量的取值必须化在同一单调区间内.，因为【解析】)73tan(725tan6tan619tan)1(上单调递增，在区间且函数)2,2(tanxy.725tan619tan)73tan(6tan，即所以，所以26732tan()23yx【例
9、2】求函数 的定义域、周期及单调区间Z232xkk【解析】令，所以，函数的定义域是12Z3x xkk，函数 的周期tan()23yx.22TZ2232kxkk令，512Z33kxkk得2，.)312,352(32tan(，无单调递减区间，）的单调递增区间为因此函数Zkkkxy03Expansion And Promotion04Sum Up函数函数图像图像定义域定义域值域值域R周期性周期性单调性单调性奇偶性奇偶性奇函数对称性对称性Zkkxxy ，2tanZkkk ，)22(上都单调递增，在每个定义区间Zkkk)22()02(，对称中心为图象是中心对称图形，k05Homework After Class.01tan.2的解集求不等式x.)432tan(.1的单调区间求函数xy
