1、函数应用（一）面积-体积 利润 打车计表 路程-速度函数概念复习课函数概念复习课 函数的定义域指自变量的取值集函数的定义域指自变量的取值集合。中学数学中涉及的求定义域问题合。中学数学中涉及的求定义域问题一般有两大类：一类是求初等函数的一般有两大类：一类是求初等函数的定义域问题；一类是求抽象函数的定定义域问题；一类是求抽象函数的定义域问题。义域问题。1 1、整式：、整式：2 2、分式：、分式：3 3、偶次根式：、偶次根式：5 5、几个因式的和（差、积）的形式：、几个因式的和（差、积）的形式：R使分母不为使分母不为0 0的的x x的集合的集合被开方式被开方式0 0列方程组（不等列方程组（不等式组）
2、式组）求求交交集集使函数有意义的使函数有意义的x x的取值范围的取值范围4 4、零次幂式：、零次幂式：底式不等于底式不等于0 0例例1 1、求下列函数的定义域、求下列函数的定义域 (用区间表示用区间表示)22)4(xxy121)3(xxy例题讲解131)2(xxy741)1(xy2321)6(2xxxy0)23(111)5(xxy抽象函数（没有解析式的函数）抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是解题的方法精髓是“换元法换元法”，根据换元的思想，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于在于求括号整体的取值范围求括号整体的取
3、值范围。总结为：总结为：（1 1）给出了定义域就是给出了所给式子中）给出了定义域就是给出了所给式子中x x的取值的取值 范围；范围；（2 2）在同一个题中）在同一个题中x x不是同一个不是同一个x x；（3 3）只要对应关系）只要对应关系f f不变，括号的取值范围不变。不变，括号的取值范围不变。（4 4）求抽象函数的定义域个关键在于求）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)f(x)的取的取值范围，及括号的取值范围。值范围，及括号的取值范围。的定义域求的定义域已知一题型)(,)(:)(xgfxf的定义域求的定义域是若例)12(,2,0)(.1xfxf解:由题意知:2120 x2321)12(:x
4、xxf的定义域是故2321x 的定义域求的定义域已知题型二)(,:)(xfxgf的定义域求的定义域已知例)(,5,1(12.2xfxf9,3)(的定义域为xf解：由题意知:51x9123x157x的定义域求的定义域已知)52(,5,1)12(xfxf)1,5752的定义域是xf解：由题意知:练习51x9123x9523x总结：总结：已知已知f(x)的定义域为的定义域为A A，求，求fg(x)fg(x)的定的定义域：义域：实质是由实质是由g(x)Ag(x)A求求x x的范围。的范围。已知已知fg(x)fg(x)的定义域为的定义域为A A，求，求f(x)f(x)的定的定义域：义域：实质是由实质是由
5、x x的范围求的范围求g(x)g(x)的范围。的范围。1、函数值的集合我们叫函数的值域。、函数值的集合我们叫函数的值域。2、求函数的值域通常有：、求函数的值域通常有：（）直接法；（）直接法；（）分离常数法；）分离常数法；（）（）逆求法；逆求法；（）图像法；（）图像法；（）判别式法；（）配方法；（）判别式法；（）配方法；（）换元法；（）换元法；例例1.1.已知函数已知函数f(x)=2xf(x)=2x3,x0,1,2,3,5,3,x0,1,2,3,5,求求f(xf(x)的值域的值域方法一、直接法方法一、直接法方法二、分离常数法方法二、分离常数法的值域求函数例312:2xxy方法归纳：方法归纳：形如
6、y=(a0)函数的值域：ax+bcx+dRyacyy且,方法三、逆求法方法三、逆求法 例例3.3.求下列函数的值域：求下列函数的值域：321xyx练习：求函数练习：求函数 的值域的值域22321xyx方法四、图像法方法四、图像法 方法五方法五、配方法、配方法例例6.6.求函数求函数y=xy=x2 2+2x+5+2x+5的值域。的值域。方法归纳：方法归纳：形如形如y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0)a0)的值域，的值域，均可用此方法求。均可用此方法求。练习：练习：1 1 求求y=-xy=-x2 2-2x+3(-5x -2)-2x+3(-5x -2)的值域。的值域。2 2 求求 y=
7、-xy=-x2 2+x+2+x+2 的值域。的值域。方法六方法六、换元法、换元法练习：练习：求函数求函数y=2x+1-2x y=2x+1-2x 的值域。的值域。135xxy例例7.7.求下列函数的值域求下列函数的值域1265(1265,0231265)23(31)1(315,0)131,13max222，值值域域为为且且（则则解解：令令 ytttyttxxt归纳总结：归纳总结：形如形如y=ax+by=ax+b cx+d cx+d(a0,c 0)(a0,c 0)均可用代数换元法。均可用代数换元法。方法七、单调性方法七、单调性法法求函数的解析式一.待定系数法已知函数模型（如：一次函数，二次函数，等
8、）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数例例2 已知已知f(x)是二次函数，且是二次函数，且442)1()1(2xxxfxf求求).(xf解：解：cbxaxxf2)(设设cabxaxxfxf2222)1()1(24422xx1,2,1cba12)(2xxxf)0(a练习：1.的解析式求一次函数若)(,14)(xfxxff设：f（x）=ax+b，则f（f（x)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x-1a2=4,ab+b=-1a=2,b=或a=-2，b=1f（x）=2x-或f（x）=-2x+131312.已知函数 是一次函数，且经过(1，2)，（2，5）求函数 的解析式)(xf
9、)(xfy 设f（x）=ax+b，由题知：f（1）=2，f（2）=5即a+b=2,2a+b=5a=3，b=-1f（x）=3x+b二.配凑法把形如f(g(x)内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。一般的利用完全平方公式。已知f(g(x)的解析式,求f(h(x)的解析式,已知已知22)1(2 xxxf，求求 (3),3ffxfx及解解：22)1(2 xxxf1)1(2 x1122xx1)(2xxf223(3)1610yf xxxx 310f练习：练习：1.已知已知f(x+1)=x-3,求f(x)2.若xxxf2)1(，求)(xf的解析式1）f（x+1
10、）=x-3 =x+1-4 f（x）=x-42）1)1(1122)1(2 xxxxxxff（x）=x2-1，（x1）例1 已知 f()=+,求 f(x).xx+1x2x2+1x1f(x)=x2-x+1(x1).解:f()=+xx+1x2x2+1x1=1+x21x1=(+1)2-(+1)+1 x1x1并且 1,xx+1=()2-()+1 xx+1xx+1评注:若在给出的函数关系式中 与 的关系不明显时,要通过恒等变形寻找二者的关系.+x2x2+1x1xx+1三.换元法已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解析式。换元后要确定新
11、元t的取值范围。)(,23)1(2xfxxxf求求已知已知 令t=x+1，则x=t-1f（t）=f（x+1）=(t-1)2-3（t-1）+2 =t2-2t+1-3t+3+2 =t2-5t+6f(x)=x2-5x+6例例2.2.已知已知22)1(2 xxxf，求求(3),3ffxfx及解解：22)1(2 xxxf1)1(2 x1122xx1)(2xxf分析分析：这是含有未知函数：这是含有未知函数f(x)的等式，比较抽象。由函数的等式，比较抽象。由函数f(x)的定义可知，在函数的定义域和对应法则的定义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件不变的条件下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式
12、，对下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。方法一：方法一：223(3)1610yf xxxx 310f配凑法二、换元法 方法二：令1,1txxt 则 22212212121f tf xxxttt ，21f xx.223(3)1610yf xxxx 换元法注意点注意点：注意换元的等价性，即要求出：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围的取值范围.310f.练习练习.已知已知f（）=x2 2+5+5x,则则f(x)=)=.解析解析).()(),()()(),(,05105115101
13、10222 xxxxfttttttfttxtxx故故即即令令x1四.方程组法求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f（x）的解析式例3.设f(x)满足关系式求函数的解析式 123f xfxx xxfxfxxfxf3)(2)1(3)1(2)(解:令 xx1 联立方程，得：xxfxf13)(2)1(解得 xxxf2)(练习：若3f(x)+f(-x)=2x,求f(x).解:令x=-x,则3f（-x）+f（x）=2+x联立方程组，得：xxfxfxxfxf2)()(32)()(3解得：xxf2121 解方程组法例3 已知 f(x)+f()=1+x(x0,1),求 f(
14、x).xx-1解:记题中式子为式,用 代替中的 x,整理得:xx-1f()+f()=,xx-11-x1x2x-1再用 代替中的 x,整理得:1-x1f()+f(x)=,1-x11-x2-x解由,组成的方程组,得:2x(x-1)x3-x2-1f(x)=.例4.设f(x)满足关系式求函数的解析式.分析：如果将题目所给的 看成两个变量，那么该等式即可看作二元方程，那么必定还需再找一个关于它们的方程，那么交换 x与1/x形成新的方程 123f xfxx 1,fxfx123 (1)123132 (2)212 01111FxfxfxxFffffxxxxxxfxxxxx解：设有（）（）得【练习练习】（1 1
15、）设二次函数）设二次函数f(x)满足满足f(x-2)=-2)=f(-(-x-2)-2)，且图象在且图象在y轴上的截距为轴上的截距为1 1，被，被x轴截得的线段长为轴截得的线段长为 ，求，求f(x)的解析式；的解析式；（2 2）已知）已知（3 3）已知）已知f(x)满足满足2 2f(x)+=3)+=3x,求求f(x).).问题（问题（1 1）由题设）由题设f（x）为二次函数，）为二次函数，故可先设出故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；）的表达式，用待定系数法求解；问题（问题（2 2）已知条件是一复合函数的解析式，因此）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（可用换元法；问题
16、（3 3）已知条件中含）已知条件中含x，可用，可用解方程组法求解解方程组法求解.22);(,2)1(xfxxxf求)1(xfx1思维启迪思维启迪解解 :（1 1）f（x）为二次函数，）为二次函数，设设f(x)=)=ax2 2+bx+c(a0)0)，且，且f(x)=0)=0的两根为的两根为x1 1,x2 2.由由f(x-2)=-2)=f（-x-2-2），得），得4 4a-b=0.=0.由已知得由已知得c=1.=1.由、式解得由、式解得b=2,=2,a=,=,c=1,=1,f（x）=x2 2+2+2x+1.+1.84,22|4|22221aacbaacbxx又2121).()(,)()()().(
17、)(),()(,)(.1),()(1111111122111112111222222 xxxfxxxxxxxfxxxftttfxxxftxttx且且得得代入代入则则设设方法二方法一).0(12)(,36)(323)()1(23)1()(2,3)()1(2,1)3(xxxxfxxxfxxfxfxxfxfxxfxfxx所以得联立方程得换成把题目中的五.赋值法一般的，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的解析式。解：解：yyxyxfyxf22)()(已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)，对任意，对任意实数实数x,yx,y满足：满足：求求).(xf
18、，且且1)0(f得得令令yx xxxxff222)()0(1)(2xxxf练习：已知函数 对于一切实数 都有)(xfyx,xyxyfyxf)12()()(成立，且0)1(f1.求)0(f的值.)(.2的解析式求xf令x=1，y=0得f(1+0)-f(0)=(1+20+1)1即0-f(0)=2解得f(0)=-2令y=0得f(x+0)-f(0)=(x+20+1)x即f(x)-(-2)=x(x+1)解得f(x)=x2+x-2六.根据图象写出解析式观察图像的特点和特殊点，可用代入法，或根据函数图像的性质进行解题。注意定义域的变化。如下图，函数图象是两个部分抛物线构成，求函数的解析式解：当x 1时，函数图象是对称轴为x=2，顶点坐标为（2,1）的图象解析式为y=(x-2)2+1，x1当x1时，函数图象为是对称轴x=0，顶点坐标为（0,1）的图象解析式为y=x2+1，x1函数的解析式为y=(x-2)2+1，x1y=x2+1，x1f（x）的图象如图，则f（x）=当x-2,0)时，323 xyxy32 当x0,3时，f(x)=0,3,32-)0,2-,332xxxx
