1、第五章 三角函数 尖子生培优卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线之间，与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D，设弧FG的长为，若从平行移动到，则函数的图像大致是（ ）ABCD2已知，若存在使得集合中恰有3个元素，则的取值不可能是（ ）ABCD3函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）ABCD4已知点在函数（且，）的图像上，直线是函数图像的一条对称轴.若在区间上单调，则（ ）ABCD5已知函数，若存在实数、，使得，且，则的最大值为（ ）A9B8C7D56已
2、知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）ABCD7设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）ABCD8已知，给出下列结论：若f(x1)=1，f(x2)=1，且|x1x2|min=，则=1；存在(0，2)，使得f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；若f(x)在0，2上恰有7个零点，则的取值范围为；若f(x)在上单调递增，则的取值范围为.其中，所有正确结论的编号是（ ）ABCD二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题
3、意。9已知函数满足：对于任意实数，都有，且，则（ ）A是奇函数B是周期函数CD在上是增函数10已知函数，下列说法正确的有（ ）A函数在上单调递减B函数是最小正周期为的周期函数C若，则方程在区间内，最多有4个不同的根D函数在区间内，共有6个零点11水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满
4、足，则下列叙述正确的是（ ）A水斗作周期运动的初相为B在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加C在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是D当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为612设函数（，是常数，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（ ）A的周期为B的单调递减区间为C的对称轴为D的图象可由的图象向左平移个单位得到三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点，满足，则实数_.14已知函数，则下列说法正确的有_（将所有正确的序号填在答题卡横线上）是函数的一个周期；的图象关于点中心对称；在区间
5、上单调递减的值域为15在中，已知，其中.若为定值，则实数_.16已知函数，的图像在区间上恰有三个最低点，则的取值范围为_四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17已知函数的图象如图所示. （1）求的解析式；（2）若函数，当时，求的值域.18已知函数.（1）当时，函数的图象关于直线对称，求在上的单调递增区间；（2）若的图像向右平移个单位得到的函数在上仅有一个零点，求的取值范围19如图，在矩形中，点为的中点，分别为线段上的点，且（1）若的周长为，求的解析式及的取值范围；（2）求的最值20已知函数.(1)解不等式；(2)若，且的最小值是，求实数的值.21
6、对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”（1）若集合，求集合相对的“余弦方差”；（2）求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；（3）若集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、22如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；（1）当时，求四边形的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.参考答案1D【解析】依题意，正的高为1，则其边长，如图，连接OF，OG，过O作ONl1于N，交l于点M，过E作EHl1于H，因OF=1，弧FG的
7、长为，则，又，即有，于是得，因此，即，显然在上单调递增，且图象是曲线，排除选项A，B，而，C选项不满足，D选项符合要求，所以函数的图像大致是选项D.故选：D2A【解析】解：对A，当，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； 令时，所以存在使得时的值等于时的值，时的值等于时的值，时的值等于时的值.但是当等于、时，不存在使得这个值中的任何两个相等所以当时，集合中至少有四个元素，不符合题意，故A错误；对B，当，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； 令，所以当时，符合题意，故B正确；对C，当，函数的周期为在一个周期内，
8、对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；令，则，所以当时，符合题意，故C正确；对D，当，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，； 令，所以当时，符合题意，故D正确.故选：A.3D【解析】 ， ，又对于任意的都有， ， ，又， 或，当时， ，且，当时，若，则，在上不单调，C错误，当时， ，且，当时，若，则，在上不单调，A错误，当时，若，则，在上单调，D正确，故选：D.4C【解析】在区间内单调，得，所以是函数的零点，直线是函数的图象的一条对称轴，若，则，此时，得，满足条件，若，则，此时，得，不满足条件，综上可知，函数，是函数的图象的一条对称轴，即，故选：C5A【解析】因为，所以，即，
9、即，则，因为，所以，因为，所以的最大值为，故选：A.6C【解析】因为函数是偶函数，所以，即，解得，则，则，向左平移个单位长度后，得到，向上平移个单位长度，得到，当时，结合正弦函数对称性易知，在有两个不相等实根，则且，此时，实数的取值范围是，故选：C.7A【解析】解：函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，当，则，求得；当，方程在区间上有1个根，不满足题意；当，求得；当，则，方程在区间上有3个不同的根，满足条件，此时，当，方程在区间上有5个不同的根，不满足题意；当时，方程在区间上至少有5个不同的根，不满足题意综上，可得，故选：A
10、8D【解析】，的最小正周期为.对于 ：因为f(x1)=1，f(x2)=1，且|x1x2|min=，所以的最小正周期为T=2，. 故 错误；对于 ：图象变换后所得函数为，若其图象关于y轴对称，则，kZ，解得=1+3k，kZ，当k=0时，.故 正确；对于 ：设，当时，.在上有7个零点，即在上有7个零点.则，解得. 故错误；对于 ：由，得，取k=0，可得，若f(x)在上单调递增，则，解得.故 正确.故选：D.9AB【解析】解：对A，由 令，得 ，为奇函数，故A正确；对B，令，得是周期函数，故B正确；对C，当时，符合题意，但是，故C错误；对D，当时，符合题意，但是在上是减函数，故D错误.故选：AB.1
11、0ACD【解析】，为偶函数，当时，所以，又，由在为减函数可得在上单调递减，故A正确；当时，由可得，所以函数在且上为增函数，在且上为减函数，当时，由可得，所以函数在且上为增函数，在且上为减函数，做出函数图象如图，又因为函数为偶函数，故不是周期函数，故B错误；方程在区间内根的个数，等价于与的图象的交点个数，由图象可知最多有4个交点，故C正确；由函数图象可得在区间有6个零点，故D正确.故选：ACD.11AD【解析】对于A，由，知，所以；当时，点P在点A位置，有，解得，又，所以，故A正确；对于B，可知，当，所以函数先增后减，故B错误；对于C，当，所以点到轴的距离的最大值为6，故C错误；对于D，当时，的
12、纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确故选：AD12ABD【解析】由在区间上具有单调性知，的周期T满足，所以，又因为，所以，在同一个周期内且，故的一条对称轴为，又由知的一个对称中心为，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，所以，得，即，A正确又因为的一个对称中心为，所以，由知，故.，解得，B正确；，C错误；的图象向左平移个单位得，D正确故选：ABD13或【解析】解：由题知，直线与与函数的图象相交等价于直线与函数的图象相交设，所以，又由得：即化简得：由题知点和点的中点坐标为：当直线与函数的交点在轴上方，则即，化简得：由联立得：，所以即解得：当直线与函数的交点在轴下方，则即，化简得：由联立得：，所以即解
13、得：所以或故答案为：或.14【解析】对于，是函数的一个周期，正确；对于，所以，所以的图象不关于点中心对称，错误；对于，当时，函数单调递减，正确；对于，函数单调递增，由得函数在上单调递减，又，且由得是函数的一个周期，故函数的值域为，错误；故答案为：.15【解析】，恒成立，则，.故答案为：16【解析】解：，根据正弦型函数图象的特点知，轴左侧有1个或2个最低点若函数图象在轴左侧仅有1个最低点，则，解得，此时在轴左侧至少有2个最低点函数图象在轴左侧仅有1个最低点不符合题意；若函数图象在轴左侧有2个最低点，则，解得，又，则，故，时，在，恰有3个最低点综上所述，故答案为：17（1）（2）18（1）和（2）
14、解：因为，所以，由的图象关于直线对称，可得，所以解得，又因为，所以当时，.所以，令，解得，又由，所以，或，即在上的单调递增区间为和.（2）解：由已知得，令得，即，因为在上仅有一个零点，所以，由于，所以得，解得因为，所以，所以.19(1)；(2)【解析】(1)在中，则，又，即有，同理有，显然为锐角，因此，因为分别为线段上的点，当与点重合时，最大，此时，而为锐角，则，当点与重合时，最大，此时最小，同理可得最大值为，则，于是得的取值范围为，所以；(2)由(1)知，令，则，因，则，于是得，又，则，因在上单调递减，当，即时，当，即或时，所以.20(1)，；(2).【解析】(1)由，得，解集为，(2)，当
15、时，当且仅当时，取得最小值，这与已知不相符；当时，当且仅当时，取最小值，由已知得，解得；当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，解得，这与相矛盾.综上所述，.21（1）；（2）证明见解析，定值；（3），或，【解析】解：（1）依题意：；（2）由“余弦方差”定义得：，则分子为定值，与的取值无关（3）依题意，所以分子要使是一个与无关的定值，则，与终边关于轴对称或关于原点对称，又，得与终边只能关于轴对称，又，则当时，；当时，或，故，或，时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值22（1）；（2）5【解析】（1）连结，则四边形的面积为（2）由题意，在中，由正弦定理同理在中，由正弦定理令时，即，的最大值为5
