1、安徽淮南第四中学安徽淮南第四中学2020.10新课程标准新课程标准核心素养核心素养1.理解奇函数、偶函数的概念理解奇函数、偶函数的概念数学抽象数学抽象2.掌握判断某些函数奇偶性的方法掌握判断某些函数奇偶性的方法逻辑推理逻辑推理3.掌握奇偶函数的图象特征掌握奇偶函数的图象特征直观想象直观想象4.会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性逻辑推理逻辑推理【学法解读】【学法解读】1学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们的联系解析式等，加强它们的联系2学生应理解学生应理解“奇偶
2、性奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于点的中心对称还是关于y轴的轴对称轴的轴对称 在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数 y=x2 和和y=2-|x|的图象的图象并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。x-3-2-1 0123f(x)=x29 4 1 0 1 4 9xyo123123-1-2-3x-3-2-1 0123f(x)=|x|-1 0 1 2 1 0 -1xyo123123-1-2-3图象关于图象关于y轴对称轴对称自变量取互为相反数两个数
3、时，函数值相等，即自变量取互为相反数两个数时，函数值相等，即f(-x)=f(x)知识点知识点1 1函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数定义一般地，设函数一般地，设函数 f(x)的定义域为的定义域为A，如果对，如果对 xA，都有，都有-xA，且且f(-x)=f(x)，即，即f(x)的图像关于的图像关于y轴对称，那么就称轴对称，那么就称f(x)为为偶函数偶函数.偶函数的图象偶函数的图象关于关于y轴对称轴对称.思考思考1：(1)如果定义域内存在如果定义域内存在x0，满足，满足f(x0)f(x0)，函数函数f(x)是偶函数吗？是偶函数吗？不一定，必须对于定义域内的任意一个不一定，必须对于定义域内的任意一个x
4、都成立都成立(2).xA(A为定义域为定义域)，-xA说明什么？说明什么？偶函数的定义域偶函数的定义域关于关于原点原点对称对称.1.1.判断下列函数是否为偶函数判断下列函数是否为偶函数22(1)(),1,1.(2)(),1,1)f xxxf xxx 是是不是不是2.函数函数yf(x)，x1，a(a1)是是偶偶函数，则函数，则a等于等于()A1B0C1 D无法确定无法确定 观察函数观察函数 f(x)=x 和和f(x)=的图象，并完成下面的两个的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？1xxyo123123-1-2-
5、3xyo123123-1-2-3x-3-2-1 0123f(x)=x-3 -2-1 0 1 2 3x-3-2-1123f(x)=1x13-12-1312-11奇函数的定义奇函数的定义一般地，设函数一般地，设函数 f(x)的定义域为的定义域为A，如果对，如果对 xA，都有，都有-xA，且且f(-x)=-f(x)，即，即f(x)的图像关于的图像关于原点原点对称，那么就称对称，那么就称f(x)为为奇函数奇函数.奇函数图象特征：奇函数图象特征：奇函数的奇函数的图象关于图象关于原点原点对称对称，反之，一个函数的图象关于，反之，一个函数的图象关于原点原点对称，那么它是奇函数对称，那么它是奇函数 如果一个函
6、数如果一个函数f(x)是奇函数或偶函是奇函数或偶函数，那么我们就说函数数，那么我们就说函数f(x)具有具有奇偶性奇偶性.定义法定义法:先看定义域是否关于原点对称先看定义域是否关于原点对称,再看再看f(-x)与与f(x)的关系的关系.图象法图象法:看图象是否关于原点或看图象是否关于原点或y轴对称轴对称.例例1：判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：4)(1xxf）（5)(2xxf=）（2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf 偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数既是奇函数又是既是奇函数又是偶函数偶函数非奇非偶非奇非偶奇函数奇函数图
7、象法图象法奇函数奇函数偶函数偶函数Oxy0 xy0 xy0 xy0 xy0 xy知识点知识点2函数的奇偶性应用函数的奇偶性应用题型一题型一奇偶函数图象的应用奇偶函数图象的应用例例1.已知奇函数已知奇函数f(x)的定义域为的定义域为5,5，且在区间，且在区间0,5上的图象如图所示上的图象如图所示(1)画出在区间画出在区间5,0上的图象；上的图象；(2)写出使写出使f(x)0的的x的取值集合的取值集合xyo123123-1-2-3-4-545(2)由图象知，使函数值由图象知，使函数值y0时时，f(x)x22x3，f(x)f(x)(x22x3)x22x3已知已知f(x)是定义在是定义在R上的偶函数，
8、当上的偶函数，当x0时，时，f(x)=，试求，试求f(x)的解的解析式析式.2x+1解：解：设设x0，则，则x0，f(x)=f(-x)=2-x+12-x+1 x0 x0 2x+1f(x)=即即 f(x)=2|x|+1利用奇偶性求函数解析式的关注点利用奇偶性求函数解析式的关注点(1)“求谁设谁求谁设谁”,即在哪个区间求解析式即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内就设在哪个区间内.(2)(2)利用已知区间的解析式代入利用已知区间的解析式代入.(3)利用利用f(x)的奇偶性写出的奇偶性写出-f(x)或或f(-x),从而解出从而解出f(x).【跟踪训练】【跟踪训练】1.已知已知y=f(x)是定义在是
9、定义在R上的奇函数上的奇函数,当当x0时时,f(x)=x(x-2),则当则当x0时时,f(x)的解析式为的解析式为()A.f(x)=x(x-2)B.f(x)=x(x+2)C.f(x)=-x(x-2)D.f(x)=-x(x+2)D2.已知已知f(x)是是R上的偶函数，当上的偶函数，当x(0，)时，时，f(x)x2x1，求求x(，0)时，时，f(x)的解析式的解析式解析解析设设x0，f(x)(x)2(x)1x2x1，f(x)为偶函数，为偶函数，f(x)f(x)，f(x)x2x1.当当x(，0)时，时，f(x)x2x1.题型题型三三函数奇偶性与单调性的关系函数奇偶性与单调性的关系角度角度1：比较大小
10、：比较大小例例3定义在定义在R上的偶函数上的偶函数f(x)满足满足：对任意：对任意x1,x20，)(x1x2)，有有 0，则，则 ()A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)0,则当则当nN*时时,有有()A.f(-n)f(n-1)f(n+1)B.f(n+1)f(-n)f(n-1)C.f(n-1)f(-n)f(n+1)D.f(n+1)f(n-1)f(-n)角度角度2：解不等式：解不等式例例4.定义在定义在(1,1)上的奇函数上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，在整个定义域上是减函数，若若f(1a)f(13a)0，求实数
11、，求实数a的取值范围的取值范围解析解析原不等式化为原不等式化为f(13a)f(1a)因为因为f(x)是奇函数，所以是奇函数，所以f(1a)f(a1)所以原不等式化为所以原不等式化为f(13a)f(a1)转化为转化为f()f()因为因为f(x)是减函数，且定义域为是减函数，且定义域为(1,1)，利用区间单调性利用区间单调性列不等式组列不等式组 已知定义在已知定义在2，2上的奇函数上的奇函数f(x)在区间在区间0，2上是减函数上是减函数，若若f(1m)f(m)，求实数求实数m的取值范围的取值范围解因为因为f(x)在区间在区间2，2上为奇函数，且在区间上为奇函数，且在区间0，2上是减函数，所以上是减
12、函数，所以f(x)在在2，2上为减函数上为减函数又又f(1m)f(m)，故实数故实数m的取值范围是的取值范围是1，)因为函数因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且在实数集上是偶函数，且f(3)f(2a1)，所以，所以f(3)f(|2a1|)，又函数，又函数f(x)在在0，)上是增函数，所以上是增函数，所以31或或a0，则则x的取值范围是的取值范围是_(1，3)3.已知已知f(x)是定义在是定义在R上的奇函数上的奇函数.当当x0时，时，f(x)=x2-4x，则，则不等式不等式f(x)x的解集用区间表示为的解集用区间表示为 (-5,0)(5,+)4.偶函数偶函数y=f(x)在在0,+)上是减函数上
13、是减函数,且满足且满足f(2x)f(x+1),则则x的取值范围为的取值范围为_.f(2x)f(x+1)f(|2x|)f(|x+1|)|2x|x+1|,变形可得变形可得:3x2-2x-10,(，1)135.已知已知f(x)x5ax3bx8，且，且f(2)10，则，则f(2)等于等于()A26B18C10D10令令g(x)x5ax3bx，易知，易知g(x)是是R上的奇函数，从而上的奇函数，从而g(2)g(2)，又又f(x)g(x)8，f(2)g(2)810，g(2)18，g(2)g(2)18.f(2)g(2)818826.6.设设f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，且当上的奇函数，且当x0时，时
14、，f(x)x2.若对任意的若对任意的xa，a2，不等式，不等式f(xa)2f(x)恒成立，恒成立，则实数则实数a的取值范围是的取值范围是_.已知已知f(x)，g(x)均为均为R上的奇函数，且上的奇函数，且F(x)af(x)bg(x)2在区间在区间(0，)上的最大值为上的最大值为8，则在区间，则在区间(，0)上的最上的最小值为小值为_.因为因为f(x)和和g(x)的具体表达式并没有给出，因此应充分利用的具体表达式并没有给出，因此应充分利用“f(x)，g(x)均为均为R上的奇函数上的奇函数”这一条件，构造一个新函这一条件，构造一个新函数来间接求解数来间接求解由由f(x)，g(x)均为均为R上的奇函
15、数，知上的奇函数，知af(x)bg(x)为为R上的奇函数上的奇函数由由F(x)af(x)bg(x)2在在(0，)上的最大值为上的最大值为8，得得F(x)2af(x)bg(x)在在(0，)上的最大值为上的最大值为6.根据奇函数的性质可知根据奇函数的性质可知F(x)2af(x)bg(x)在在(，0)上的最小值为上的最小值为6，故，故F(x)af(x)bg(x)2在在(，0)上的最小值为上的最小值为624.题型题型四四函数图像的对称性函数图像的对称性2.函数函数f(x)的图像关于点对称的图像关于点对称若函数若函数f(x)对定义域内任一对定义域内任一x，都有，都有(1)f(ax)f(ax)yf(x)的
16、图像关于点的图像关于点(a，0)对称；对称；(2)f(x)f(ax)yf(x)的图像关于点的图像关于点(,0)对称；对称；(3)f(ax)f(bx)yf(x)的图像关于点的图像关于点(,0)对称对称a2a+b21.已知函数已知函数f(x1)是偶函数，则函数是偶函数，则函数f(x)的对称轴是的对称轴是 直线直线x12.已知函数已知函数f(x1)是奇函数，则函数是奇函数，则函数f(x)的对称中心是的对称中心是 (1，0)f(x1)是奇函数，是奇函数，f(-x1)=-f(x1)，即，即f(-x1)+f(x1)=0f(x1)表示是表示是f(x)向左平移一个单位向左平移一个单位3.若函数若函数f(x)x
17、2axb满足对于任意的实数满足对于任意的实数x都有都有f(1x)f(1x)，且且f(x)的最小值为的最小值为2，求实数，求实数a，b的值的值 f(x1)=f(1-x)，关于直线，关于直线x=1对称，且最小值为对称，且最小值为-2，则则f(x)=(x-1)2-2=x2-2x-1，a=2，b=1已知函数已知函数f(x)对于任意的实数对于任意的实数x、y，都有，都有f(xy)f(x)f(y)(1)求求f(0)的值；的值；(2)试判断函数试判断函数f(x)的奇偶性；的奇偶性；(3)若若x0都有都有f(x)0，试判断函数的单调性，试判断函数的单调性(1).f(0)=0(2)令令y=-x，则，则f(x-x)f(x)f(-x)=0，奇函数，奇函数设设0 x1x2，则，则x2 x10 ，f(x2)f(x1)0，f(x2)=f(x2x1)+x1=f(x2x1)+f(x1)f(x1)，函数函数 是增函数是增函数
