1、3.2.1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值（第一课时）（第一课时）教学目标函数单调性的概念及判断（重点）01 函数单调性概念的形成（难点）02 掌握证明简单函数单调性的方法（重点、难点）03能够正确使用区间表示数集04 函数的单调性函数的单调性学科素养 函数的单调性概念数学抽象 通过观察函数局部图像的变化，判断函数的单调性直观想象 利用定义证明函数的单调性逻辑推理函数定义域的求解数学运算数据分析数学建模 函数的单调性函数的单调性01Retrospective Knowledge 函数的单调性函数的单调性函数的三种表示函数的三种表示：解析法解析法:对应关系清楚、简明、全面;通过解析式可
2、求出任意自变量对应的函数值，便于研究函数性质.列表法列表法:不用计算，看表就知道函数值;但当自变量较多时，列表不易实现.图像法图像法:形象、直观地表示出函数的变化情况形象、直观地表示出函数的变化情况;但求函数值比较困难，只能求近似值，且误差较大.02New Knowledge explore 函数的单调性函数的单调性 前面我们学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)，xA是描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，也就是事物运动变化规律的数学模这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中相应事物的变化规律 因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值增大还是减小，有没有最大值或
3、最小值，函数图像有什么特征等，是认识客观规律的重要方法 函数的单调性函数的单调性 在初中，我们利用函数的图像研究过函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调接下来我们进一步用符号语言刻画这种性质 观察函数y=x，y=-x，y=x2的图像，分析自变量变化时，函数值有什么变化规律？函数的单调性函数的单调性先研究 f(x)=x2的单调性 从左往右看，y轴左侧部分是下降的，y轴右侧部分是上升的；当x0时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大；任意取x1，x2(-，0，得到f(x1)=x12，f(x2)=x22，当x1f(x2)这时我们就说函数f(x)=x2在区间(
4、-，0上是单调递减的 任意取x1，x20，+)，得到f(x1)=x12，f(x2)=x22，当x1x2时，有f(x1)f(x2)这时我们就说函数f(x)=x2在区间0，+)上是单调递增的 函数的单调性函数的单调性 函数f(x)=|x|，f(x)=-x2各有怎样的单调性？y=-x2y=|x|函数的单调性函数的单调性 设函数f(x)的定义域为I，区间DI，x1，x2D，且x1x2，如果都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上单调递减xy01x2x)(1xf)(2xf)(xfy 函数的单调性函数的单调性特别的，函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数；函数f(x)在它的
5、定义域上单调递减时，我们称它是减函数 我们说一个函数f(x)的增函数或减函数，一定说在定义域上某个区间上的增（减）函数 如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间 函数的单调性函数的单调性 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且x1，x2 A，当x1x2时都有f(x1)f(x2)，我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？3214答：不能，如图，取A=1，2，3，4，D=1，4，1，2且x1x2时，都有f(x1)f(x2)，但f(x)在区间1，4不是单调函数 函数的单调性函数的单调性
6、 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增（减）的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？如f(x)=2x-1，在(-，+)上为增函数；如f(x)=-x2-2x，在(-，-1上单调递增，在-1，+)上单调递减 如f(x)=x2-2x，在(-，1上单调递减，在1，+)上单调递增；如f(x)=-x+1，在(-，+)上为减函数；函数的单调性函数的单调性(1).若f(-1)f(1)()(3).若函数yf(x)在区间(1,2和(2,3)上均单调递增，则函数yf(x)在 区间(1,3)上单调递增()(4).函数f(x)x2-4
7、x+1在区间3,+)上单调递增()(5).函数f(x)x2-4x+1的单调递增区间为：3,+)()(6).若函数yf(x)在区间D上单调递增，则y-f(x)在区间D上单调递减.()练习练习1 判断下列说法是否正确 函数的单调性函数的单调性练习练习2 如图是定义在区间-5,5上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调递增区间和单调递减区间【解析】yf(x)单调递减区间为：5,2)，1,3)；单调递增区间为：2,1)，3,5能不能说的单调递减区间为：能不能说的单调递减区间为：5,5,2)2)1,3)1,3)？函数的单调性函数的单调性特别提醒：特别提醒：1单调区间D定义域I；2函数单调性关注的是整个
8、区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间 端点不属于定义域则只能开；3遵循最简原则，函数单调区间应尽可能大；4函数在区间a,b上单调递增（减），在区间c,d上也单调递增（减），该函数在a,bc,d上不一定单调递增（减），故在作答函数的单调递 增（减）区间的时候通常不能用“”这个符号 函数的单调性函数的单调性 例题例题1 1 根据定义,研究函数f(x)=kx+b(k0)的单调性【分析分析】根据函数单调性的定义，需要考察当根据函数单调性的定义，需要考察当x1x2时时，f(x1)f(x2).根据实数大小关系的基本事实，只要考察根据实数大小关
9、系的基本事实，只要考察f(x1)-)-f(x2)与与0 0的大小关系的大小关系.，则，且，证明：2121xxRxx)()()()(2121bkxbkxxfxf,02121x-xxx，所以因为,0)()(0)1(21xfxfk时，当),()(21xfxf即.)(上的增函数是所以Rbkxxf,0)()(0)2(21xfxfk时，当),()(21xfxf即.)(上的减函数是所以Rbkxxf 函数的单调性函数的单调性例题例题2 2 物理学中的玻意耳定律 ,(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明 Vkp【分析分析】根据题意，只要证明函数根据题意
10、，只要证明函数 是减函数即可是减函数即可.，则，且，证明：设2121),0(VVVV21122121)(VVVVkVkVkpp，所以，且，因为2121),0(VVVV，001221VVVV，又0k.02121pppp，即所以.),0(,是减函数所以VVkp即当其体积V减少时，压强p将增大 函数的单调性函数的单调性 例例3 3 根据定义证明函数 在区间(1,+)上单调递增 1f xxx，则，且，证明：设2121),1(xxxx)1()1()()(221121xxxxxfxf2112212121)()11()(xxxxxxxxxx)1)()11)(2121212121xxxxxxxxxx，因为21
11、1xx,1,02121xxxx所以,0121xx所以).()(,0)()(2121xfxfxfxf即所以.)1(1)(单调递增，在所以xxxf假设假设作差作差变变形形定定号号定论定论 函数的单调性函数的单调性（1）设x1，x2是某个区间上两个数且x1x2;（2）作差：f(x1)f(x2);（3）化简变形：分解因式,得出因式乘积；配成同号的式子和；（4）判断 f(x1)f(x2)的符号；（5）作结论 函数的单调性函数的单调性（1 1）图象法）图象法:看图象从左向右是上升还是下降；（2 2）定义法；）定义法；若函数yf(x)和yg(x)都在区间D上单调递增（减），则函数 yf(x)+g(x)在区间
12、D上单调递增（减）若函数yf(x)在区间D上单调递增（减），则函数y-f(x)在 区间D上单调递减（增）03Expansion And Promotion 函数的单调性函数的单调性上的减函数是定义在【解析】因为Rxf)(axxax31 时，且当,310aaa所以.210 a所以【拓展【拓展1 1】若 是定义在(0,+)上的减函数，则实数a的取值范围为 .1,310,)(xaxxxaxf也单调递减，在单调递减在所以),1(,)1,0()(xf 函数的单调性函数的单调性【拓展【拓展2 2】(1)已知函数f(x)x22(a1)x2的单调递减区间为(,4，则实数a的值为：_.【解析】（1）因为f(x)
13、x22(a1)x2的图像开口方向向上，对称轴方程为x1a，所以f(x)x22(a1)x2的单调递减区间为(，1a，又f(x)x22(a1)x2的单调递减区间为(，4，所以4=1a，所以a=3.函数的单调性函数的单调性【解析】(1)f(x)x22(a1)x2的开口方向向上，对称轴方程为x1a，所以f(x)x22(a1)x2的单调递减区间为(，1a，又f(x)x22(a1)x2在区间(，4上单调递减，所以(，4(，1a，所以41a，所以a3，所以实数a的取值范围是(，3.ax1【拓展【拓展2 2】(2)已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上单调递减，则实数a的取值范围为_.注：函数在某区
14、间单调递增（减）注：函数在某区间单调递增（减）,则该区间为函数的单调递增（减）区间的子区间则该区间为函数的单调递增（减）区间的子区间.函数的单调性函数的单调性【拓展【拓展3 3】(2)已知f(x)是定义在R上的减函数，记a=f(x2-2x),b=f(-x2+2x-2),c=f(-1),则a，b，c的大小关系为：_.,11)1(222xxx【解析】因为,11)1(2222xxx上的减函数，是定义在又Rxf)(,212222xxxx即),2()1()22(22xxffxxf所以.acb即已知函数已知函数f(x)在区间在区间D上单调上单调（或（或），若），若x1,x2D,且且x1x2，则，则f(x1
15、)f(x2)或或f(x1)f(x2).函数的单调性函数的单调性【拓展【拓展4 4】已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x22)f(x)，则x的取值范围是_.)()2()(2xfxfRxf上的增函数，且是定义在【解析】因为02222xxxx，即所以,12,0)1)(2(xxx所以所以.12:），（的取值范围为即x已知函数已知函数f(x)在区间在区间D上单调上单调（或（或），若），若x1,x2D,且且f(x1)f(x2)则则x1x2，（或，（或x1x2）.04Sum Up 函数的单调性函数的单调性1 1、增函数与减函数的定义、增函数与减函数的定义:设函数f(x)的定义域为I，区间DI,x1,x
16、2D,且x1x2 ，如果都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递减.2 2、判断函数单调性的方法、判断函数单调性的方法（1 1）图象法：看图象从左向右是上升还是下降）图象法：看图象从左向右是上升还是下降（2 2）用定义证明函数单调性的步骤：）用定义证明函数单调性的步骤：取值取值 作差变形定号结论作差变形定号结论若函数yf(x)和yg(x)都在区间D上单调递增(减),则函数yf(x)+g(x)在区间D上单调递减(增）.若函数yf(x)在区间D上单调递增(减),则函数y-f(x)在区间D上单调递减(增）.3 3、函数在某区间单调递增（或递减），则该区间为函数的单调递增（或递减
17、）区间的、函数在某区间单调递增（或递减），则该区间为函数的单调递增（或递减）区间的 子区间子区间.05Homework After Class 函数的单调性函数的单调性P85 习题3.2 第1题、第8题（1）（2）函数的单调性函数的单调性1.已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，求实数a的取值范围.2.若函数 是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围为_ 1,1,413xaxxaxaxf，4.已知f(x)是定义在(0,)上的减函数，则不等式f(x-1)f(x2-3)的解集为：_.3.已知函数f(x)|2x+a|（1）若f(x)的单调递增区间为3,+)，则实数a的值为：_.（2）若f(x)在区间3,+)上单调递增，则实数a的取值范围为：_.
