1、3.2.2 奇偶性奇偶性2()()f xxg xx请大家观察和的图象，有什么共同的特征吗？【问题问题1.1】一一yxo2()f xxyxo()g xx关于关于y轴对称轴对称x-3-2-10123941014932101232()f xx()g xxf(1)=f(-1)f(2)=f(-2)f(3)=f(-3)x-3-2-10123941014932101232()f xx()g xx【问题问题1.2】一一我们发我们发现表格中列出的点具有上述性质，现表格中列出的点具有上述性质，那么表格中没有出现的点是否也具有相同那么表格中没有出现的点是否也具有相同的性质呢？比如的性质呢？比如f(1.3)=f(-1
2、.3),()()xRfxf x 事实上，具备这样特征的函数，我们称为偶函数.【问题问题1.1】一一如如何用符号语言表述何用符号语言表述“函数图像关于函数图像关于y轴对称轴对称”这这一特征一特征呢？呢？一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果 x I，都有-x I,且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数1()()f xxg xx请大家观察和的图象，有什么共同的特征吗？【问题问题2.1】二关于原点对称关于原点对称yxo()f xxyxo1()g xxx-3-2-10123-3-2-10123-101()f xx1()g xx13121213f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)
3、f(-3)=-f(3)x-3-2-10123-3-2-10123-101()f xx1()g xx同样地，表格中没有出现的其它点同样地，表格中没有出现的其它点也符合上述规律，比如也符合上述规律，比如f(1.3)=f(-1.3)具备这样特征的函数，我们称为具备这样特征的函数，我们称为奇函数奇函数.13121213如如何用符号语言表述何用符号语言表述“函数图像关于原点对称函数图像关于原点对称”这这一特征一特征呢？呢？一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果 x I，都有-x I,且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数【问题问题2.2】二 一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果 x
4、 I，都有-x I,且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果 x I，都有-x I,且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数【问题问题3.1】三?I 如何理解定义中的“x I，都有-x奇函数、偶函数的定义域关于原点对称.【问题问题3.1】三?I 如何理解定义中的“x I，都有-x【问题问题3.2】三定义中“”可以删去吗？为什么？显然不可以，函数的奇偶性体现了显然不可以，函数的奇偶性体现了函数的整体性质，即它要求定义域函数的整体性质，即它要求定义域中的任意一个自变量都具有这样的中的任意一个自变量都具有这样的特性特性.【问题问题3
5、.3】三奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？相同点相同点:(1)定义域关于原点对称定义域关于原点对称.(2)都是函数的整体性质都是函数的整体性质.【问题问题3.3】三奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？不同点：不同点：（1）当自变量取一对相反数时，偶函数的函）当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等，而奇函数的函数值是一对相反数数值相等，而奇函数的函数值是一对相反数.（2）偶函数的图象关于轴对称）偶函数的图象关于轴对称,而奇函数的而奇函数的图象关于原点对称图象关于原点对称.【问题问题3.3】三偶函数定义中的f(-
6、x)=f(x)和奇函数定义中的f(-x)=-f(x)还有其他等价的数学表达形式吗？=+=设函数f(x)的定义域为I,则有：f(x)是偶函数x I，-x I,且f(-x)-f(x)0.f(x)是奇函数x I，-x I,且f(-x)f(x)0.上述的形式在判断某些函数的奇偶性时非常有用.41.例 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=xRR 解：函数f(x)的定义域为R,x，都有-x,且f(-x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数【问题问题4.1】四4(0).x 如果函数改为g(x)=x那么g(x)还是偶函数吗？0+,显然不是.此时函数g(x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数g(x)不具有奇
7、偶性.判断一个函数的奇偶性可按如下步骤：判断一个函数的奇偶性可按如下步骤：（1）求出函数的定义域）求出函数的定义域.（2）判断定义域是否关于原点对称，）判断定义域是否关于原点对称，若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；若是，则进行第三步若是，则进行第三步.=第三步：xI（I为定义域），计算f(-x)若f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数；若f(-x)f(x)，且f(-x)-f(x)，则f(x)即不是奇函数也不是偶函数；若f(-x)f(x)，且f(-x)-f(x)，则f(x)即是奇函数也是偶函数.特别地，证明一个
8、函数是奇函数特别地，证明一个函数是奇函数或者偶函数要对定义域中任意或者偶函数要对定义域中任意一个自变量都成立，一个自变量都成立，但证明函数不是奇函数或偶函数但证明函数不是奇函数或偶函数只需要举出一个反例即可只需要举出一个反例即可.1.1+x例 判断下列函数的奇偶性.（2）f(x)=x()0,0,0,()()().f xx xxx xxx xfxf xf x 解：函数定义域为都有-且为奇函数1.x例 判断下列函数的奇偶性.（3）f(x)=00()0,40,40,().f xx xxx xxx xf x 解：函数定义域为-函数即不是奇函数也不是偶函数1.例 判断下列函数的奇偶性.（4）f(x)=0
9、 解：函数f(x)定义域为R,如果 xR，都有-xR,且f(-x)=f(x)=-f(x)，函数f(x)既是奇函数也是偶函数.32(1)().f xxx例判断函数的奇偶性RR 解：函数f(x)的定义域为R,如果 x，都有-x,且f(-x)=-f(x)，函数f(x)为奇函数32(2)()()f xxxf x例下图是函数图象的一部分，你能根据函数的奇偶性画出它在y轴左侧的图象吗？奇函数奇函数yxoyxo关于原点对称关于原点对称例例2 (3)一般地，如果知道一般地，如果知道f(x)为偶（奇）函数，为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？那么我们可以怎样简化对它的研究？如果已经确定了函数如果已经
10、确定了函数f(x)具有奇偶性，具有奇偶性，那么我们可以只研究这个函数在那么我们可以只研究这个函数在一半定义域上的图象和性质，再一半定义域上的图象和性质，再借助函数的奇偶性得到借助函数的奇偶性得到整个定义域上的图象及性质整个定义域上的图象及性质.小结小结上节课我们研究了函数的单调性，上节课我们研究了函数的单调性，今天我们探究了函数的奇偶性，今天我们探究了函数的奇偶性，那么函数的奇偶性有什么作用？那么函数的奇偶性有什么作用？小结小结如果一个函数具有奇偶性，那么我们可如果一个函数具有奇偶性，那么我们可以利用它在图象上的对称性，更加简洁以利用它在图象上的对称性，更加简洁地得到这个函数的图象；并且可以与函地得到这个函数的图象；并且可以与函数的单调性一起，去研究这个函数更多数的单调性一起，去研究这个函数更多的性质的性质.作业：作业：课本课本85页页 练习练习1,2
