1、2.2 基本不等式（第一课时）基本不等式（第一课时）教学目标推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义（重点、难点）01 会用基本不等式解决简单问题（重点、难点）02 0304基本不等式基本不等式学科素养 基本不等式的形式以及推导过程数学抽象运用图像解释基本不等式 直观想象通过图形，分析法与综合法等证明基本不等式逻辑推理准确熟练运用基本不等式数学运算数据分析将问题转化为基本不等式解决数学建模基本不等式基本不等式01Retrospective Knowledge等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质1不等式与不等关系：不等式与不等关系：用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的
2、转化2比较两个实数大小关系的依据：比较两个实数大小关系的依据：3作差比较法：作差比较法：作差 变形 判断符号 作出结论000babababababa性质别名性质内容注意1对称性abab，bcac3可加性abacbc4可乘性ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd同向6同向同正可乘性ab0，cd0acbd同向 同正 7可乘方性ab0anbn(nN*，n2)8可开方性ab0 (nN*，n2)nnba 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质02New Knowledge explore基本不等式基本不等式 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图
3、设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客思考：思考：把上图的“风车”抽象成右图（正方形中有4个全等的直角三角形），你能在这个图中找出些正方形面积与直角三角形面积的相等关系和不等关系吗?基本不等式基本不等式 设直角三角形的两直角边的长分别为 a，b那么正方形的边长为 ，这样4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为 ，由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式：22ba 22ba abba222DABCabE(FGH)当且仅当E、F、G、H四点重合即a=b时，四个直角三角形面积和等于正方形面积，即：abba222基本不等式基本不等式 a,bR，有a
4、2+b2 2ab （当且仅当（当且仅当a=b时，等号成立）时，等号成立）另证：因为另证：因为a2+b22ab=(ab)2 0,所以所以a2+b2 2ab.（当且仅当（当且仅当a=b时，等号成立）时，等号成立）基本不等式基本不等式如果a0，b0，我们用 分别代替上式中的a，b，可得到:ba,）（002 baabba,通常把上式写作：（当且仅当（当且仅当a=b时，等号成立）时，等号成立）（0,02babaab a,bR，有a2+b2 2ab （当且仅当（当且仅当a=b时，等号成立）时，等号成立）重要不等式重要不等式 基本不等式基本不等式 通常称上述不等式为基本不等式基本不等式其中，叫做正数a，b的
5、算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数2baab基本不等式基本不等式）（002 baabba,（当且仅当（当且仅当a=b时，等号成立）时，等号成立）基本不等式基本不等式 如图如图,AB,AB是圆的直径，是圆的直径，C C是是AB上任一点，上任一点，AC=a,CB=b b,过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE，连接，连接AD,BD,你能利用这个你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释？图形，得出基本不等式的几何解释？探究探究如图，可证ACDDCB，则CD=，半径为 ，圆的半径大于或等于CD，用不等式表示为 ，当且仅当点C与圆心重合，即当ab时，上述不等式的等号成立ab2ba abba 2
6、基本不等式基本不等式证明：（当且仅当a=b时，等号成立）（002 baabba,证明：证明：要证要证 abba 2当且仅当当且仅当a=b时，不等式中的等号成立时，不等式中的等号成立只要证只要证 abba2只要证只要证 02abba只要证只要证 显然成立显然成立.02)(ba所以原不等式成立所以原不等式成立该证明该证明 方法称为方法称为0)(2 ba证明：02 abbaabba2 abba 2当且仅当当且仅当a=b时等号成立时等号成立.基本不等式基本不等式不等式适用范围a,bRa0,b0文字叙述两数的平方和不小于他们积的两倍两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数“=”成立的条件 a=babb
7、a222abba 2基本不等式基本不等式【例1】已知x 0，求 的最小值xx1,0 x【解析】因为,2121 xxxx所以.,11等号成立时，即当且仅当xxx.2因此所求最小值为基本不等式基本不等式【例2】已知x，y都是正数，求证：（1）若xy 等于定值P，那么当x=y时，x+y取得最小值 ；P2时，等于定值证明：当Pxy.2 Pyx所以，有Pxyyx2.2 Pyxyx取得最小值时，所以当基本不等式基本不等式【例2】已知x，y都是正数，求证：(2)若x+y等于定值S，那么当x=y时，xy 取得最大值 .42S时，等于定值证明：当Syx.42Sxy 所以，有22syxxy.4S2取得最大值时，所
8、以当xyyx 基本不等式基本不等式利用基本不等式求最值时，需满足利用基本不等式求最值时，需满足:（1）a，b必须是正数.（正）（正）（2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值；当ab为定值时，便可求a+b的最小值.（定）（定）（3）当且仅当a=b时，等式成立.（取等）（取等）基本不等式基本不等式【练习】已知x，y都是正数，且xy，求证：21 xyyx)(，所以证明：因为0,0,xyyxyx22xyyxxyyx所以.时，等号成立，即当且仅当yxxyyx.2xyyx所以，又yx 基本不等式基本不等式,0,yxyx且证明：因为xyyxxy2所以 xyyxxy 22【练习】已知x，y都是正数，且xy，
9、求证：，所以02xyyx，所以xyyx211，又02xy，所以xyxyxyyxxy22203Expansion And Promotion04Sum Up基本不等式基本不等式重要不等式基本不等式 Rbaabba,2220,02babaab等号成立的条件当且仅当a=b时，等号成立已知x,y都是正数，(1)若xy 等于定值P，那么当x=y时，x+y取得最小值 ；(2)若x+y等于定值S，那么当x=y时，xy 取得最大值 .P242S基本不等式基本不等式利用基本不等式求最值时，需满足利用基本不等式求最值时，需满足:（1）a，b必须是正数.（正）（2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值；当ab为定值时，便可求a+b的最小值.（定）（3）当且仅当a=b时，等式成立.（取等）05Homework After Class基本不等式基本不等式1.已知x0，求 的最小值及相应的x值12xx2.已知x,y0，x+2y=4，求 的最大值及相应的x,y值xy3.已知0 x1，求x(1x)的最大值及相应的x值
