1、2.1 基本不等式 第3课时 基本不等式的应用 2 复习与回顾1.重要不等式式和基本不等式各是怎样的？有何异同？重要不等式基本不等式内容变形本质适用范围文字叙述“=”成立条件当且仅当a=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数任意两实数的平方和不小于它们积的2倍 a,bRa0,b0222abab两个数差的平方数非负 2.用基本不等式求最值的条件是什么？什么样的代数式可以用基本不等式求最值？一正二定三相等(1)a、b要同为正数；(2)求a+b的最值时,ab应为定值;求ab的最值时,a+b应为定值；(3)当a=b时,2()2ab 2()2ababab 由得，有最大值：2ab2ababab 由得
2、，有最小值：若代数式可以化为两正数之和且积为定值的形式，或是两正数之积且和为定值的形式，并在这两正数可以取得相等时，就可以用基本不等式来求其最值。3.用基本不等式求最值我们已学习过的哪些类型？如果一个代数式不能直接用用基本不等式求最值，我们可以怎样进行变形？探究新知(一)1:本 题 中 的 代 数 式 是 两 个 正 数 和 的 形 式 吗，是两 个 正 数 积 的 形 式 吗？你 认 为 应 怎 样 变 形？思 考为 什 么？解：(1)(1)31xx 2241xxx 2(1)31xx 32(1)1xx 2 3 当且仅当，131xx 所求的最大值为.9例利 用 基 本 不 等 式 解 决 下
3、列 问 题：已 知 ，求 的 最 小 值21.(1);2411xxxx 即 时等号成立-13x 可将化为含有两正数和的形式，且这两正数的积为定值.2251xxx 是一次式，是二次式，且 22212424(1)3xxxxxx解:(2)例利 用 基 本 不 等 式 解 决 下 列 问 题：求已 知 ，求的 最 小 值已 知 ，的 最 大 值。221.24149(1);(2)10 xxxxxxx 思考2:(2)中的代数式与(1)中的代数式有何不同？你能否仿照(1)题的方法来解？(1)中代数式的分子是二次，分母是一次，而(2)中代数恰好相反，因此可以用(1)的方法先求出式子倒数的最值。249 xx 2
4、94xx 12 当且仅当，49xx 所 求 的 最 大 值 为11223x即 时等号成立 94xx 249xx 11 2 由得出的根据是什么思考221213?:124949xxxx 思考4:(2)题还有别的解法吗？另解:(2)例利 用 基 本 不 等 式 解 决 下 列 问 题：求已 知 ，求的 最 小 值已 知 ，的 最 大 值。221.24149(1);(2)10 xxxxxxx 249xx 149 xx 49xx 149 xx 11 2 42912xx 49,xx 当 且 仅 当23x 即 当时 等 号 成 立。所求的最大值为112思考4:(2)题还有别的解法吗？0,0 xy 19196
5、2xyxyxy 2xyxy 由不等式的性质得196)(212xyxyxyxy （）12xy 的最小值为解：思考5：(1)这种解法有什么问题吗？()19(xyxy 1()xyxy (2)正确的解法该怎样？19)(12xyxy （）中 的 等 号 不 能 取 到192.0,0,1,xyxyxy 例 已知 且求的最小值.0,0 xy 19()()xyyx 1()xyxy 所求的最小值为16解：910yxxy +910216yxxy 9yxxy 当 且 仅 当取 等 号10019xyxy 又由，得 910yxxy 192.0,0,1,xyxyxy 例 已知 且求的最小值.412xy ，若在一个问题中多
6、次用到基本不等式时，要考查是否每一次都需要不等式中的等号成立。注意：你还能想到别的思吗？考解法5:0,0 xy 91xyx 由得191xy 所求的最小值为16另解：xy 92(1)10 161xx 当且仅当，即取等号，9(1)41xxx 91xxx 例 已知 且求的最小值.192.0,0,1,xyxyxy 此时12y 若 本 题 中，又 怎 样 解 决题思本？考1926:xy 1()xyxy 119()(2)xyxy 8 9(1)91xxx 991xx 9(1)101xx 10 x 说明：(1)类似于的条件有时还写成等的形式1919xyxyxy (2)用基本不等式求条件最值常数用的方法就是通过
7、 常数(一般用1)替换或变量替换的方法。练习求的 最 小 值；2311.(0)xxxx 已 知是 正 数，且，求的 最 大 值 求 的 最 小 值。2.,2221(1);(2)xyxyxyxy 231xxx 13xx 123xx 5 当 且 仅 当，即时 等 号 成 立11xxx 解:所求的最小值为5xy 122xy 212()22xy 12 当且仅当，即时取到等号.12,12xyxy 的 最 大 值 为1.xy x0,y0 x0 已 知是 正 数，且，求的 最 大 值 求 的 最 小 值。2.,2221(1);(2)x yxyxyxy 21xy 121(2)()2xyxy 51 22()22
8、yxxy 3122222yxxy 72 x0,y0当且仅当，22yxxy 即时等号成立13xy 所求的最小值为7.2解:(2)例已 知,是 不 全 相 等 正 数，且求 证:3.1111(-1)(-1)(-1)8abcabcabc 1abc 证明：探究新知(二)1-1a -1a b ca bca 2 bca 同理,12-1abcc 不等式两边均为正111222(-1)(-1)(-1)bcacababcabc 8 12-1,acbb 又a,b,c不全相等不等式中的等号不能同时取到即111(-1)(-1)(-1)8abc 已知 求证：222,a b cRabcabbcca 证明：222abab 2
9、22cbbc 222caac 222222(222)()abbccabbccaa 即222abcabbcca 练习由重要不等式得小结 1.基本不等式怎样的，什么条件下不等式的等号成立？其常见的变形有哪两个？2.用基本不等式求最值的条件是什么？3.你能画出这一节的知识结构图吗？4.基本不等式的应用有哪些？(1)证明不等式(2)解决实际问题中的最值问题(3)解决数学中的最值问题 直接应用类；配凑定值类；通用过添拆项，变系数，分离出常数或整式化为积并使它们的和为定值，化为和并使它们的积为定值.条件最值类。常量(如1)替换，变量替换(消元)基本不等式概念几何意义应用证明方法5.本节的数学思想方法有哪一
10、些？体现在什么地方？数形结合，一般与特殊，化归与转化作业1.教材P48习题2.2 第4，7题.已知正实数满足.求 的最小值选做题3.(),2.x yxyxyxy 已 知求最 小 值112.0,0,2,.ababab 已 知求最 小 值112.0,0,2,.ababab （）111()2ababab0,0ab 11()2baab 11222b aa b 当且仅当，即取等号。111abab 已知正实数满足.求 的最小值选做题3.(),2.x yxyxyxy 由题意知1,x 2xyxy 且2,101xyxx 22211xxxxyxxx2(1)4(1)31xxx 3(1)42 341xx 当且仅当，即取等号31131xxx
