1、1 11.5.1 全称量词与存在量词全称量词与存在量词2 2学习目标：学习目标：1.通过生活和数学中的实例，理解全称量词与存在量词的意义.重点：1.通过生活和数学中的实例，理解全称量词与存在量词的意义.难点：全称量词命题和存在量词命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.3 3下列语句是命题吗？比较(1)与(3)，(2)与(4)间有何关系？(1)x3；(2)2x+1是整数；(3)对所有的xR，x3；(4)对任意一个xZ，2x+1是整数。语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断
2、它们的真假，所以它们不是命题;语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定，可以判断是假，所以(3)是假命题；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，可以判断是真，所以(4)是真命题.4一、全称量词与全称量词命题一、全称量词与全称量词命题1.全称量词、全称量词命题定义：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题(universal proposition)。短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier)，并用符号“”表示。例如命题：对任意的nZ，2n+1是奇数；所有的正方形都是矩形。都是全称量词命题.5 52.2
3、.全称量词命题符号记法：全称量词命题符号记法：通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),表示,变量x的取值范围用M表示.全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立.”可用符号简记为：xM,p(x).(1)从集合观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的.(2)一个全称量词命题可以包含多个变量,如:xR,yR,x2+y20.(3)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，要在理解的基础上把它补充出来.6 6全称量词命题有哪些表述方法呢？命题全称量词命题:xM,p(x).表述方法所有的xM,p(x).对一切xM,p(
4、x).对每一个xM,p(x).对任意的xM,p(x).凡是xM,p(x).大于1的整数，除1和它本身外无其它正因数，则称这个数为素数,又称质数.7 7例1.判断下列全称量词命题的真假：(1)所有的素数都是奇数；(2)xR,|x|+11;(3)对任意一个无理数x,x2也是无理数.分析:要判定全称量词命题“xM,p(x).”是真命题,需要对集合M中每个元素x，证明 p(x)成立(难).要判定全称量词命题“xM,p(x).”是假命题,只需在集合M中找到一个元素x0,证明p(x0)不成立即可(易).解:(1)2是素数，但2不是奇数，所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.(2)xR,总有|x|
5、0,因此|x|+11.所以全称量词命题“xR,|x|+11”是真命题.举反例(3)是无理数,但 是有理数.所以全称量词命题“对任意一个无理数x,x2也是无理数”是假命题.22(2)28 81.判断下列全称量词命题的真假：(1)每个四边形的内角和都是360o；(2)任何实数都有算术平方根；(3)xy|y是无理数,x3是无理数.解：(1)根据四边形内角和定理知，(1)是真命题；(2)因为负数是没有算术平方根的，所以(2)是假命题；命题(3)是假命题.(3)因为 是无理数，但 是有理数，所以33(3)3339 9下列语句是命题吗？比较(1)与(3)，(2)与(4)间有何关系？(1)2x+1=3；(2
6、)x能被2和3整除；(3)存在一个xR，使2x+1=3；(4)至少有一个xZ，x能被2和3整除.语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题;语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定，可以判断是真，所以(3)是真命题；语句(4)在(2)的基础上，用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定，可以判断是真，所以(4)是真命题.1010二、存在量词与存在量词命题二、存在量词与存在量词命题1.存在量词、存在量词命题定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题(existential proposition)。短语“存在一个”“
7、至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier)，并用符号“$”表示。例如命题：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数。都是存在量词命题.11112.2.存在量词命题符号记法：存在量词命题符号记法：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立.”可用符号简记为：$xM,p(x).(1)从集合观点看，存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.(2)含有存在量词的命题，不管包含的程度多大，都是存在量词命题.$a,bR,使(a+b)2=(a-b)2.(4)有些存在量词命题中的存在量词是省略的，要在理解的基础上把它补充出来.(3)一个存在量词
8、命题可以包含多个变量,如:1212存在量词命题有哪些表述方法呢？存在量词命题有哪些表述方法呢？命题存在量词命题:$xM,p(x).表述方法存在xM,p(x).至少有一个xM,p(x).对有些xM,p(x).对某个xM,p(x).有一个xM,p(x).1313例2.判断下列存在量词命题的真假：(1)有一个实数x，使x2+2x+3=0;(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；(3)有些平行四边形是菱形.分析:要判定存在量词命题“$xM,p(x).”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可(易).要判定存在量词命题“$xM,p(x).”是假命题,需证明在集合M中，使得p(x)
9、成立的元素x不存在(难).解:(1)由=22-4 3=-80,因此x2+2x+3=0无实根，所以存在量词命题(1)是假命题.(2)因平面内垂直于同一直线的两直线互相平行,故不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线，所以(2)是假命题.(3)由于正方形既是平行四边形也是菱形,所以(3)是真命题.14142.判断下列存在量词命题的真假：(1)存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直；(2)至少有一个整数n，使得n2+n是奇数；(3)$xy|y是无理数,x2是无理数.解：(1)因为正方形的两条对角线互相垂直,故(1)是真命题;(2)因为n(n+1)必是偶数,所以(2)是假命题;(3)因为是无理数,但2也
10、是无理数,故(3)是真命题.1515课堂总结课堂总结1.要判定全称量词命题“xM,p(x).”是真命题,需要对 集合M中每个元素x，证明p(x)成立(难).要判定全称量词命题“xM,p(x).”是假命题,只需在集合M中找到一个元素x0,证明p(x0)不成立即可(易).2.要判定存在量词命题“$xM,p(x).”是真命题,只需在 集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可(易).要判定存在量词命题“$xM,p(x).”是假命题,需证明在集合M中，使得p(x)成立的元素x不存在(难).1616课堂总结课堂总结命题全称量词命题:xM,p(x).表述方法所有的xM,p(x).对一切xM,p(x).对每一个xM,p(x).对任意的xM,p(x).凡是xM,p(x).命题存在量词命题:$xM,p(x).表述方法存在xM,p(x).至少有一个xM,p(x).对有些xM,p(x).对某个xM,p(x).有一个xM,p(x).17173.将下列命题用量词符号“”或“$”表示：(1)整数中1最小；(2)方程ax2+2x+1=0(a0.解：(1)xZ,x1;(2)$x0,ax2+2x+1=0(a0.
