1、存在性与任意性问题1已知函数f（x）是定义域为R的奇函数当x0时，f（x）4x+1（1）求f（x）的解析式；（2）x1，2，f（x）+a2x3恒成立，求实数a的取值范围2已知函数f（x）（2sinx+1）-3（1）求f（x）的定义域；（2）若x0，求f（x）的值域；（3）设aR，函数g（x）x23a2x2a，x0，1，若对于任意x10，总存在唯一的x00，1，使得g（x0）f（x1）成立，求a的取值范围3已知函数g（x）2x是奇函数（1）求a的值；（2）判断并证明函数g（x）的单调性；（3）若对任意的t0，+），不等式g（t22t）+g（2t2k）0恒成立，求实数k的取值范围4已知函数f（x）
2、x2+4x+a5，g（x）m4x1m+8（1）若函数yf（x）在区间1，1上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a0时，若对任意知x1，x21，2，f（x1）g（x2）恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数yf（x）在t，2上的值域为区间D，是否存在常数t，使得区间D的长度为64t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间p，q的长度为qp）5已知函数f（x）1（1）判断函数f（x）在R上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（3）若f（2x2+x）+f（2x2k）0恒成立，求实数k的取值范围6已知函数yf（x）的图象与g（x）logax（a0，
3、且a1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过点（4，2）（1）若f（3x1）f（x+5）成立，求x的取值范围；（2）若对于任意x1，4，不等式f（2x）gm0恒成立，求实数m的取值范围7已知函数f（x）（log4x）2alog4x+3，其中a为常数（1）当a2时，求函数f（x）的值域；（2）若对x，44，1f（x）27恒成立，求实数a的取值范围8已知f（x）是定义在R上的奇函数（1）求f（x）的解析式；（2）已知a0，且a1，若对于任意x1，+），存在m2，1，使得f(x)-x2+2xam+1成立，求a的取值范围 9已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）2e
4、x，其中e2.71828（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1ax）0在（0，+）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x10，1，x2m，+），使f(x2) = am+1成立，求实数m的取值范围10已知函数f（x）ax（a0，且a1）的图象经过点（1）若函数F（x）3f（x）+10m在区间（0，2）内存在零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若x（0，1时，2lnh（x）lng（x）t0恒成立，求实数t的取值范围11已知定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）-g（x）=（1
5、）求函数f（x）和g（x）的表达式；（2）当x（，0）时，不等式f（2x）ag（x）+10恒成立，求实数a的取值范围；（3）若方程f（x）m4xm在上恰有一个实根，求实数m的取值范围12已知定义在区间（0，+）上的函数f（x）|x5|（1）求函数f（x）的零点；（2）若方程f（x）m（m0）有四个不等实根x1，x2，x3，x4，证明x1x2x3x416；（3）在区间1，4上是否存在实数a，b（ab），使得函数f（x）在区间a，b上单调，且f（x）的值域为ma，mb，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由13设函数f（x）（a0，且a1）是定义域为R的奇函数（1）求t的值；（2）若f（1）
6、0，求使不等式f（kxx2）+f（x1）0对一切xR恒成立的实数k的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m（m1），使函数g（x）=logma2x+a -2x-mf(x)在1，log23上的最大值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由存在性与任意性问题1已知函数f（x）是定义域为R的奇函数当x0时，f（x）4x+1（1）求f（x）的解析式；（2）x1，2，f（x）+a2x3恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）设当x0时，x0，f（x）4x+1，f（x）是奇函数，f（x）f（x），f（0）0，f（x）f（x）（4x+1）4x1，综上解析式为f（x）；（2）x1，
7、2，f（x）+a2x3恒成立，4x+1+a2x3在x1，2上恒成立，a2x，在x1，2上恒成立，设2xt，则t2，4，at，t2，4，易知yt在2，4上为减函数，y4，a，故实数a的取值范围为（，2已知函数（1）求f（x）的定义域；（2）若，求f（x）的值域；（3）设aR，函数g（x）x23a2x2a，x0，1，若对于任意，总存在唯一的x00，1，使得g（x0）f（x1）成立，求a的取值范围【解答】解：（1）令2sinx+10，解得sinx，解得2k，所以函数的定义域为（2k），kZ；（2）当x时，2sinx+11，2，所以f（x）log（2sinx+1）34，3，故函数的值域为4，3；（3）
8、g（x）x23a2x2a，x0，1，对称轴为x，当即时，要满足题意，只需，解得a无解，当，即a或a时，要满足题意只需：，解得a或1，综上，满足题意是实数a的取值范围为（1，3已知函数g（x）2x是奇函数（1）求a的值；（2）判断并证明函数g（x）的单调性；（3）若对任意的t0，+），不等式g（t22t）+g（2t2k）0恒成立，求实数k的取值范围【解答】解：（1）g（x）是奇函数，又xR，故g（0）1a0，所以a1，（2）是R上的增函数，理由如下：在R上任取x1x2，则，所以，是R上的增函数，（2）g（t22t）+g（2t2k）0且g（x）是奇函数，所以，因为g（x）是R上的增函数，所以t22
9、tk2t2，所以k3t22t对t0，+）恒成立，k（3t22t）min，实数k的取值范围是4已知函数f（x）x2+4x+a5，g（x）m4x1m+8（1）若函数yf（x）在区间1，1上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a0时，若对任意知x1，x21，2，f（x1）g（x2）恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数yf（x）在t，2上的值域为区间D，是否存在常数t，使得区间D的长度为64t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间p，q的长度为qp）【解答】解：（1）由题意得，函数f（x）的对称轴为x2，故函数f（x）在区间1，1上为增函数，函数在区间1，1上存在零点，即，解得0a
10、8，故实数a的取值范围为0，8；（2）依题意，函数f（x）在1，2上的最大值小于等于函数g（x）在1，2上的最小值，当a0时，f（x）x2+4x5（x+2）29，易知，函数f（x）在1，2上的最大值为g（2）（2+2）297，（法一）当m0时，函数g（x）m4x1m+8在1，2上为增函数，则g（x）ming（1）87，符合题意；当m0时，函数g（x）m4x1m+8在1，2上为减函数，则g（x）ming（2）3m+87，解得，综上，实数m的取值范围为；（法二）依题意，m4x1m+87对任意x1，2都成立，1x2，14x14，04x113，当m0时，显然成立，当m0时，则对任意x1，2都成立，令函
11、数为增函数，故，综上，实数m的取值范围为；（3）依题意，解得；当t6时，在区间t，2上，f（t）最大，f（2）最小，即值域D为f（2），f（t），f（t）f（2）t2+4t+464t，解得；当6t2时，在区间t，2上，f（2）最大，f（2）最小，即值域D为f（2），f（2），f（2）f（2）1664t，解得；当时，在区间t，2上，f（2）最大，f（t）最小，即值域D为f（t），f（2），f（2）f（t）t24t+1264t，解得，不符合，舍去；综上，存在常数或满足题意，5已知函数（1）判断函数f（x）在R上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（3）若f（2x
12、2+x）+f（2x2k）0恒成立，求实数k的取值范围【解答】（1）解：f（x）在R上单调递增，证明如下：设x1x2，则1+，所以），则f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），所以f（x）在R上单调递增；（2）解：f（x）为奇函数，证明如下：因为，所以f（x）f（x），所以f（x）为奇函数；（3）f（2x2+x）+f（2x2k）0恒成立，即f（2x2+x）f（2x2k）f（2x2+k），所以2x2+x2x2+k恒成立，故k4x2+x恒成立，所以k（4x2+x）max，结合二次函数的性质可知，当x时，（4x2+x）max，所以k，所以k的范围（，+）6已知函数yf（x）的图象与g（x）lo
13、gax（a0，且a1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过点（4，2）（1）若f（3x1）f（x+5）成立，求x的取值范围；（2）若对于任意x1，4，不等式f（2x）gm0恒成立，求实数m的取值范围【解答】解：g（4）loga42，a24，解得a2，g（x）log2x，由已知得f（x）lox，即f（x）log2x（1）f（x）lox在（0，+）上单调递减，解得x，x的取值范围为（2）f（2x）gm0，mf（2x）g对于任意x1，4恒成立等价于myf（2x）glog22xlog2（1+log2x）（log2x2）（log2x）2+log2x+2，令ulog2x，1x4，则u0，2，yu2+u+
14、2，当u，即log2x，即x时，ymax，实数m的取值范围是m即m（，+）7已知函数f（x）（log4x）2alog4x+3，其中a为常数（1）当a2时，求函数f（x）的值域；（2）若对，1f（x）27恒成立，求实数a的取值范围【解答】解（1）令tlog4x，易知tR，于是等价转化为求函数yt22t+3在R上的值域因为yt22t+3（t1）2+2，所以f（x）的值域为2，+）（2）对，1f（x）27恒成立，即，恒成立，设ulog4x，因为，所以故等价于，1g（u）u2au+327恒成立，即等价于对恒成立，令，则在上单调递增，所以令，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，所以所以，即实数a的取值范
15、围是8已知是定义在R上的奇函数（1）求f（x）的解析式；（2）已知a0，且a1，若对于任意x1，+），存在m2，1，使得成立，求a的取值范围【解答】解：（1）因为是定义在R上的奇函数，所以即，解得，则（2）令，由（1）可知易证函数与均是1，+）上的减函数，则g（x）是1，+）上的减函数，且g（x）maxg（1）2令h（m）am+1（2m1），对于任意x1，+），存在m2，1，使得成立等价于g（x）maxh（m）max成立，即2h（m）max若0a1，则h（m）在2，1上单调递减，故，解得；若a1，则h（m）在2，1上单调递增，故a22，解得综上所述，a的取值范围为9已知f（x）为R上的奇函数，
16、g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）2ex，其中e2.71828（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1ax）0在（0，+）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x10，1，x2m，+），使成立，求实数m的取值范围【解答】解：（1）由题意知f（x）+g（x）2ex，可得f（x）+g（x）2ex，由f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，可得f（x）f（x），g（x）g（x），所以f（x）+g（x）2ex，于是+可得2g（x）2 ex+2 ex，即g（x）ex+ex，所以f（x）exex；（2）由已知f（x2+3）+f（1ax）0在（0，+）上恒
17、成立，又因为f（x）为R上的奇函数，所以f（x2+3）f（ax1）在（0，+）上恒成立，又因为f（x）exex为R上的增函数，所以x2+3ax1在（0，+）上恒成立，即在（0，+）上恒成立，所以因为，当且仅当，即x2时取等号所以a4；（3）设h（x）e|xm|，f（x）在m，+）上的最小值为f（x）min，h（x）在0，1上的最小值为h（x）min，由题意，只需f（x）minh（x）min，因为f（x）exex为R上的增函数，所以当m0时，因为h（x）在（，m）单调递增，在（m，+）单调递减，所以当x0，1时，h（x）minminh（0），h（1）于是，由h（0）e|m|emem得em2 em
18、，即e2m2，解得考虑到，故h（1）e|1m|em1emem，即，解得因为，所以当m0时，h（x）在0，1单调递减，所以又 em10，emem0，所以对任意m0，恒有h（1）em1ememf（x）min恒成立综上，实数m的取值范围为10已知函数f（x）ax（a0，且a1）的图象经过点（1）若函数F（x）3f（x）+10m在区间（0，2）内存在零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若x（0，1时，2lnh（x）lng（x）t0恒成立，求实数t的取值范围【解答】解：（1）因为函数f（x）ax（a0，且a1）的图象经过点，所以，解得
19、a3，则f（x）3x，因为x（0，2），故13x9，令t3x，则1t9，函数F（x）3f（x）+10m在区间（0，2）内存在零点，即函数G（t）3t+10m在区间（1，9）内有零点，所以G（1）G（9）0，即（7m）（17m）0，解得17m7，所以实数m的取值范围为（17，7）；（2）由题意可得，函数f（x）g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，可得，即，解得，因为2lnh（x）lng（x）t0，所以，设a3x3x，因为0x1，且a3x3x在R上为单调递增函数，所以，所以，因为，当且仅当，即a2时取等号，所以tln2，故实数t的取值范围为（，ln211已知定义在R上的偶函
20、数f（x）和奇函数g（x）满足（1）求函数f（x）和g（x）的表达式；（2）当时，不等式f（2x）ag（x）+10恒成立，求实数a的取值范围；（3）若方程f（x）m4xm在上恰有一个实根，求实数m的取值范围【解答】解：（1），即，联立解得f（x）4x+4x，g（x）4x4x（2）f（2x）ag（x）+10对恒成立，即42x+42xa（4x4x）+10对恒成立，令t4x4x，则t（x）为减函数，因为42x+42xt2+2，即恒成立而在上单调递减，所以a的取值范围为，（3）f（x）m4xm在恰有一个实根，即4x+4xm4xm，（m1）42xm4x10在上恰有一个实根，令4xz，z（1，2），则（m
21、1）z2mz10在（1，2）上恰有一个实根，又z（1）2，则有z（2）2m50或解得，综上m的取值范围为12已知定义在区间（0，+）上的函数f（x）|x+5|（1）求函数f（x）的零点；（2）若方程f（x）m（m0）有四个不等实根x1，x2，x3，x4，证明x1x2x3x416；（3）在区间1，4上是否存在实数a，b（ab），使得函数f（x）在区间a，b上单调，且f（x）的值域为ma，mb，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由【解答】解：（1）令f（x）0，解得x1或x4（2）证明：如图，要使f（x）m有四个根，则0m1，令，当g（x）m，则x2（5+m）x+40，x1x44，当g（x
22、）m，则x2（5m）x+40，x2x34，x1x2x3x416（3）当a，b1，2时，由得，即5ab4（a+b）0，由b（1，2，解得，由a1，2），ba，由，可得当a，b2，4，由f（a）mb，f（b）ma可得a+b5，再由f（a）mb，得，把b5a代入得，2a4，2b4且ba，综上，当a，b1，2时，；当a，b2，4，13设函数（a0，且a1）是定义域为R的奇函数（1）求t的值；（2）若f（1）0，求使不等式f（kxx2）+f（x1）0对一切xR恒成立的实数k的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m（m1），使函数在1，log23上的最大值为0，若存在，求出m的值；若不存
23、在，请说明理由【解答】解：（1）函数f（x）（a0且a1）是定义域为R的奇函数，f（0）0，即，t2；（2）由（1）可知，t2，f（x），f（1）0，即，又a0，a1，f（x）为奇函数，f（x1）f（1x），不等式f（kxx2）+f（x1）0对一切xR恒成立，即f（kxx2）f（1x）对一切xR恒成立，a1，则yax在R上为单调递增函数，f（x）在R上为单调递增函数，kxx21x对一切xR恒成立，即x2（k+1）x+10对一切xR恒成立，（k+1）240，即k2+2k30，3k1，实数k的取值范围为3k1；（3）假设存在正数m，且m1符合题意，函数f（x）的反函数过点（，1），a或a2，a0，
24、a2，g（x）logm，令t2x2x，（2x2x）m（2x2x）+2t2mt+2，x，t，记h（t）t2mt+2，函数g（x）logm在1，log23上的最大值为0，当0m1时，ylogmh（t）是单调递减函数，函数h（t）t2mt+2在，有最小值1，对称轴t，函数h（t）在，上单调递增，h（t）minh（）m1，m，0m1，m不符合题意；当m1时，则函数h（t）0在，上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，函数h（t）t2mt+2在，有最大值1，h（t）的对称轴为x，（i）当，即m时，当t时，h（t）取得最大值h（）1，m，又，当t时，h（t）取得最小值h（）0，g（x）在1，log23无意义，m不符合题意；（ii）当，即m时，当t时，h（t）取得最大值h（），m，m，m不符合题意综上所述，不存在正数m，使函数g（x）在1，log23上的最大值为0
