1、第三章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质3.2.1 单调性与最大（小）值一、教学目标1、通过旧知与新识的函数关系，正确理解函数的单调性及其几何意义；2、学会运用函数图象判断出函数的增减性，确定出函数的单调区间；3、能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性，培养学生对数与式的把握能力，逐步养成严谨论证的良好习惯；4、能够利用函数的单调性求一些函数的最大（小）值，学会数形结合.二、教学重点、难点重点：函数单调性的概念、判断及证明，利用函数单调性求取函数最值；难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习
2、、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等第一课时四、教学过程（一）复习回顾，创设情景，揭示课题【问题引入】观察、分析和比较图3.2-1中的函数图象，你能得到函数图象的哪些性质？【结论】在初中，我们的描述方式是：函数值随自变量的增大而增大（或减小）， 在高中，这一性质叫做函数的单调性.【实例研学】阅读课本，（时间约为3分钟）（二）阅读精要，研讨新知高中阶段的对函数图象的新型描述：一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上是单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).一般
3、地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).【新描述】如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间【思考与感悟】（1）设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且，当时，都有，我们能说函数在区间上单调递增吗?你能举例说明吗?（2）函数的单调性是对定义城内某个区间而言的，你能举出在整个定义城内是单调递增的函数例子吗?你能举出在定义城内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗?【例题研讨】阅读领悟课本例1、
4、例2、例3 （用时约为6分钟，教师逐题作出准确的评析.）例1 根据定义，研究函数的单调性.解：函数的定义域是，且，则，由，得所以，当时，于是，即这时在上是增函数当时，于是，即这时在上是减函数例2 物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大，试对此用函数的单调性证明.证明：，且，则，由，得，由，得，又于是，即所以，函数在上是减函数，也就是说，当体积减小时，压强将增大.例3 根据定义证明函数在区间上单调递增.证明：，且，则，由，得，所以又得，于是，即所以，函数在区间上单调递增.【课后思考】你能找出函数的单调区间并证明其单调性吗？【小组互动】完成课本练习1
5、、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑并公布答案. （三）探索与发现、思考与感悟1. 根据定义证明函数在区间上单调递减.证明：，且，则，由，得，所以又得，于是，即所以，函数在区间上单调递减.2. 求下列函数的单调区间：（1） （2）.解：（1），作出函数图象由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减.（2），作出函数图象由图可知，函数在、上单调递增，在、上单调递减.3. 已知，则函数的单调增区间为 ，单调减区间为 .解：由已知变形得 ，所以把的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象，如图所示.由图象得在单调递增，在上单调递增.（四）归纳小结，回顾重点一般地，设函数的定
6、义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上是单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间（五）作业布置，精炼双基1.完成课本习题3.2 1、2、3、62.预习课本 例4、例5五、教学反思：（课后补充，教学相长）第二课时四、教学过程（一）复习回顾，创设情景
7、，揭示课题【要点回顾】如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上是单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).【问题引入】观察图3.2-2，对于二次函数的图象上有最低点，满足，都有，此时，我们说函数有最小值.(minimum value
8、)【思考】能不能以函数为例说明函数的最大值的含义.（二）阅读精要，研讨新知【函数的最大值】一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1），都有；（2），使得那么，我们称是函数的最大值.(maximum value) (最小值.(minimum value)【例题研讨】阅读领悟课本例4、例5 （用时约为6分钟，教师逐题作出准确的评析.）例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?解：画出函数的图象(图3.2-4).
9、 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.【即时复习】二次函数最值知识点：当时，；当时，.所以当时，函数有最大值于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m例5 已知函数，求函数的最大值和最小值.解：，且，则当得，于是，即所以函数在上单调递减所以【延伸知识】如果修改为：函数的最大值为_.可以通过函数图象获知在区间上的单调性，根据单调性求取最大值.【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑并公布答案. （三）探索与发现、思考与感悟1.函数在区间上的图象如图所示,则函数的最小值、最大值分别是
10、()A. B. C. D. 解：由函数的图象知，故.选C.2. 若函数在区间上的最大值是，最小值是，则( )A与有关，且与有关B与有关，但与无关C与无关，且与无关D与无关，但与有关解：由已知，根据函数图象分析函数的最值在中取到，所以最值之差一定与无关，故选B3. 若函数的定义域为，且在上单调递减，则下列不等式成立的是()A B C D解：因为在上单调递减，且，所以，故选B4. 已知函数（1）判断函数在上的单调性并加以证明.（2）求函数在上的最大值和最小值.解：（1）判断：函数在上为增函数（此时可以引入性质：增函数+增函数为增函数）证明：，且，则 于是，即因此函数在上单调递增（2）由（1）可知在上单调递增，所以在上单调递增所以（四）归纳小结，回顾重点一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1），都有；（2），使得那么，我们称是函数的最小值.(minimum value)一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1），都有；（2），使得那么，我们称是函数的最大值.(maximum value)（五）作业布置，精炼双基1.完成课本习题3.2 4、7、8、9、10、2. 研读课本信息技术应用：用计算机绘制函数图象五、教学反思：（课后补充，教学相长）
