1、1.3集合的基本运算1|并集与交集 文字语言符号语言图形语言运算性质并集一般地,由所有属于集合A 或 属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作 AB (读作“A并B”)AB=x|xA,或xB AB=BA,AA=A,A=A=A,A(AB),B(AB),ABAB=B文字语言符号语言图形语言运算性质交集一般地,由所有属于集合A且 属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作 AB (读作“A交B”)AB=x|xA,且xB AB=BA,AA=A,A=A=,(AB)A,(AB)B,ABAB=A续表1.全集一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素 ,那么就称这个集合为全集
2、,通常记作U.2.补集2|全集与补集文字语言对于一个集合A,由全集U中不属于 集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作 UA 符号语言UA=x|xU,且xA 图形语言运算性质UAU,UU=,U=U,U(UA)=A,A(UA)=U,A(UA)=在研究集合时,会遇到有关集合中元素个数的问题.我们把有限集合A的元素个数记作card(A).例如,A=a,b,c,则card(A)=3.一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB),如图1.图13|有限集合的并集中元素的个数对于三个有限集合A,B,C,它们的并
3、集中元素的个数公式是card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC),如图2.图21.U(AB)=(UA)(UB).2.U(AB)=(UA)(UB).4|德摩根定律1.UAU.()2.在全集U中存在某个元素x0,既有x0A,又有x0 UA,其中A为U的一个子集.()3.若集合A,B中分别有2个元素,则AB中必有4个元素.()4.根据研究问题的不同,可以指定不同的全集.()提示:全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化,如在实数范围内解不等式,全集为实数集R,而在整数范围内解不等式,则全集为整数集Z.5
4、.若AB=A,B,则B中的每个元素都属于集合A.()提示:当AB=A时,BA,又B,所以B中的每个元素都属于集合A.6.若AB=CB,则A=C.()提示:当B=时,AB=CB=,但A,C可以是任意集合,故A=C不一定成立.判断正误，正确的画“”，错误的画“”.1|利用集合的运算性质求参数的值或取值范围 由集合的运算性质求参数的值或取值范围的思路1.将集合中的运算关系转化为两个(或多个)集合之间的关系.若集合中的元素能被一一列举,则可用观察法得到集合之间的关系;与不等式有关的集合,可利用数轴得到集合之间的关系.2.将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组).3.利用解方程(组)或解不等式(组
5、)来确定参数的值或取值范围时,需注意两点:(1)由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性,在求解含参数的问题时,要注意这一隐含的条件.(2)涉及AB=A或AB=B的问题,可利用集合的运算性质,转化为集合之间的关系求解,注意空集的特殊性.(2020湖北黄冈黄梅国际育才高级中学高一期中)已知集合A=x|a-1x2a+3,B=x|-2x4.(1)当a=2时,求AB;(2)若 ,求实数a的取值范围.在AB=A,A(RB)=A,AB=这三个条件中任选一个,补充在(2)中的横线上,并求解.思路点拨思路点拨(1)当a=2时,求得集合A,根据集合的并集运算求解.(2)若选择AB=A,则AB,分集
6、合A是空集和不是空集两种情况讨论,得到实数a的取值范围;若选择A(RB)=A,则A是RB的子集,分集合A是空集和不是空集两种情况讨论,得到实数a的取值范围;若选择AB=,则分集合A是空集和不是空集两种情况讨论,得到实数a的取值范围.解析解析 (1)当a=2时,集合A=x|1x7,又B=x|-2x4,所以AB=x|-2x-4时,应满足解得-1a.综上可知,实数a的取值范围为.若选择A(RB)=A,则A是RB的子集,易得RB=x|x4.当a-12a+3,即a-4时,A=,满足题意;当a-4时,应满足2a+3-2或a-14,解得-4-4时,应满足2a+3-2或a-14,解得-4a-或a5,综上可知,
7、实数a的取值范围为aa-或a5.52522|“补集思想”新学期开学啦!学生们都高高兴兴地来到了新的学校,开始了高中的学习生活.数学老师想了解一下同学们在初中的数学成绩,让你帮忙统计一下中招考试中数学成绩在110分以下(低于110分)的有多少人.问题问题1.你打算怎么办?运用了什么数学方法?提示:由于中招考试中数学满分是120分,因此成绩在110分以下的同学应该占大多数,直接统计110分以下的较麻烦,可以先统计110分以上(含110分)的有多少人,再用全班人数减去这个人数就是成绩在110分以下的人数.运用了补集的思想方法.2.“补集思想”的原理是什么?提示:U(UA)=A,即在全集U中对A的补集
8、再求补集得到的就是集合A.对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗、难以从正面入手的数学问题,在解题时,可以调整思路,从问题的对立面入手,探求已知和未知的关系,这时能起到化难为易、化隐为显的作用,从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略.这种“正难则反”的策略运用的是补集思想,即已知全集U,求其子集A时,若直接求A较困难,则可先求UA,再利用U(UA)=A求A.1.运用补集思想解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、问题较复杂的时候,或含有至多、至少、存在唯一、不存在等的问题中.2.用补集思想解含参问题的步骤:(1)否定已知条件,考虑问题的反面;(2)求问题的反面对应的参数的集
9、合;(3)取问题的反面对应的参数的范围的补集,注意全集的范围.已知集合A=x|x2+ax+1=0,B=x|x2+2x-a=0,C=x|x2+2ax+2=0.若三个集合中至少有一个集合不是空集,求实数a的取值范围.思路点拨思路点拨假设三个集合均为空集,求得a的取值集合其补集满足题目要求.解析解析 假设三个集合都是空集,即三个方程均无实根,则有即解得-a-1,当a-或a-1时,三个方程中至少有一个方程有实根,即三个集合中至少有一个集合不是空集.a的取值范围为a|a-或a-1.2122340,440,480,aaa22,1,22,aaa 222题组一集合的概念与元素的特性 1.(2021四川成都第七
10、中学高一上阶段测试)下列元素不能组成集合的是(B B)A.不超过20的质数B.的近似值C.方程x2=1的实数根D.函数y=x2,xR的最小值2.已知集合S中的三个元素a,b,c是ABC的三条边长,那么ABC一定不是(D)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形3.(多选)下面四个说法错误的是(CD)A.10以内的质数组成的集合是2,3,5,7B.由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,1,2C.方程x2-2x+1=0的解集是1,1D.0与0表示同一个集合题组二元素与集合的关系4.(2021江西宜春一中高一上月考)给出下列关系:12R;2Q;|-3|N;|-3|Z;0 N.其中正确的个数为(D D)A.1 B.2 C.3 D.45.(2021福建三明第一中学高一上月考)下列说法正确的是(C C)A.N中最小的数是1B.若-a N*,则aN*C.若aN*,bN*,则a+b的最小值是2D.x2+4=4x的实数解组成的集合中含有2个元素6.已知集合A仅含有三个元素2,4,6,且当aA时,6-aA,那么a的值为(B B)A.2 B.2或4 C.4 D.6
